考点17相似三角形（原卷版）

考点17相似三角形相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点。它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视！比例线段相似三角形的性质相似三角形的判定考向一：比例线段比例的性质1.基本性质：；2.比例中项：，此时，c为a、b的比例中项；比例线段1.比例线段：在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段简称比例线段；2.黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．3.平行线分线段成比例的基本性质：如图：AB∥CD∥EF1．若2a＝3b（a≠0，b≠0），则的值为（）A． B． C．1 D．2．已知线段a＝3，b＝12，则a，b的比例中项线段等于（）A．2 B．4 C．6 D．93．若点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝8，则AC的长度为（）A． B． C．5 D．4．如图，已知l1∥l2∥l3，AG＝2，OB＝1，CH＝3，DH＝4，则GO＝．5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AB分别交三条平行线于点A、E、B，直线CD分别交三条平行线于点C、F、D，直线AB、CD相交于点O，若AE：EO：OB＝4：2：7，则下列式子①；②；③；④中，正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个考向二：相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的周长之比等于相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比相似三角形性质的主要应用方向：求角的度数求或证明比值关系证线段等积式求面积或面积比相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段1．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A．AB2＝BC•BDB．AB2＝AC•CDC．AB•AD＝BD•BCD．AB•AD＝AD•CD2．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：4．则它们的周长比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：13．若两个相似三角形的面积之比为4：9，则它们对应角的平分线之比为（）A． B． C． D．4．已知△ABC∽△DEF，且AC：DF＝2：3，BC与EF边上的高分别记为h1和h2，则h1：h2等于．5．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝．6．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝﹣（x＞0）的图象经过的中点D，且与AB交于点E，连接DE（1）求△BDE的面积（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F坐标．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C`∴△ABC∽△A，B，C，判定方法3·“SAS”∵，∠B=∠B∴△ABC∽△A，B，C，判定方法4·“SSS”∵∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角（2）有一对等角，找（3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找（5）等腰三角形，找1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．2．下列四个三角形，与如图的三角形相似的是（）A．B．C．D．3．如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列条件后不能判定△ADB与△ABC相似的是（）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．4．如图，点D是等腰Rt△ABC斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰Rt△ADE，斜边AE交BC于F，则图中相似三角形共有（）对．A．2 B．3 C．4 D．55．如图所示，在锐角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点B停止，点E从点C出发以2cm/s的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）．（1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．考向四：相似三角形性质与判定的综合1．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD：BD＝5：3，CF＝6，则DE的长为（）A．8 B．10 C．12 D．142．如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（）A．8 B．6 C．5 D．43．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B．当EA＝ED时，则BD的长为（）A．2 B． C．3 D．4．如图，矩形EFGH内接于△ABC，边FG落在BC上．若AD⊥BC于点D，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，则EH的长为．5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF＜FC，且AF⊥FE．对角线AC与EF交于点G，则GC的长为．6．如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF分别交DE、CD于点G、H，且CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，有下面四个结论：①DG＝EG；②△AGD∽△ACF；③点H是AF的中点；④S△ABF＝9S△AGE．其中所有正确结论的序号是．7．如图，在△ABC中，点D在BC上，，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：∠ACB＝∠AED；（2）AF•FC＝FD•EF．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP．（1）若AP＝4，求证△ABP∽△DPC；（2）若AP＝3，求PM的长．9．如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长．1．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈DE．（精确到0.001）2．（2022•广安）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．相似三角形的面积的比等于相似比 C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行3．（2022•甘肃）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（）A． B． C． D．4．（2022•贵阳）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ACB的周长比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：45．（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：16．（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：47．（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）A．5 B．6 C． D．8．（2022•阜新）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是．9．（2022•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则的值是．10．（2022•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（）A． B．1 C． D．11．（2022•绥化）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x≤5．则下列结论中，正确的个数为（）（1）y与x的关系式为y＝x﹣；（2）当AP＝4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP＝4时，tan∠EBP＝．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．13．（2022•上海）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝．14．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．15．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若，则△ABD∽△A′B′D′．请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．16．（2022•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．1．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的倍．2．（2022•潍坊）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（）A．0＜＜ B．＜＜ C．＜＜1 D．＞13．（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．4．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（）A． B． C． D．5．（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（）A． B．1 C． D．26．（2022•兰州）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（）A．4 B．6 C．8 D．167．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．8．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54 B．36 C．27 D．219．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC．10．（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为．11．（2022•东营）如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（）A． B． C． D．12．（2022•台湾）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比为何？（）A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：813．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2 B． C． D．14．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．15．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④16．（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．17．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．1．（2023•宁波模拟）若＝，则的值是（）A． B．﹣ C．﹣2 D．22．（2022•宝山区模拟）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cm B．500cm C． D．3．（2023•碑林区校级模拟）如图，已知直线AB∥CD∥EF，且AE：EC＝2：3，BD＝15，则DF＝．4．（2023•深圳模拟）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是（）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm5．（2022•覃塘区模拟）如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且，CD与AE交于点F，则的值为（）A． B． C． D．6．（2022•定远县校级模拟）如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么的值为（）A． B． C． D．7．（2022•于洪区二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，DE＝2，DF＝3，则BE的长是（）A．12 B．15 C． D．8．（2022•丹东模拟）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是它们的对应高，若AD＝3，A'D'＝2，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．9：29．（2023•偃师市一模）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝10．（2022•乳山市模拟）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，若△AQD与△BCP相似，则AQ的长是．11．（2022•无为市校级一模）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（）A．B． C．D．12．（2022•中山市三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（）A．B．C．D．13．（2022•平阴县二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②14．（2023•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB，BC边上的点（E、F不与端点重合），且EF∥AC．将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，延长EM交AC于