28.1锐角三角函数（讲练）（原卷版）

28.1锐角三角函数锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．注意：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．题型1：锐角三角函数的相关概念1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，下列三角函数表示正确的是（）A．sinA=45 B．cosA=45 【变式11】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（）A．512 B．1213 C．125【变式12】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．34 B．43 C．35题型2：求锐角函数值2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinA，cosA，tanA．【变式21】已知，如图Rt△ABC中，AB=8，BC=6，求sin∠A和tan∠A．【变式22】在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA和tanB的值．题型3：构造直角三角形求锐角函数值3.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，S△ABC=12．试求tan∠B的值．【变式31】如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值为.【变式32】如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°注意：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．题型4：特殊角的三角函数值的计算4.计算：（1）sin45（2）cos60（3）sin60【变式41】计算：∣−823·sin60°－2·cos45°＋38－1【变式42】先化简，再求值：a−ba+2b锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；

(2)平方关系：；

(3)倒数关系：或；

(4)商数关系：．

注意：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．题型5：锐角三角函数之间的关系5.已知α为一锐角，sinα=45，求cosα，tanα．【变式51】已知tanα=25【变式52】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35【变式53】已知α+β=90°，且sinα+cosβ=3，求锐角α．题型6：锐角三角函数与圆综合6.如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．（1）求证：∠CPB=2∠ABC．（2）设圆O的半径为2，sin∠PBC=23【变式61】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是BD的中点，连接AE交BC于点F．（1）求证：AC=CF；（2）若AB=4，AC=3，求∠BAE的正切值．【变式62】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切于点D．（1）求证：△CAD∽△CDB；（2）若sinC＝13题型7：锐角三角函数与平面直角坐标系7.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A． B． C． D．2【变式71】点P关于y轴对称的点的坐标是（sin60°，cos60°），则点P关于x轴的对称点的坐标为（）A．（32，12） B．（32C．（32，12） D．（12【变式72】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，4），则tan∠OAB的值为（）

A．−43 B．34 C．4【变式73】如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（）

A．3 B．533 C．4 题型8：锐角三角函数与一元二次方程综合8.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA的值是方程2x25x+2=0的一个根,求sinA的值.【变式81】已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x﹣3=0的一个根，求2sin2α+cos2α﹣3tan（α+15°）的值．【变式82】已知α为锐角且cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，求1−2sin题型9：利用三角函数值确定三角形类型9.△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|2sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，请判断△ABC的形状．【变式91】在△ABC中，cosA＝，tanC＝，试判断△ABC的形状．【变式92】在△ABC中，若（2cosA﹣1）2+|﹣tanB|＝0，试判断△ABC的形状．题型10：锐角三角函数阅读理解10.如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1＝；sin2A2+sin2B2＝；sin2A3+sin2B3＝．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A+sin2B＝．（2）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．【变式101】如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°＝；（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【变式102】在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°．若定义cotA＝，则称它为锐角A的余切，根据这个定义解答下列问题：（1）cot30°＝；（2）已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值；（3）求证：tanA＝cot（90°﹣∠A）．一、单选题1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的1C．不变 D．不能确定2．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα=23A． B．C． D．3．cos60°的值等于（）A．1 B．12 C．22 4．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）A．65 B．56 C．2105．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23A．355 B．53 C．26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，若AB=8，AD=5，则sinBA．35 B．45 C．34二、填空题7．计算：4tan45°＝．8．要使二次根式x−sin30°有意义，则x9．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为．10．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），连结DE，当△BDE是等腰三角形时，则AE的长为.11．（3.14﹣π）0+2cos45°﹣|1﹣2|+（12）﹣1=三、解答题12．计算：（12）﹣2+（π﹣3.14）0﹣|313．先化简，再求代数式x−4x2−9四、综合题14．如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB