专题训练04有关三角形多边形的角度计算问题-2022-2023学年八年级数学上册多维突破讲与练（人教版）

专题训练四：有关三角形、多边形的角度计算问题◆◆类型一：与平行线的性质结合求角的度数专题训练四：有关三角形、多边形的角度计算问题◆◆类型一：与平行线的性质结合求角的度数●●【典例一】（2022•新野县一模）如图，∠FAC、∠DCA是△ABC的两个外角，若AE∥BD，∠ACD＝110°，∠FAE＝30°，则∠BAC的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．86°【分析】根据邻补角性质求出∠ACB，即可求出∠ACE，求出∠B，根据三角形内角和求出∠BAC即可．【解答】解：∵∠ACD＝110°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∵AE∥BD，∠FAE＝30°，∴∠FAE＝∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角性质，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．◆变式1：（2021春•饶平县校级期末）如图，直线m∥n，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A落在直线m上，BC与直线n交于点D，若∠2＝130°，则∠1的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．65°【分析】过点B作直线l∥m，利用平行线的判定定理和性质定理可得结果．【解答】解：如图，过点B作直线l∥m，∵直线m∥n，∴l∥n，∴∠2+∠3＝180°，∵∠2＝130°，∴∠3＝50°，∵∠B＝90°，∴∠4＝40°，∵l∥m，∴∠1＝∠4＝40°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．◆变式2：（2021秋•兴城市期中）如图，正五边形ABCDE，点D、E分别在直线m、n上．若m∥n，∠1＝20°，则∠2为（）A．52° B．60° C．58° D．56°【分析】先根据五边形的内角和求得每个内角度数，在计算∠GED的度数，根据平行线计算∠HDE，接着计算∠CDH，最后根据三角形内角和计算得∠CHD的度数，从而得∠2度数．【解答】解：如图：直线m交AB于G，直线n交BC于H，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠C＝∠AED＝∠CDE=(5-2)×180°∵∠1＝20°，∴∠DEG＝∠AED﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，∵m∥n，∴∠HDE＝180°﹣∠GED＝180°﹣88°＝92°，∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝108°﹣92°＝16°，在△CDH中，∠CHD＝180°﹣∠CDH﹣∠C＝180°﹣16°﹣108°＝56°，∴∠2＝∠CHD＝56°，故选：D．【点评】本题考查了多边形内角和，三角形内角和及平行线性质，解决问题的关键是寻求角之间的数量关系．◆◆◆◆类型二：与学具结合求角的度数●●【典例二】（2021春•丹阳市期中）将一副直角三角尺按如图所示放置，∠A＝45°，∠ACB＝∠D＝90°，∠E＝60°，则∠BOC＝°．【分析】利用三角形内角和为180°可先求出∠ABC和∠BCO，进而可得结果．【解答】解：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵∠E＝60°，∠D＝90°，∴∠BCO＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠BCO﹣∠ABC＝105°，故答案为：105．【点评】本题考查三角形内角和定理，熟练利用三角形内角和为180°进行角度的推导是解题关键．◆变式3：（2021秋•滑县期末）将一副三角板按如图所示放置，则∠BFD的度数为（）A．105° B．95° C．85° D．75°【分析】由题意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，利用三角形的外角性质可得∠BFE＝75°，从而可求∠BFD的度数．【解答】解：由题意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，∵∠BFE是△CEF的一个外角，∴∠BFE＝∠ACB+∠CED＝75°，∴∠BFD＝180°﹣∠BFE＝105°．故选：A．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．◆变式4：（2022•炎陵县一模）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠DFB的度数为（）A．145° B．155° C．165° D．175°【分析】利用三角形的外角性质可求出∠AFD的度数，再利用邻补角互补可求出∠DFB的度数．【解答】解：∵∠CDF＝∠A+∠AFD，∴∠AFD＝∠CDF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．又∵∠DFB+∠AFD＝180°，∴∠DFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣15°＝165°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外角性质以及邻补角，利用三角形外角的性质，求出∠AFD的度数是解题的关键．◆◆◆◆类型三：折叠问题中的角度计算●●【典例三】（2021春•松北区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝（）A．10° B．30° C．65° D．85°【分析】根据翻折变换的性质可得∠A′DC＝∠ADC，CD是角平分线，然后根据三角形的内角和列式计算即可得解．【解答】解：∵折叠后点A落在边CB上A′处，∠ACB＝90°∴折痕CD是角平分线，∴∠A′CD＝∠ACD＝45°又∵∠A＝50°，∴∠A′DC＝∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣50°﹣45°＝85°．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，折痕是角平分线，直角三角形的内角和，翻折前后三角形全等，对应角相等．◆变式5：（2022春•泉州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，将△ABC沿直线m翻折．点A落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．α B．2α C．90°﹣α D．45°+α【分析】首先利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和得到∠1和∠2的关系，然后利用折叠的结论即可求解．【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠AEF，又∠AEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠A+∠2+∠D，而根据折叠得∠A＝∠D＝α，∴∠1＝∠A+∠2+∠D＝2α+∠2，∴∠1﹣∠2＝2α．