高考数学选填压轴题型第6讲与三角函数相关的最值问题专题练习(原卷版+解析)

5/9第6讲与三角函数相关的最值问题一．方法综述三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是解决问题的关键，这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．二．解题策略类型一与三角函数的单调性、奇偶性和对称性相关的最值问题【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（）A． B．1 C．2 D．42．（2020·山东高考模拟）若函数在上的值域为，则的最小值为（）A． B． C． D．3．（2020·河南南阳中学高考模拟）设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是A． B． C． D．3【举一反三】1．已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【来源】安徽省示范高中皖北协作区2021届高三下学期第23届联考数学（文）试题则使成立的的最小正值为（）A． B． C． D．3．已知函数在上单调递减，则实数的最小值是（）A． B． C． D．类型二转化为型的最值问题【例2】（2020·北京人大附中高考模拟）已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为A． B． C． D．【举一反三】1、（2020·江西高考模拟）已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．2．（2020·河北高考模拟）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是()A． B． C． D．3．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A． B． C． D．4.（2020·河北高考模拟）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为A． B．1 C． D．类型三转化为二次函数型的最值问题【例3】函数的最大值为（）A． B． C． D．3【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题【举一反三】1．（2020·湖南高考模拟）已知，则的值域为（）A． B． C． D．2．（2020·江西高考模拟（理））函数的值域为_________．3、函数，关于的为等式对所有都成立，则实数的范围为__________．4、求函数的值域.类型四转化为三角函数函数型的最值问题【例4】（2020·黑龙江高考模拟）已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A． B． C． D．【举一反三】设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是（）A． B． C． D．2【来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末数学试题三．强化训练1．（2020·四川高考模拟）若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为A． B． C．1 D．2．（2020·陕西高考模拟）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A． B． C． D．3．（2020·甘肃高考模拟）将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．4．（2020·山东高考模拟）将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（）A． B． C． D．5．（2020·云南高考模拟）将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（）A． B． C． D．6．（2020·四川华蓥一中高考模拟）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2020·天津高考模拟）已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【来源】江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学（理）试题9．（2020·广东高考模拟）已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．10．在中，，边上的高为1，则面积的最小值为（）A． B． C． D．11．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（）A． B． C． D．212．设函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位13．设函数f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（）A． B． C． D．14．在平面直角坐标系中，已知向量，，点在圆上，点的坐标为，若存在正实数满足，则的最小值为（）A． B．2 C． D．4【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷理科数学全国卷Ⅰ（第三模拟）15．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A．B．当时，函数单调递增C．当，的最大值为D．当时，16．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，若的面积，则的取值范围是（）A． B． C． D．17．函数在上的最小值为（）A．-1 B． C． D．1【来源】天一大联考2020-2021学年高三上学期高中毕业班阶段性测试（三）理科数学18．在中，，则的最大值为（）A． B． C． D．19．向量，，则的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．620．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为M，则M的最小值为________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）数学试题21．已知函数，若对于任意，均有，则的最大值是___________.22．在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是______.23．若函数的定义域存在，使成立，则称该函数为“互补函数”.若函数在上为“互补函数”，则的取值范围为___________.【来源】重组卷01-冲刺2021年高考数学（理）之精选真题模拟重组卷（新课标卷）24．（2020·陕西高考模拟）若向量,,则的最大值为.24．（2020·浙江高考模拟）定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为25．（2020·安徽高考模拟）已知函数，其中，，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是26．（2020·浙江高考模拟）已知函数，若恒成立，则实数a的最小正值为27．