专题3.1变量之间的关系（举一反三）（北师大版）

专题3.1变量之间的关系【六大题型】【北师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1常量与变量】 1【题型2自变量与因变量】 3【题型3用表格表示变量之间的关系】 4【题型4用关系式表示变量之间的关系】 8【题型5用图象表示变量之间的关系】 10【题型6根据变量之间的关系判断图象】 13【题型1常量与变量】【例1】（2022春·四川·七年级校考期中）球的体积是V，球的半径为R，则V=43πA．变量是V，R；常量是43，π B．变量是R，π；常量是C．变量是V，R，π；常量是43 D．变量是V，R3【答案】A【分析】所谓变量是指变化的量，常量是指固定不变的量，根据变量、常量的含义即可作出判断．【详解】解：球的体积是V，球的半径为R，则V=4其中变量是V，R；常量是43，π故选：A．【点睛】本题考查了常量与变量，知道其含义是关键．【变式11】（2022春·四川成都·七年级统考期末）如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（

）A．∠BAC的度数 B．BC的长度 C．△ABC的面积 D．AC的长度【答案】D【分析】根据常量和变量的定义进行判断．【详解】解：木条AC自由转动至AC′位置中，AC的长度始终保持不变，∴AC的长度是常量；故选：D【点睛】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键．【变式12】（2022春·四川·七年级校考期中）下面说法中正确的是(

)A．两个变量间的关系只能用关系式表示B．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D．以上说法都不对【答案】C【详解】表示函数的方法有三种：解析法、列表法和图象法．解：A、两个变量间的关系只能用关系式表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；B、图象能直观的表示两个变量间的数量关系，故错误；C、借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况，正确；D、以上说法都不对，错误；故选C．【变式13】（2022春·河南驻马店·七年级校联考期中）一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（）A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：yC．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：5【答案】C【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，所以5是常量，x、y是变量，据此判断即可．【详解】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5是常量，x、y是变量．故选：C．【点睛】此题主要考查了常量与变量问题，解题的关键是要明确：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．【题型2自变量与因变量】【例2】（2022春·四川·七年级校考期中）某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（

）定价（元）100110120130140150销量（台）801001101008060A．定价是常量 B．销量是自变量 C．定价是自变量 D．定价是因变量【答案】C【分析】根据自变量、因变量、常量的定义即可得．【详解】由表格可知，定价与销量都是变量，其中，定价是自变量，销量是因变量，故选：C．【点睛】本题考查了常量与变量、自变量与因变量，掌握理解相关概念是解题关键．【变式21】（2022春·四川·七年级校考期中）重百大楼的销售量随商品价格的高低而变化，在这个变化过程中，自变量是（）A．销售量 B．顾客 C．商品 D．商品的价格【答案】D【详解】试题分析：根据题意，销售量随商品价格的高低而变化，结合函数的定义，分析可得答案．解：根据题意，销售量随商品价格的高低而变化，则在这个变化过程中，自变量是商品的价格，故选D．点评：本题考查函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．【变式22】（2022秋·云南昆明·七年级统考期中）生活中太阳能热水器已经慢慢普及使用．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒太阳时间的长短而变化，这个问题中因变量是(

)A．太阳光的强弱 B．水的温度 C．晒太阳的时间 D．热水器【答案】B【详解】∵在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温是随所晒太阳时间的长短而变化的，∴在这个问题中，“因变量”是“水的温度”.故选B.【变式23】（2022春·四川·七年级校考期中）圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化．在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____．【答案】

r

V【详解】∵圆柱的高固定为6cm，当圆柱底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积v也随之发生变化，∴在上述变化过程中，自变量是：r，因变量是v.故答案为（1）r；（2）v.【题型3用表格表示变量之间的关系】【例3】（2022春·河南焦作·七年级校考期末）某种蔬菜的价格随月份变化如下表所示，根据表中信息，下列结论错误的是（

