2024-2025学年高中数学第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式1.4.1一元二次函数教案北师大版必修第一册

第四节一元二次函数和一元二次不等式4.1一元二次函数教学设计一元二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有亲密联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的相识．教学目标：1.通过一个例子探讨二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培育学生归纳、抽象实力．驾驭二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能娴熟地求二次函数的最值．二.核心素养1.数学抽象：一元二次函数变量的改变趋势2.逻辑推理：利用初中所学的二次函数，配成顶点式，让学生对一元二次函数的平移改变，能更好的驾驭3.数学运算：一元二次函数的平移改变；如何求一元二次函数的最值4.直观想象：依据函数图像的改变，让学生更好理解函数之间的关系5.数学建模：数学中，通过对同类函数图像之间的改变的探讨，让学生能更好的将一元二次函数运用实践中，更好的解决实际中，类似于抛物线的物体，我们都可以通过某些计算，来解决实际问题。重点：1.二次函数的平移改变2二次函数x和y的改变趋势难点:如何将一般二次函数配成顶点式PPT学问引入在初中，我们学习了一元二次函数y=ax2+bx+c,(a≠0)相识这个函数的过程是从y=x2(起先的，是由简到繁的过程(如图1-19).思索沟通请分析探讨函数y=a(x-h)2+k的图象可以由函数y=ax2图象经过怎样的变换得到.2学问概括：（1）二次函数图像的变换规律：抛物线y=a(x-h)2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。y=ax2（a＞0）的图像.y=-ax2（a＞0）的图像当h＜0时，向左平移QUOTE个单位长度，当h＞0时，向右平移QUOTE个单位长度y=a（x-h）2的图像当k＞0时，向上平移QUOTE个单位长度当k＜0时，向下平移QUOTE个单位长度y=a（x-h）2-k的图像写成一般形式y=ax2+bx+c的图像（2）一元二次函数y-a(x-h)2+k(a≠0)有如下性质：(1)函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h,k）对称轴是直线x=h；（2）当a>0时，抛物线开口向上;在区间（，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小;在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x=h处有最小值，记作ymin=k.当a<O时，抛物线开口向下;在区间（，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在处有最大值，记作：ymax=k例1已知一元二次函数（1） 指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到； 指出它的图象的对称轴,试述函数的改变趋势及最大值或最小值.解（1）配方，得 所以函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.由（1）可知:该函数的图象开口向上,对称轴为直线x=-2；在区间（，2]上，函数值y随自变量x的增大而减小，在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大;函数值y在x=一2处取得最小值3,即ymin=3.【学问扩充】例2：画出二次函数，的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。解：如图所示抛物线的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。例3：画出函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线？解：抛物线的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线。留意细微环节：二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的依次用平滑曲线连结起来习题练习用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值：（1） （2）y=-3x2+12x-8已知一元二次函数（1） 指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；（2） 指出它的图像的对称轴，试述函数的改变趋势及最大值或最小值本节内容讲解并描述了两个方面的学问点，一