专题04 特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型（原理）（原卷版）

专题04特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型（原理）动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，故只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。模型：运动轨迹为直线型1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：=1\*GB3①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；=2\*GB3②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。例1．（2022·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（

）A． B． C． D．例2．（2022·江苏·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．例3．（2023·绵阳市·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．例4．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______．例5．（2022·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________．例6．（2022·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________．变式1．（2023·江苏·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____．变式2．（2023·安徽·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．变式3．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．变式4．（2023春·全国·八年级期末）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．变式5．（2022·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______．变式6．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______．课后专项训练1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．2．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，四边形是菱形，点和分别是边和上的动点，线段的最大值是，最小值是，则这个菱形的边长是___________．

3．（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一动点，连接，点分别是的中点，连接，则的最小值是_________．4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．5．（2023春·山东青岛·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，，，是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是__________．

6．（2023·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为．7．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______．9．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____．10．（2022·广东·珠海三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接，则的最小值是_____．11．（2022·重庆·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．12．（2022·河南开封·统考一模）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点E，以为边作正方形，点H是上一点，．连接，则的最小值是________．12．（2022·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．14．（2022·福建·福州三牧中学八年级期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．15．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．补充：单线段最值并非都用瓜豆原理，有时也可转化为三边关系去处理，如16-18题。16．（2023·湖北武汉·九年级统考期中）如图，四边形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E为BC中点，∠AED＝120°，则AD的最大值是_____．17．（2022·江苏·连云港三模）如图，正方形ABCD中，AB