）月份x123456789101112价格y(元/千克)5.005.505.004.802.001.500.901.001.503.003.303.50A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．7月份这种蔬菜的价格最低，最低为0.90元千克C．1～D．7～【答案】C【分析】列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，依据表格中的数据即可得到正确答案．【详解】解：A、x是自变量，y是因变量，本选项不合题意；B、7月份这种蔬菜的价格最低，最低为0.90元千克，本选项不合题意；C、2～D、7～故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．【变式31】（2022秋·云南昆明·七年级统考期中）一个蓄水池有水50m放水时间（min）1234…水池中水量（m348464442…则放水14min时，水池中有水______m3【答案】22【分析】根据表格中“放水时间”与“水池中水量”之间的变化规律可得答案．【详解】解：由表格中“放水时间”与“水池中水量”对应值的变化规律可知，放水时间每增加1min，水池中水量就减少2m3所以当放水时间为14min时，水池中水量为48﹣2×（14﹣1）＝22(m3故答案为：22．【点睛】本题考查用表格表示变量间的关系，掌握表格中两个变量的变化规律是解决问题的关键．【变式32】（2022春·江西九江·七年级统考期中）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间有如下关系（其中2⩽x⩽20）：提出概念所用的时间x257101213141720学生对概念的接受能力y47.853.556.359.059.859.959.858.355.0(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用的时间是5min(3)根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分钟时，学生的接受能力最强？(4)根据表格中的数据回答：当x在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？【答案】(1)提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y；提出概念所用时间x是自变量，对概念的接受能力y是因变量．(2)53.5(3)13(4)当2≤x<13时，学生的接受能力逐步增强；当13<x≤20时，学生的接受能力逐步减弱【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；（2）根据表格中数据即可求解；（3）根据表格中x=13时，y的值最大是59.9（4）根据表格中的数据即可求解．【详解】（1）解：提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量；提出概念所用时间x是自变量，对概念的接受能力y是因变量．（2）解：当x=5时，y=53.5，答：当提出概念所用时间是5min时，学生的接受能力是53.5（3）解：当x=13时，y的值最大是59.9答：提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强．（4）解：由表中数据可知：当2≤x<13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13<x≤20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．【点睛】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键．【变式33】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮．八（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：气温t0510152025声音在空气中的传播速度v/331334337340343346(1)在这个变化过程中，________是自变量，______________是因变量．(2)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高__________m/s．(3)声音在空气中的传播速度v/m/s与气温t(4)某日的气温为22℃，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度(2)0.6(3)v=0.6y+331(4)1721m【分析】根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；利用（2）中的变化关系得出函数关系式；当t=22℃时，求出v，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可；【详解】（1）解：在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中传播的速度是因变量；故答案为：气温，声音在空气中的传播速度．（2）解：由表中的数据得：气温每升高5℃，声音在空气中的传播速度就提高3m/s．∴气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高3÷5=0.6m/s．故答案为：0.6．（3）解：根据题意：当t=0°C时，声音在空气中传播的速度为331m/s，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高0.6m/s．∴声音在空气中的传播速度vm/s与气温t（℃）的关系式可以表示为v=0.6y+331故答案为：v=0.6y+331．（4）解：当t=22℃时，v=22×0.6t+331=344.2m/s，答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1721m．【点睛】本题考查了函数的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是解题的关键．【题型4用关系式表示变量之间的关系】【例4】（2022春·山东济南·七年级济南十四中校考期中）某种长途收费方式为按时收费，前3分钟收费1.8元，以后每加一分钟收费1元，当时间t≥3分钟时的费y（元）与t（分）之间的关系式是___________【答案】y=x−1.2【分析】将通电时间分为两部分，根据大于3分钟部分的收费+前3分钟收费，得出总的费即可．【详解】解：∵前3分钟收费1.8元，以后每加一分钟收费1元，∴当时间t≥3分钟时的费y（元）与t（分）之间的关系式为：y=1.8+x−3故答案为：y=x−1.2．【变式41】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为______．【答案】20【分析】将x=4代入关系式xx+1【详解】解：当x=4，∴xx+1∴输出因变量y=20．故答案为：20．【点睛】本题主要考查求因变量的值，熟练掌握自变量对应的因变量的值的求法是解决本题的关键．【变式42】（2022秋·八年级课时练习）某移动通信公司开设了两种通信业务．“全球通”，使用时首先交50元月租，然后每通话1min，付费0.4元；“动感地带”：不交月租费，每通话1min，付费0.6元．若一个月通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y(1)分别写出y1，y2与(2)一个月内通话多少分，两种移动通信业务费用相同？(3)某人估计一个月内通话300min那么他选择哪种移动通信业务更合适？【答案】(1)y1＝50＋0.4x；y2(2)250分钟(3)选择“全球通”移动通信业务更合适【分析】（1）由“第一种通讯业务费用y1＝月租费＋通话时间×每分钟通话费用”可得出y1与x的关系式，由“第二种通讯业务费用y2＝通话时间×每分钟通话费用”可得出y（2）令y1＝y2，即可得出关于（3）将x＝300分别代入y1、y2中，求出【详解】（1）解：由题意得：y1＝50＋0.4x；y2（2）令y1＝y2，即50＋0.4x＝0.6x解得：答：一个月内通话250分钟，两种通信费用相同．（3）在y1＝50＋0.4x令x＝300，则y1在y2＝0.6x令x＝300，则y2180＞170答：选择“全球通”移动通信业务更合适【变式43】（2022春·安徽·七年级校考期中）如图所示，梯形ABCD上底的长是xcm，下底长BC=30cm，高(1)梯形面积ycm2与上底长(2)当x每增加1cm时，y如何变化？(3)当x=0时，y等于什么？此时y表示的是什么？【答案】(1)y=8x+240(2)当x每增加1cm时，y增加8(3)y等于240，此时y表示的是三角形的面积【分析】（1）根据梯形的面积=（上底+下底）×高÷2即可得；（2）直接根据（1）的结论即可得；（3）将x=0代入（1）的结论即可得y的值，再根据梯形的上底为0时，梯形就变成了三角形，由此即可得y表示的是三角形的面积．（1）解：∵梯形ABCD上底的长是xcm，下底长BC=30cm，高∴梯形面积y=16即y=8x+240．（2）解：由（1）已得：y=8x+240，则当x每增加1cm时，y增加8cm（3）解：将x=0代入y=8x+240得：y=240，当x=0时，梯形的上底为0时，梯形就变成了三角形，则此时y表示的是三角形的面积．【点睛】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系、求函数值，熟练掌握梯形的面积公式是解题关键．【题型5用图象表示变量之间的关系】【例5】（2022秋·八年级课时练习）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．则体育场离张强家_____千米，张强在体育场锻炼了_____分钟，张强从早餐店回家的平均速度是_____千米/小时．【答案】

