2024-2025学年高中数学第二章概率6正态分布课后作业含解析北师大版选修2-3

PAGE6正态分布[A组基础巩固]1．下列函数中哪个是正态分布密度函数()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2πσ))e，μ和σ(σ>0)都是实数B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)eC．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))eD．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e解析：细致比照正态分布密度函数：f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)·e，x∈(－∞，＋∞)，留意指数上的σ和系数分母上的σ要一样，且指数部分是一个负数．选项A是错误的，错在系数部分中的σ应当在分母根号的外面．选项B是正确的，它是正态分布密度函数N(0,1)．选项C是错误的，从系数方面看σ＝2，可是从指数部分看σ＝eq\r(2)，不统一．选项D是错误的，指数部分缺少一个负号．所以，选择B.答案：B2．关于正态曲线性质有下列叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这条曲线在x轴的上方；(2)曲线关于直线x＝0对称，这条曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时，才在x轴的上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延长时，曲线渐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形态由σ确定；(6)当μ肯定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6) B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)解析：正态曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延长时，渐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线的形态由σ确定，而且当μ肯定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线，可以发觉σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．答案：A3．设随机变量ξ听从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D.eq\f(1,2)－p解析：由P(ξ>1)＝p，知P(－1<ξ<1)＝1－2p，∴P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)－p.答案：D4．设随机变量X听从正态分布，且相应的分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\f(x2－4x＋4,6)，则()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)解析：由f(x)＝eq\f(1,\r(2π)×\r(3))e－，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故选C.答案：C5．若随机变量X听从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，eq\f(1,2))，则该随机变量的方差等于()A．10 B．100C.eq\f(2,π) D.eq\r(\f(2,π))解析：由正态分布密度曲线上的最高点为(10，eq\f(1,2))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴DX＝σ2＝eq\f(2,π).答案：C6．已知随机变量X听从正态分布N(3，σ2)，则P(X<3)＝________.解析：由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴，P(X<3)＝P(X>3)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)＝________.解析：由正态分布图像的对称性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.答案：0.368．在某项测量中，测量结果X听从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X～N(1，σ2)，故X落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X落在(0,2)内的概率为P(0<X<1)＋P(1<X<2)＝0.4＋0.4＝0.8.答案：0.89．某批待出口的水果罐头，每罐净重X(g)听从正态分布N(184，2.52)，求：(1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5g的概率；(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179g小于等于189g解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5.(1)∵P(X＞186.5)＝P(X＜181.5)，又P(181.5≤X≤186.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.683，∴P(X＞186.5)＝eq\f(1,2)[1－P(181.5≤X≤186.5)]＝eq\f(1,2)(1－0.683)＝0.1585.(2)P(179＜X≤189)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954.10．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)听从正态分布N(4,0.25)，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？请说明理由．解析：由于随机变量X～N(4,0.25)，由正态分布的性质和3σ原则可知，正态分布N(4,0.25)在(μ－3σ，μ＋3σ)＝(4－3×0.5,4＋3×0.5)＝(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了小概率事务，所以据此可认为该批零件是不合格的．[B组实力提升]1．已知随机变量ξ听从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：由ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝0.023，知P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C2．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应当相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k.而μ＝2，所以k＝2.答案：23．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)听从正态分布N(30,100)，则此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为________．解析：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.683，又由于P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，所以此人在10分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954，那么此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954－0.683＝0.271，由正态密度曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.1355.答案：0.13554．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq\f(1,4\r(2π)).(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；(2)求正态总体在(－4,4)内的概率．解析：(1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0，由eq\f(1,4\r(2π))＝eq\f(1,\r(2π)σ)，解得σ＝4，所以该函数的解析式为f(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4＜X<4)＝P(0－4＜X<0＋4)＝P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝0.683.5．某投资商制定了两个投资方案，打算选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别听从正态分布N(8,32)和N(7,12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应当选择哪一个方案？解析：①当选择X～N(8,32)的方案时，则有μ＝8，σ＝3.∴P(8－3<X<8＋3)＝P(5<X<11)＝0.683，∴P(X>5)＝eq\f(1,2)＋P(5<X<8)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(5<X<11)＝0.5＋0.3415＝0.8415.即选择X～N(8,32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.8415.②当选择X～N(7,12)的方案时，则有μ′＝7，σ′＝1.∴P(7－2×1<X<7＋