（2020·横峰中学高考模拟）已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．28．（2020·江苏扬州中学高考模拟）已知的面积为,且满足，则边的最小值为_______.29．（2020·安徽高考模拟）设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为__________.第6讲与三角函数相关的最值问题第6讲与三角函数相关的最值问题一．方法综述三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是解决问题的关键，这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．二．解题策略类型一与三角函数的单调性、奇偶性和对称性相关的最值问题【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】当时，，因为函数在区间上单调递增，正弦函数在上递增，所以可得，解得，即的最大值为2，故选C．2．（2020·山东高考模拟）若函数在上的值域为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】而值域为，发现，整理得，则最小值为，选A项.3．（2020·河南南阳中学高考模拟）设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是A． B． C． D．3【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位后所以有，故选C【举一反三】1．已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【来源】安徽省示范高中皖北协作区2021届高三下学期第23届联考数学（文）试题【答案】B【解析】，，，在上恰有1个最大值点和1个最小值点，，解得.故选：B.2.（2020·河南高考模拟）已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】结合图象可知，A＝2，f（x）＝2sin（ωx+φ），∵f（0）＝2sinφ＝1，∴sinφ，∵|φ|，∴φ，f（x）＝2sin（ωx），结合图象及五点作图法可知，ω2π，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x），其对称轴x，k∈Z，∵f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立，∴f（a+x）＝f（a﹣x）即f（x）的图象关于x＝a对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a3．已知函数在上单调递减，则实数的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由在上单调递减，得，即，令，则，当时，，则，所以，即，所以在是单调递减函数，，得，的最小值为.故选：D.类型二转化为型的最值问题【例2】（2020·北京人大附中高考模拟）已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【解析】由题，=，为辅助角，因为对称轴为，所以即解得，所以又因为在上具有单调性，且，所以两点必须关于正弦函数的对称中心对称，即所以，当时，取最小为，故选A【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键.【举一反三】1、（2020·江西高考模拟）已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，，，的最小值为，故选C．2．（2020·河北高考模拟）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，函数的图象向右平移个单位可得，所得图象关于y轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y轴处取得函数的最值，即，解得=，，所以，，且，令时，的最小值为.故选D．3．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，所以，，由于三角形是锐角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故选：C4.（2020·河北高考模拟）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为A． B．1 C． D．【答案】A【解析】依题意，，向左平移个单位长度得到.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的最大值.故选A.类型三转化为二次函数型的最值问题【例3】函数的最大值为（）A． B． C． D．3【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题【答案】B【解析】因为，所以令，则则令，得或当时，；时所以当时，取得最大值，此时，所以故选：B【举一反三】1．（2020·湖南高考模拟）已知，则的值域为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，由，得，所以.故选：B2．（2020·江西高考模拟（理））函数的值域为_________．【答案】【解析】由题意，可得，令，，即，则，当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，又，，，故函数的值域为：．3、函数，关于的为等式对所有都成立，则实数的范围为__________．【答案】4、求函数的值域.【解析】[令sinx+cosx=t,则,其中所以,故值域为.类型四转化为三角函数函数型的最值问题【例4】（2020·黑龙江高考模拟）已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设中间三项为，则，所以，，所以后三项的和为，又因为，所以可令，所以，故选【举一反三】设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是（）A． B． C． D．2【来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末数学试题【答案】D【解析】设，，则有当且仅当时取最小值，即，此时，，的最小值是，故选：D.三．强化训练1．（2020·四川高考模拟）若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为A． B． C．1 D．【答案】A【解析】函数的图象向左平移个单位长度后，图象所对应解析式为：，由关于轴对称，则，可得，，又，所以，即，当时，所以，，故选A．2．（2020·陕西高考模拟）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选A．3．（2020·甘肃高考模拟）将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【详解】由题意得，，令，可得函数的图象对称轴方程为，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．4．（2020·山东高考模拟）将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，所以在时，取得最大值，所以有而，所以的最小值为.5．