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，同时也考查了折叠的性质，能力要求比较高．◆变式6：（2022春•大丰区校级月考）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，（1）如图1，如果∠A＝50°，求∠1+∠2的度数；（2）如图1，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图2，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，线段AB落在四边形CDEF内线段A′B′的位置，猜想∠1、∠2、∠A、∠B之间的数量关系，并直接写出结果．【分析】（1）根据折叠的性质及三角形内角和定理求解即可；（2）根据折叠的性质及三角形内角和定理求解即可；（3）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨．【解答】（1）解：∵∠A＝50°，∴∠AED+∠ADE＝180°﹣50°＝130°，∵∠AED＝∠A'ED，∠ADE＝∠A'DE，∵∠1＝180°﹣∠AED﹣∠A′ED，∠2＝180°﹣∠ADE﹣∠A'DE，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠AED+（180°﹣2∠ADE）＝360°﹣2（∠AED+∠ADE）＝360°﹣2×130°＝100°；（2）解：∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，设∠AED＝x，∠ADE＝y，∠1+∠2＝180°﹣2x+（180°﹣2y）＝360°﹣2（x+y）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；（3）由图形折叠的性质可知，∠1＝180°﹣2∠AEF，∠2＝180°﹣2∠BFE，两式相加得，∠1+∠2＝360°﹣2（∠AEF+∠BFE）即∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B），所以，∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．◆◆◆◆类型四：利用对顶三角形的特征解决角度问题●●【典例四】（2021秋•赞皇县期末）已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；（2）根据“8字形”的结构特点，连接AD，根据四边形的内角和等于360°可得∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，根据“8字形”的关系可得∠E+∠F=∠EDA+∠FAD，然后即可得解．【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D，在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C，∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠A+∠D=∠B+∠C；如图3，连接AD，则∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，根据“8字形”数量关系，∠E+∠F=∠EDA+∠FAD，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．◆变式7：（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【分析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义解决问题；（2）利用（1）的结论即可求解；（3）利用（2）的结论即可求解．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明以及定理的变式题目，对于学生的能力要求比较高．◆◆◆◆类型五：多边形中求多个角的和的计算问题●●【典例四】（2021春•遂宁期末）如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝．【分析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”把∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6全部转化到∠2，∠3所在的四边形中，利用四边形内角和为360度可得答案．【解答】解：如图，∵∠1+∠5＝∠7，∠4+∠6＝∠8，又∵∠2+∠3+∠7+∠8＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360°．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理．将所求角度之和转化为四边形内角和是解题关键．◆变式8：（2021秋•旌阳区校级月考）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为．【分析】由图知∠A+∠B+∠C+∠1=360°、∠2+∠3+∠F+∠G=360°，根据∠3=∠D+∠E，∠1+∠2=180°可得∠A+∠B+∠C+∠1+∠2+∠D+∠E+∠F+∠G=720°，即可得出答案．【解答】解：如图，四边形ABCN中，∠A+∠B+∠C+∠1=360°，四边形MNGF中，∠2+∠3+∠F+∠G=360°，∵∠3=∠D+∠E，∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠1+∠2+∠D+∠E+∠F+∠G=720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．故答案为：540°．【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握四边形的内角和与三角形的外角的性质．◆变式9：（2021春•鹤城区期末）如图1六边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6为m度，如图2六边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6为n度，则m﹣n=．【分析】将多边形转化为三角形和四边形利用三角形内角和与四边形内角和即可求解．【解答】解：如图，将图1和图2的多边形转化为两个三角形和一个四边形，图1中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°+360°=720°，图2中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°+360°=720°，∴m=n=720°∴m﹣n=0．故答案为0．【点评】本题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质，解决本题的关键是将多边形问题转化为三角形和四边形问题．专题突破练专题突破练1．（2021春•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为（）A．50° B．60° C．30° D．40°【分析】先根据∠1＝50°由平行线的性质求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数．