2.5

15

3【分析】结合图象，可得出体育场离张强家的距离为第一段图象所对应的y轴的最高点；进而得出在体育场锻炼的时间；根据图象，可得出早餐店离张强家为1.5千米，所用时间为30分钟，注意要将单位转化为小时，再根据“平均速度=总路程÷总时间”，即可得出结果．【详解】解：由图象得：体育场离张强家的距离2.5千米，张强在体育场锻炼的时间为：30−15=15分钟，∵早餐店离张强家为1.5千米，又∵张强从早餐店回家所用时间为：95−65=30分钟，即30分钟=0.5小时，∴张强从早餐店回家的平均速度为：1.5÷0.5=3千米/小时．故答案为：2.5；15；3【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想．【变式51】（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）一港口受潮汐的影响，某天24小时港内的水深大致如图，港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于4米时，才能进出该港．一艘吃水深度（即船底与水面的距离）为2米的轮船进出该港的时间最多为（单位：时）______小时．【答案】9【分析】从图像上找到当水深为6米的两个时间相减即可得到本题的答案．【详解】解：∵当船底与水底间的距离不少于4米时，才能进出该港．∴水深度(即船底与水面的距离)为2米的轮船在水深为2+4=6米时才可以通航，从图像可知水深为6米的时间为6时和15时，∴进出该港口的时间为15−6=9小时，故答案为：9．【点睛】本题考查了用图像表示变量之间的关系，解决本题的关键是理解吃水的概念．【变式52】（2022春·四川雅安·七年级统考期末）在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度ℎ与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图象得到高度随时间的增大，高度增加的速度，即可判断．【详解】根据图象可以得到：杯中水的高度ℎ随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是C．故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．【变式53】（2022秋·八年级课时练习）如图，是骆驼的体温随时间变化而变化的的关系图，据图回答下列问题：(1)一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？(2)从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？(3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？(4)A点表示的是什么？【答案】(1)35℃~40℃；12小时(2)3℃(3)4时到16时体温上升；0时到4时，16时到24时体温下降(4)12时，骆驼的体温为39℃【分析】观察0时到24时，骆驼的体温变化，进行解答即可．【详解】（1）解：由图可知，最低体温为35℃，最高体温为40℃，∴骆驼体温的变化范围为35℃~∵16−4=12，∴从最低体温上升到最高体温需要12小时．（2）解：由图可知16时体温为40℃，24时体温为37℃∵40−37=3∴骆驼体温下降了3℃．（3）解：由图可知，在4时到16时，骆驼体温上升；在0时到4时，16时到24时，骆驼体温下降．（4）解：A点表示，在12时，骆驼的体温为39℃．【点睛】本题考查了图象表示变量间的关系．解题的关键在于从图中获取正确的信息．【题型6根据变量之间的关系判断图象】【例6】（2022春·河南郑州·七年级校考期中）小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据路程、速度与时间的关系以及函数图象的特点，结合题意逐项判断解答即可．【详解】解：由题意，小明先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，路程从0开始随时间匀速增加到2千米；途经超市时，买文具用了5分钟，路程不变；再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校，离家路程随时间匀速增加到3千米．故选：D．【点睛】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能判断出路程与时间的关系是解答的关键，注意买文具时路程不变．【变式61】（2022春·河南郑州·七年级校考期中）一年365天，天安门广场的升旗