（2020·云南高考模拟）将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，将函数的图象向左平移个单位，可得函数，令，解得即函数的单调递增区间为，令，可得函数的单调递增区间为，又由函数在区间上无极值点，则的最大值为，故选A.6．（2020·四川华蓥一中高考模拟）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由三角函数的性质可得：，其图象向左平移个单位所得函数的解析式为：，函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为：，在上为增函数，则：，据此可得：，则的最大值为2.本题选择B选项.7．（2020·天津高考模拟）已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得因为是奇函数，所以是奇函数，即又因为，即所以是奇数，取k=1，此时所以函数因为在上没有最小值，此时所以此时，解得.故选D.8．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【来源】江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学（理）试题【答案】C【解析】且，由题意可知，对任意的，，即，即，，则，，，可得.当时，成立；当时，函数在区间上单调递增，则，此时.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.9．（2020·广东高考模拟）已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，,函数在区间内没有零点(1)，则，则，取，；（2），则，解得：，取，；综上可知：的取值范围是，选.10．在中，，边上的高为1，则面积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设BC边上的高为AD，则AD=1，，如图所示：所以,所以，所以，设，因为，则，所以==，因为，所以，所以，则，所以，所以面积的最小值为.故选：B11．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】令，原不等式整理得：，即，∴，即，两边除以得：，所以，因为，故，故为增函数.又，因此在上递减，上递增，又，，且，故.则.故选：B.12．设函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位【答案】D【解析】由题意可得，函数的最小正周期为，，所以，，由于函数的图象关于点对称，则，可得，，，，所以.对于A选项，当时，，所以，函数在上单调递减，A选项错误；对于B选项，，所以，函数的图象不关于直线对称，B选项错误；对于C选项，当时，，，C选项错误；对于D选项，，所以，要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，D选项正确.故选：D.13．设函数f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4，又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴，且ω＞0，解得，∴ω的取值范围是．故选：B．14．在平面直角坐标系中，已知向量，，点在圆上，点的坐标为，若存在正实数满足，则的最小值为（）A． B．2 C． D．4【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷理科数学全国卷Ⅰ（第三模拟）【答案】A【解析】解法一设，又，所以，且，．由，得，即，得．即由，当且仅当时等号成立，所以，又为正实数，解得，所以的最小值为．解法二设点，又点的坐标为，由，得，，即．因为，所以，又为正实数，解得，所以的最小值为．15．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A．B．当时，函数单调递增C．当，的最大值为D．当时，【答案】D【解析】由题意，，，所以；又点代入可得，解得；又，所以．故不正确；所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．故选：．16．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，若的面积，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用正弦定理可知，又为锐角三角形，由锐角可知，，，利用正弦函数性质知，即的取值范围是故选：B17．函数在上的最小值为（）A．-1 B． C． D．1【来源】天一大联考2020-2021学年高三上学期高中毕业班阶段性测试（三）理科数学【答案】C【解析】,因为，所以，所以当时，取得最小值.故选：C18．在中，，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】有正弦定理得，所以，所以.其中，由于，所以，故当时，的最大值为.故选：B19．向量，，则的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由向量的坐标运算得，所以，由三角函数的性质得，当且仅当时，等号成立.所以.故选：B.20．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为M，则M的最小值为________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）数学试题【答案】【解析】由于函数的最小正周期为，则，.不妨取，则.若函数在区间上单调，则，若函数在区间上先增后减，则；若函数在区间上先减后增，同理可知的最小值为.，综上可知，的最小值为.21．已知函数，若对于任意，均有，则的最大值是___________.【答案】【解析】当时，，当时，，令，则

∴当时，有；有；由有，有，故；当时，有；有；由有，有，故，即；当时，，∴：在上递减，上递减，上递增；：在上递减，上递增；：在上递减，上递增，上递增；∴综上，在上先减后增，则，可得∴恒成立，即的最大值是-1.故答案为：.22．在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以.当，即时，，没有最大值，所以，则，其中，要使有最大值，则要能取，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范围是.故答案为：23．若函数的定义域存在，使成立，则称该函数为“互补函数”.若函数在上为“互补函数”，则的取值范围为___________.【来源】重组卷01-冲刺2021年高考数学（理）之精选真题模拟重组卷（新课标卷）【答案】【解析】，由“互补函数”的定义得：存在，，所以令，则函数在区间上存在至少两个极大值点，则，得.当时，即，显然符合题意；当时，分以下两种情况讨论，当，即时，，即，所以；当，即时，，即，所以.综上，的取值范围为.24．（2020·陕西高考模拟）若向量,,则的最大值为.【答案】3【解析】根据题意，由于向量,,则可知=，那么化为单一函数可知，可知最大值为3，故填写3.24．（2020·浙江高考模拟）定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为【答案】【解析】由题意可知f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（