【解答】解：∵EF∥AB，∴∠A＝∠1＝50°，∵△ABC是直角三角形，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°．故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的性质，考查的知识点为：两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余．2．（2021春•滨海县月考）如图，直线a∥b，△ABC的顶点A和C分别落在直线a和b上，若∠1＝60°，且∠1+∠2＝90°，则∠ACB的度数是．【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2+∠ACB，进而可得结果．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠2+∠ACB，∵∠1＝60°，∠1+∠2＝90°，∴∠2＝30°，∴∠ACB＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．3．（2021秋•宣化区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD边折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝m°，则∠BDC等于°．（用含m的式子表示）【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝m°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝90°﹣m°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝m°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣m°，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝90°﹣m°，∠BDC＝∠EDC，∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝90°﹣2m°，∴∠BDC=180°-∠ADE2=故答案为：45+m．【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．4．（2022•漳州模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则α﹣β＝度．【分析】利用△BCE的外角性质求出β，利用△CFG的外角性质求出α，即可求解．【解答】解：如图，∵∠C＝30°，∠DBF＝45°，∴β＝∠C+∠DBF＝75°，∵∠DFC＝90°，∴α＝∠DFC+∠C＝120°，∴α﹣β＝120°﹣75°＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查三角形外角性质，解题的关键是明确三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．（2022春•建湖县期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，∠1＝45°，则∠2的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】连接AA′，根据三角形内角和求出∠BAC，再根据∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，得出∠1+∠2＝2∠BAC，从而得出答案．【解答】解：如图，连接AA′，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，∴∠1+∠2＝2∠BAC＝80°，∵∠1＝45°，∴∠2＝35°．故选：B．【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识．6．（2021秋•武昌区月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】如图，延长BE、CD并交于点F，连接AF．根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠ADC+∠AFD，得∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠ADC+∠AFD，即∠1+∠2＝2∠EAD．【解答】解：如图，延长BE、CD并交于点F，连接AF．由题可知：∠EAD＝∠EFD．∵∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠DAF+∠AFD，∴∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠DAF+∠AFD．∴∠1+∠2＝∠EAD+∠EFD．∴∠1+∠2＝2∠EAD．故选：B．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．7．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【分析】根据图示这几个角分别是一个三角形的三个内角和一个四边形的四个内角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°+360°=540°．【解答】解：∵∠A+∠D+∠F=180°，∠B+∠C+∠E+∠G=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°+360°=540°．【点评】8．（2022春•江都区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC中边BC、AC、AB上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是．【分析】由于不能直接求出∠1、2、∠3、∠4、∠5、∠6的度数，可通过三角形的内角和定理，利用等式的性质和整体的思想得结论．【解答】解：如图，∵∠2+∠3+∠7＝180°，∠1+∠6+∠9＝180°，∠5+∠4+∠8＝180°，∴∠2+∠3+∠7+∠1+∠6+∠9+∠5+∠4+∠8＝540°，又∵∠7+∠8+∠9＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、“等量加等量和相等，等量减等量差相等”整体的思想方法是解决本题的关键．9．（2021春•钟祥市期中）如图，在△BC中，∠A＝25°，点D为AB上一点，点E为△ABC外一点，且∠ACE＝25°，点F为线段CD上一点，连接EF，且EF∥BC．（1）若∠B＝80°，求∠BCE的度数；（2）若∠E＝2∠DCE，2∠BCD＝3∠DCE，求∠B的度数．【分析】（1）根据∠A＝∠ACE＝25°，得AB∥CE，即∠B+∠BCE＝180°，即可求出∠BCE的度数；（2）根据EF∥BC，即∠BCE+∠E＝180°，先求出∠DCE和∠BCD的度数，即可求出∠B的度数．【解答】解：（1）∵∠A＝∠ACE＝25°，∴AB∥CE，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣80°＝100°；（2）∵EF∥BC，∴∠BCE+∠E＝180°，∵∠E＝2∠DCE，2∠