2025版高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第五讲古典概型学案新人教版

PAGE第五讲古典概型学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一基本领件的特点(1)任何两个基本领件是_互斥__的．(2)任何事务都可以表示成_基本领件__的和(除不行能事务)．学问点二古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中全部可能出现的基本领件_只有有限个__.(2)等可能性：每个基本领件出现的可能性_相等__.学问点三古典概型的概率公式P(A)＝_eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数)__.eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．任一随机事务的概率都等于构成它的每一个基本领件概率的和．2．求试验的基本领件数及事务A包含的基本领件数的方法有列举法、列表法和树状图法．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在相宜条件下，种下一粒种子视察它是否发芽”属于古典概型，其基本领件是“发芽与不发芽”．(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事务．(×)(3)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(×)(4)有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为eq\f(1,3).(√)(5)从1,2,3,4,5中随意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√)题组二走进教材2．(P133T3改编)袋中装有3个白球，2个黄球，1个黑球，从中任取两球，则取出的两球有黑球的概率为_eq\f(1,3)__，两球不同色的概率为_eq\f(11,15)__.[解析]记“取出两球有黑球”为事务A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(2,6))＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，两球不同色的取法有11种，记“取出两球不同色”为事务B，则P(B)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(2,6))＝eq\f(11,15).题组三走向高考3．(2024·新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(C)A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)[解析]不超过30的素数有，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，从中选2个不同的数有Ceq\o\al(2,10)＝45种，和等于30的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共3种，则所求概率P＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，故选C．4．(2024·课标全国Ⅲ，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(D)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]记“两位女同学相邻”为“事务A”，则P(A)＝eq\f(A\o\al(2,3)A\o\al(2,2),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,2)，故选D．5．(2024·课标全国Ⅱ)生物试验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[解析]解法一：记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中，随机取出3只的基本领件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本领件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事务的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选B．解法二：记“恰有2只测量过该指标”为事务A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，故选B．考点突破·互动探究考点一简洁的古典概型问题——自主练透例1(1)(2024·课标全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)(2)(2024·四川攀枝花统考)有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是(A)A．eq\f(4,7) B．eq\f(3,7)C．eq\f(2,7) D．eq\f(1,7)(3)(2024·全国Ⅰ，6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(A)A．eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(21,32) D．eq\f(11,16)(4)(2024·湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教化体系，详细包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余爱好活动中开展了“六艺”学问讲座，每艺支配一节，连排六节，则满足“数”必需排在前两节，“礼”和“乐”必需分开支配的概率为(C)A．eq\f(7,60) B．eq\f(1,6)C．eq\f(13,60) D．eq\f(1,4)(5)(2024·安徽合肥质检)在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机支配到这三个小区，帮助小区保安做好封闭管理和防控宣扬工作．若每个小区支配2人，则每位志愿者担心排在自己居住小区，且每个小区支配的志愿者来自不同小区的概率为(C)A．eq\f(5,9) B．eq\f(4,9)C．eq\f(4,45) D．eq\f(2,135)[解析](1)解法一：(列举法)画出树状图如图：可知全部的基本领件共有25个，满足题意的基本领件有10个，故所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选D．解法二：(排列组合法)P＝eq\f(C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)·C\o\al(1,5))＝eq\f(2,5).故选D．(2)有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，基本领件总数n＝Ceq\o\al(3,8)＝56，取出的编号互不相同包含的基本领件个数m＝Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或m＝\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),A\o\al(3,3))＝32))，则取出的编号互不相同的概率是P＝eq\f(m,n)＝eq\f(32,56)＝eq\f(4,7)，故选A．(3)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故全部的重卦共有26＝64种，重卦中恰有3个“阳爻”的共有Ceq\o\al(3,6)×Ceq\o\al(3,3)＝20种．故所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16)，故选A．(4)解法一：当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种状况，礼和乐依次有2种，其他剩下的有Aeq\o\al(3,3)种状况，由间接法得到满足条件的状况有Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)当“数”在其次位时，礼和乐相邻有3种状况，礼和乐依次有2种，其它剩下的有Aeq\o\al(3,3)种，由间接法得到满足条件的状况有Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)共有：Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种状况，不考虑限制因素，总数有Aeq\o\al(6,6)种，故满足条件的事务的概率为：eq\f(A\o\al(5,5)－C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)＋A\o\al(5,5)－C\o\al(1,4)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(13,60)，故答案为C．解法二：当“数”位于第一位时，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)种；当“数”位于其次位时，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)种，总排法有Aeq\o\al(6,6)种，∴所求概率P＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,4)＋C\o\al(1,2)A\o\al(4,4)＋C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(13,60).(5)从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机支配到这三个小区，每个小区支配2人，则基本领件总数n＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90，每位志愿者担心排在自己居住小区，且每个小区支配志愿者来自不同小区包含的基本领件个数为m＝Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)＝8，则所求概率为P＝eq\f(8,90)＝eq\f(4,45)，选C．[引申]本例(4)中，(1)“必需分开”改为“相邻”，则概率为_eq\f(7,60)__；(2)“必需分开”改为“不和数相邻”的概率为_eq\f(3,20)__.[解析](1)P＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(2,2)＋C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(7,60).