课时质量评价40　空间向量及其运算-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(四十)(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)B解析：由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．2．O为空间任意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，P四点()A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．无法判断B解析：因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，所以P，A，B，C四点共面．3．如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．1D．eq\r(3－\r(2))D解析：因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2)，故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°C解析：因为(2a＋b)·b＝0，所以2a·b＋b2＝0，所以2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.又因为|a|＝|b|≠0，所以cosθ＝－eq\f(1,2)，所以θ＝120°.5．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定C解析：因为M为BC中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.所以AM⊥AD，△AMD为直角三角形．6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标是________．(0，－1，0)解析：设M(0，y,0)，则eq\o(MA,\s\up6(→))＝(1，－y，2)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1，－3－y,1)，由题意知|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|，所以12＋y2＋22＝12＋(－3－y)2＋12，解得y＝－1，故M(0，－1,0)．7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉的值为________．eq\f(4\r(5),9)解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得eq\o(CM,\s\up6(→))＝(2，－2,1)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(2,2，－1)，所以cos〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(CM,\s\up6(→))·\o(D1N,\s\up6(→)),|\o(CM,\s\up6(→))||\o(D1N,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,9)，所以sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))eq\s\up12(2))＝eq\f(4\r(5),9).8．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．解：(1)因为c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，所以c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，所以|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，所以m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又因为|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，故向量a与向量b的夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10).9．如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).(1)解：E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－x，a，－a)，eq\o(C1E,\s\up6(→))＝(a，x－a，－a)，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))·eq\o(C1E,\s\up6(→))＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))⊥eq\o(C1E,\s\up6(→))，所以A1F⊥C1E.(3)证明：因为A1，E，F，C1四点共面，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))共面．选eq\o(A1E,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))为平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使eq\o(A1F,\s\up6(→))＝λ1eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋λ2eq\o(A1E,\s\up6(→))，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝－aλ1，,a＝aλ1＋xλ2，,－a＝－aλ2，))解得λ1＝eq\f(1,2)，λ2＝1.于是eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).B组新高考培优练10．(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列判断正确的是()A．(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2B.eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|AB解析：选项A中，(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝eq\o(A1A,\s\up6(→))2＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))2＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2，故选项A正确；选项B中，eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，因为AB1⊥A1C，所以eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0，故选项B正确；选项C中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故选项C不正确；选项D中，|AB·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝0，故选项D不正确．11．(2021·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点．若AA1＝eq\r(2)，则异面直线A1C与AD所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°C解析：(方法一)如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，所以异面直线A1C与AD所成的角就是A1C与A1D1所成的角，即∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角．连接D1C，因为A1B1＝A1C1，所以A1D1⊥B1C1.又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，所以A1D1⊥平面BCC1B1.因为D1C⊂平面BCC1B1，所以A1D1⊥D1C，所以△A1D1C为直角三角形．在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq\r(3)，所以∠CA1D1＝60°.故选C．(方法二)以A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，则A1(0,0，eq\r(2))，A(0,0,0)．因为△ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，所以AB＝AC＝eq\r(2)，所以B(eq\r(2)，0,0)，C(0，eq\r(2)，0)．又D为BC的中点，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，易知eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－eq\r(2))．设异面直线AD与A1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·\o(A1C,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))||\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(\r(2),2)×\r(2),1×2)＝eq\f(1,2).又0°<θ≤90°，所以θ＝60°，即异面直线AD与A1C所成角的大小为60°.故选C．12．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD＝________.5解析：设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，所以x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，所以D(1,4λ－1,2－3λ)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,4λ＋5，－3λ)．因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(9,5)，\f(12,5)))，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(－42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))eq\s\up12(2))＝5.13．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值时，点Q的坐标是________．(1,1,2)解析：由题意，设eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2.当λ＝1时取最小值，此时点Q的坐标为(1,1,2)．14．如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解：(1)因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6