2024-2025学年高考数学一轮复习专题6.5平面向量知识点讲解含解析

专题6.5《平面对量》单元测试卷一、单选题1．（2024·四川泸县五中开学考试（文））已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】由已知，所以与平行的单位向量为或．故选：D．2．（2024·河北廊坊·高二期末（文））在中，为边上的中线，为（靠近点）的三等分点，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】依据向量的运算法则，可得：.3．（2024·四川成都·石室中学高三开学考试（文））已知向量，，则是//的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【答案】D【解析】当时，，即，解得：或，是的充分不必要条件.故选：D4．（2024·四川泸县五中开学考试（文））已知，，且，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设向量与的夹角为，则，由于，所以.故选：C5．（2024·四川省泸县第四中学开学考试（文））已知向量，不共线，,，若，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，不共线，以及∥∴存在k，使；即；由向量相等，解得故选C.6．（2024·运城市景胜中学开学考试）已知向量，满意，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D.7．（2024·宁夏吴忠中学高一期末）已知向量，，且，则的值为（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】由已知，所以8．（2024·甘肃省会宁县其次中学期末（文））已知是非零向量且满意，，则与的夹角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的夹角为；因为，，所以，则，则故选：B点睛：向量数量积的运算主要驾驭两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.9．（2024·四川邻水试验学校开学考试（文））已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D10．（2024·四川泸县五中开学考试（文））已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满意，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知：，设以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：，，设则，当时，本题正确选项：二、多选题11．（2024·全国高三其他）已知向量，，则（）A．若与垂直，则 B．若，则的值为C．若，则 D．若，则与的夹角为【答案】BC【解析】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，对于选项B：由，可得，解得，∴，∴，故B正确；对于选项C：若，则，则，故C正确：若，对于选项D：：设与的夹角为，则，故D错误．故选:BC．12．（2024·广东东莞四中月考）下列命题中，结论正确的有（）A．B．若，则C．若，则A､B､C､D四点共线；D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.【答案】BD【解析】对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；故选：BD13．（2024·上海专题练习）若均为单位向量,且,则的值可能为()A． B．1 C． D．2【答案】AB【解析】因为均为单位向量,且，所以，所以，而，所以选项不正确，故选：AB14．（2024·沈阳市第一七〇中学高一期末）设向量，，则下列叙述错误的是()A．若时，则与的夹角为钝角B．的最小值为C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或【答案】CD【解析】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则，解得且，A选项中的命题正确；对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；对于D选项，，即，解得，D选项中的命题错误.故选：CD.三、填空题15．（2024·浙江开学考试）已知单位向量，若向量满意，则______.【答案】【解析】由题意知：，又由，有，可得∴，即故答案为：16．（2024·广东濠江·金山中学高一月考）中，，且对于，最小值为，则_____.【答案】【解析】设，，，，，，的最小值为，，解得，，，，.故答案为：.17.（2024·浙江其他）已知平面对量，，，若，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】由题意知：向量，为单位向量，因为，所以，则，所以，即与夹角为.如图作向量，，，则，，，，因此，则，所以，故，，三点共线，即点在线段上，则的几何意义表示线段的中点到线段上点的距离，记线段的中点为，过点作于点，则，，所以，因此，由图形可得，，所以的取值范围为.故答案为：.四、双空题18．（2024·浙江其他）已知两个单位向量，，若，______；的最小值是______.【答案】1【解析】由数量积的定义得，，如下图所示，得到一个正三角形，就是，故，故答题空1答案为1；平移，可得，且，，所以，故，由上图可知，设，则，易知当时，有的最小值为，故的最小值是.19．（2024·浙江高三月考）在中，，点分别在线段上,，，则________，________.【答案】【解析】如图中，因为，所以，所以，即，解得：，在中，由余弦定理，可得：，所以，所以，，所以，故答案为；.20．（2024·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，，则________，________.【答案】【解析】由于，则，解得，由于，，利用正弦定理，则，整理得，解得，∴，由，所以所以则.故答案为：；.21．（2024·北京东城·高三二模）从下列四个条件①；②；③；④中选出三个条件，能使满意所选条件的存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的的值为_____.【答案】①③④或②③④或【解析】由①②结合正弦定理可得，，∴，此时不唯一，故所选条件中不能同时有①②，故只能是①③④或②③④，若选①③④，，，，由余弦定理可得，，化简得，，解得，，或（舍去）；若选②③④，，，，∴，且为钝角，由正弦定理可得，，解得，；故答案为：①③④，；②③④，．五、解答题22.（2024·河北廊坊·高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，，满意.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，由条件及正弦定理得∴∵，∴∵，∴.（2）∵，由余弦定理得∴.∴.23．（2024·黑龙江鹤岗·高三月考（理））在中，内角所对的边分别为，且满意.（1）求出角的大小；（2）若的面积为，求的周长的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可得，∴，解得或，∵，∴.（2）∵，∴.依据余弦定理可得，∴，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，∴的周长，故周长的最小值为.24.（2024·海南枫叶国际学校高一期中）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）【解析】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2)S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为（2）1．25．（2024·山东高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件冲突，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件冲突.26．（2024·嘉祥县第一中学三模）已知的内角、、的对边分别为、、，满意.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，得，，，为钝角，与冲突，故①②中仅有一个正确，③正确.明显，得.当①③正确时，由，得（无解）；当②③正确时，由于，，得；（2）如图，因为，，则，则，.27．（2024·山东滕州市第一中学新校高三月考