专题02 圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型（原卷版）

专题02圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。模型1、切线长模型图1图21）切线长模型（标准类）条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切线长模型（拓展类）条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；例1．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（

）．

A．3 B． C．6 D．例2．（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（

）A． B． C．平分 D．例3．（2023·广东汕头·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．模型2.燕尾模型条件：OA，OB是的半径，OC=OD。结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线．[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长．例3．（2023秋·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：(1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径．(2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径．模型3.蝴蝶模型条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．例2．（2023·河南洛阳·统考一模）概念引入在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．概念理解(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为．(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．例3．（2022·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中的平分线：（1）如图1，的两边与一圆切于点，点是优弧的三等分点；（2）如图2，的两边与一圆交于，且．模型4.手拉手（旋转）模型注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；特别地，当=60°时，CD=CA+CB；当=90°时，CD=CA+CB；例1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．例3．（2023·山东潍坊·统考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．课后专项训练1．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，它的周长为22，若与三边分别切于E，F，D三点，则的长为（

）A．6 B．8 C．4 D．32．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（）A．4 B．2 C．3 D．63．（2023春·山东九年级课时练习）如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（

）A．B．平分C．D．4．（2022秋·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（）A． B． C． D．5．（2022春·广西·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．6．（2022春·江苏九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是．若，则．

7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，的半径为2，为圆上一动弦，以为边作正方形，求的最大值．8．（2022·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为．9．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径，射线和是它的两条切线，D点在射线上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足，连接并延长交射线于点C．(1)求证：是半圆O的切线；(2)设，．①写出y与x的关系式；②若，求阴影部分的面积．

10．（2023春·北京西城·九年级校考开学考试）如图，线段为的直径，，分别切于点，，射线交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．(1)求证：；(2)求线段的长．

11．（2022年山东省济宁市创新联盟第五次中考模拟数学试题）如图1，直线l是过圆心O的一条直线，点M，N是直线l上关于点O对称的两点．AB，CD是圆O的两条直径，其中，过点A，B，C，D作圆O的切线AN，BM，CN，DM．(1)求证：的角平分线垂直平分线段MN．(2)在若干个多边形组成的整体中，位于整体外侧的边的延长线相交组成的边数最少的封闭多边形，其面积被称为该整体的延展面积．例如图2，虚线所示的矩形的面积为两个小矩形所组成的整体的延展面积．则图1中，若可发生变化且不为60°，要使由四边形ANCO和四边形BMDO组成的整体的延展面积与时的相同，求可能的度数．12．（2023·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长．13．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．14．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．(1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长

15．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，