专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型（原卷版）

专题06相似三角形中的基本模型之半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常见模型及结论】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；图1图2结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；图3图4结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型图1图2条件：如图1，已知∠BAC＝90°，；结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型条件：如图1，已知∠BAC＝120°，；结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·福建泉州·九年级校考期中）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于.下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（

）A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④例2．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，若，且，则的长为（

）．A． B． C． D．5例3．（2023·上海浦东新·九年级统考期中）已知：如图，在Rt中，．求证：．例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为．例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点．①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长．②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：．例7．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：；【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．课后专项训练1．（2023.广东九年级期中）如图，在中，，点D、E在边上，，若，则的面积为（）A．20 B．24 C．32 D．362．（2023·广东广州·统考一模）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论不正确的是（

）．A．△AED≌△AEFB．△ABE∽△ACDC．BE+DC＞DED．BE2+DC2=DE23．（2022·湖北·九年级校联考期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（）①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿翻折至，延长交边于点，连接，．则下列给出的判断：①；②若，则；③若为的中点，则的面积为；④若，则，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④5．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：①；②连接，，则为直角三角形；③；④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(

)A．4 B．3 C．2 D．16．（2021秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．57．（2023·山东青岛·统考二模）如图，等腰直角三角形，，D，E是上的两点，且，过D，E作分别垂直，垂足为M，N，交于点F，连接．其中①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中，正确结论有．（填序号）

8．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，已知正方形边长为，为边上一点，将以点为中心按顺时针方向旋转得到，连接，分别交，于点，若，则．9．（2023·安徽宿州·校考模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．（1）若正方形的边长为2，则的周长是．（2）若，则．10．（2023.上海市黄浦区九年级一模）如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q．（1）求的值：（2）当时，求的度数；（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置．11．（2023山东九年级期末）已知正方形ABCD的边长为8，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图①，当a=8时，b的值为；（2）如图②，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（3）请写出∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．

12．（2023·宁夏·九年级统考期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），设，．（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．（2）求与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围．（3）以的斜边所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图（2），若，求出点的坐标，猜想线段、和之间的关系，并通过计算加以验证．13．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．

【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．14．（2023春·辽宁沈阳·九年级统考开学考试）在矩形中，．(1)如图1，若，点，分别在，上，连接．①线段，，三者之间的数量关系是：________；②当点是中点时，求证：；(2)如图2，若，，点，分别在，上．若，请直接写出线段的长；(3)如图3，若，，连接，将绕点旋转，当的一边与射线重合时，另一边与的垂直平分线交于点，请直接写出线段的长．15．（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践

(1)【操作发现】如图，诸葛小组将正