(2)P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(4,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,20).名师点拨求古典概型的概率的关键是求试验的基本领件的总数和事务A包含的基本领件的个数，这就须要正确列出基本领件，基本领件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，详细应用时可依据须要敏捷选择．〔变式训练1〕(1)(2024·河南郑州名校调研)甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为(A)A．eq\f(5,6) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)(2)(2024·广东百校联考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖祥瑞物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜爱马、牛，乙同学喜爱马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜爱外其他的都喜爱，则这三位同学抽取的礼物都喜爱的概率是_eq\f(3,88)__.[解析](1)∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本领件总数n＝Aeq\o\al(4,4)＝24，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本领件个数m＝Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝20，∴甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P＝eq\f(m,n)＝eq\f(20,24)＝eq\f(5,6).故选A．(2)依题意可分类为①甲同学选马，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,9)＝18种，②甲同学选牛，则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,9)＝27种．全部状况有Aeq\o\al(3,12)种，则这三位同学选取的礼物都满足的概率P＝eq\f(45,A\o\al(3,12))＝eq\f(3,88).考点二较困难的古典概型问题——多维探究角度1古典概型与平面对量的交汇例2把一颗骰子投掷两次，视察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，其次次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(2,1)，则向量p∥q的概率为(B)A．eq\f(1,18) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,6)[解析]∵向量p∥q，∴m－2n＝0，∴m＝2n，满足条件的(m，n)有3个：(2,1)，(4,2)，(6,3)，又基本领件的总数为36，∴P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，故选B．角度2古典概型与解析几何的交汇例3(2024·甘肃兰州模拟)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其中a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,8)[解析]直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则eq\f(b,a)>1，基本领件总数为4×4＝16，满足条件的(a，b)的状况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个或Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,1)＝6(个)，故概率为eq\f(3,8).角度3古典概型与函数的交汇例4(2024·吉林省试验中学月考)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(D)A．eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)[解析]求导得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b，又a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，故所求的概率为P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).名师点拨较困难的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的学问转化为事务，列举基本领件，求出基本领件总数和随机事务中所含基本领件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．〔变式训练2〕(1)(角度1)设平面对量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事务A，则事务A发生的概率为(A)A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)(2)(角度2)(2024·河北七校联考)若m是集合{1,3,5,7,9,11}中随意选取的一个元素，则椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的焦距为整数的概率为_eq\f(1,2)__.(3)(角度3)(2024·四川威远中学月考)若a，b∈{－1,0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为(A)A．eq\f(13,16) B．eq\f(7,8)C．eq\f(3,4) D．eq\f(5,8)[解析](1)a⊥(a－b)⇔a·(a－b)＝0⇔m2－2m－n＋1＝0，即n＝(m－1)2，又m、n∈{1,2,3,4}，∴(m，n)共有16个，而事务A仅包括(2,1)，(3,4)2个，∴P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)，故选A．(2)由题意知椭圆的焦距2c＝2eq\r(m－2)或2c＝2eq\r(2－m)，∴m＝1,3,11，∴所求概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(3)a，b∈{－1,0,1,2}，(a，b)的取法有16种，函数y＝f(x)有零点，即4－4ab≥0，∴ab≤1，由表baba－1012－110－1－2000001－10122－2024知符合条件的(a，b)有13种，∴所求概率为eq\f(13,16)，故选A．考点三古典概率与统计的综合——师生共研例5(1)(2013·陕西)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(D)A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45(2)(2024·河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A类行业：85,82,77,78,83,87；B类行业：76,67,80,85,79,81；C类行业：87,89,76,86,75,84,90,82.①计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；②若从抽取的A类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．[解析](1)由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.(2)①由题意，得抽取的A，B，C三类行业单位个数之比为3∶3∶4.由分层抽样的定义，有A类行业的单位个数为eq\f(3,10)×200＝60，B类行业的单位个数为eq\f(3,10)×200＝60，C类行业的单位个数为eq\f(4,10)×200＝80，故该城区A，B，C三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.②记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事务M.又A类行业的6个单位中有4个“量级”单位，记2个“非量级”单位，P(M)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PM＝1－P\o(M,\s\up6(－))＝1－\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝\f(4,5))).名师点拨有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是干脆描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只须要能够从题中提炼出须要的信息，即可解决此类问题．〔变式训练3〕(2024·衡水中学模拟)某中学有初中生1800人，中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)写出a的值；(2)试估计该校全部学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名中学生的概率．[解析](1)由题意得a＝0.1－0.04－0.02－0.005×2＝0.03.(2)∵初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25.∴全部初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1800＝450(人)．同理，中学生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.03＋0.005)×10＝0.35，∴全部中学生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1200＝420(人)．∴该校全部学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450＋420＝870.(3)由分层抽样知，抽取的初中生有60名，中学生有40名．记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名中学生”为事务A．初中生中，阅读时间不足1