6.2.4向量的数量积（第二课时）教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版

教学设计课题6.2.4《向量的数量积》（第二课时）课型新授课一、内容及其解析1.内容平面向量的数量积用2课时．第1课时：平面向量数量积的物理背景及其含义；第2课时：平面向量数量积的运算律．向量的数量积是继向量的加法、减法、向量的数乘等线性运算之后又一新的运算，内容包括向量数量积的定义、投影向量、向量数量积的性质、运算律及其应用，既是前面知识的延续，又是后续学习的基础，具有承上启下的作用.研究向量数量积的基本思路和向量线性运算的研究路径具有相似之处，但是向量数量积的运算又具有独特性质.在学习中可以类比向量线性运算的研究思路，从物理背景出发定义向量数量积，从代数和几何两个角度认识向量的数量积.同时，要注意提醒学生将向量线性运算和向量数量积进行对比，准确认识向量数量积的概念和性质.内容解析单元知识结构图内容的本质：本单元是在学生已经学习了平面向量线性运算的基础上，以物理中功的概念，引入向量“数量积”的概念．向量的数量积运算结果是实数，它不仅满足交换律，而且对加法满足分配律．向量数量积可以刻画两个向量的夹角和向量的长度（可以看成两点间的距离），而距离和角又是刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量．因此，向量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到的作用．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．本单元在研究平面向量的数量积时，借助物理中的有关模型或借助与数的运算的类比，如借助物理中功的概念引出数量积的概念；借助与数的运算的类比，发现数量积的运算律．本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法.知识的上下位关系：育人价值：培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养．学情分析平面向量数量积是学生在完整学习了向量线性运算的基础上进行的，学生对于向量运算已经有了丰富的研究经验，对其中蕴含的数学思想和方法也有了较为全面的认识，所以教学中要引导学生类比已学知识，明确研究路径，启发学生进行自主探究.学生具有力、功等物理知识的基础，在借助物理背景定义向量数量积的过程中，要充分利用物理模型进行知识迁移，从力的分解角度认识分力做功，为后续学习投影向量做铺垫，认识投影向量和数量积的关系.从力做功的公式出发，从向量运算的视角描述，容易想到需要先定义两个向量的夹角.在明确向量夹角的概念后，再定义向量的数量积就水到渠成了.得到向量数量积的计算公式是容易的，但是要进一步引导学生全面认识向量的数量积.由于学生具有认知惯性，教学中需要提醒学生注意区别向量的线性运算，向量数量积的运算结果是实数而不是向量.虽然向量的数量积是实数，但是两个向量的大小和方向仍然影响着运算结果，通过向量数量积的定义认识到运算结果的大小与向量模长、夹角的关系，也为投影向量的研究打下基础.在研究投影向量时，需要在分类讨论的基础上进行抽象，对学生几何直观和归纳概括的能力要求较高，具有一定的难度.在教学时要通过“如何确定投影向量的大小和方向”“影响投影向量大小和方向的因素有哪些”等问题引导学生，初步感知投影向量与数量积之间的关系，为第二课时研究向量数量积的运算律打下基础.研究向量数量积的性质也是一个重难点，由于数量积的运算结果是实数，向量“形”的特点好像消失了.在教学中需要强调向量具有代数和几何的特性，一方面是基于投影向量的概念认识数量积的几何意义，一方面是从代数和几何两个层面研究数量积的性质，体现了从一般到特殊、数形结合的数学思想.在研究向量数量积的运算律中，对分配律的研究是一个难点，需要借助投影向量的概念进行研究。由于学生在第一课时刚获得这个概念，可能尚未完成对概念的自主建构，因此可能不能熟练运用这个新概念与运算律的探究过程之中。另外学生可能天然的认为实数乘法运算的相关运算定律都能类比到向量的数量积，但事实上并非如此。这种类比带来的错误的迁移也是本课学生学习的一个难点。目标及其解析1.课时目标（1）通过类比实数乘法的运算定律，研究向量数乘的运算定律，体会类比作为一种合情推理，其结论不一定正确的特点，发展高阶思维和理性竞赛，提升逻辑推理素养.（2）通过对数量积运算的运算律的论证，加深对向量数量积几何意义的理解，体会数形结合的思想，提升直观想象素养.（3）通过应用数量积解决一些几何问题，初步感受代数方法解决几何问题的基本思想，体会向量的工具性作用，提升数学抽象素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：能类比实数乘法的运算定律，猜想数量积运算可能满足的定律，能对其中成立的定律进行论证，能对其中不成立的定律举出反例.能够自己构建几何图形，并借助向量数量积的几何意义完成对分配律的证明；能够应用向量的数量积运算定义及相关性质和运算率，解决一些简单的求两点间距离、夹角、垂直等相关问题.教学问题诊断分析教学问题一：在研究向量数量积的运算律中，对分配律的研究是一个难点，需要借助投影向量的概念进行研究。向量投影的本质是高维空间向低维空间的线性变换，从而得到和向量共线的投影向量.基于投影向量理解向量数量积的几何意义，认识投影向量与数量积的关系，对于后续研究向量数量积的性质、运算律打下基础.学生在第一课时刚获得这个概念，可能尚未完成对概念的自主建构，因此不能熟练运用这个新概念与运算律的探究过程之中。在本课的起始阶段，应该重点就投影向量的概念、数量积的几何意义进行系统的复习；教学问题二：学生可能天然的认为实数乘法运算的相关运算定律都能类比到向量的数量积，但事实上并非如此。数量积交换律和分配律依然成立，但是结合律和消去律不在成立。结合律不成立的原因在于任何两个向量的数量积都是实数，此时无法在与第三个向量进行数量积运算了；而任意两个向量，如果在第三个向量上的投影向量相等，那么这两个向量分别与第三个向量的数量积便相等，这使得消去律不再成立.教学中教师应该设计好教学活动和学习任务，使得学生能够数形结合，图文并茂的把这些可能产生认知障碍的地方生探究清楚；教学问题三：本课还需要借助数量积运算的运算律推导一些数量积运算的公式，比如完全平方和公式、平方差公式等.并且借助这些公式解决两点间距离问题，垂直的转化，两向量夹角余弦的计算等.这些刚习得新知部分学生可能尚未来得及内化，因此在应用过程中也可能产生一些障碍。教师在教学中，应该合理的搭建好脚手架，设计分层次的学习任务供给学生探究，逐步完成对相关知识的自主建构，并能运用相关知识解决平面几何中的一些简单的位置关系和数量关系的判断、证明、计算求解等.五、教学重点与难点教学重点：向量数量积运算的分配律、向量数量积的应用.教学难点：向量数量积的分配律的证明.向量数量积消去律不成立的反列构建.六、教学支持条件分析为了加强学生对投影过程的认识，可以通过信息技术给出一个向量向另一个向量投影的过程，并通过改变向量模长和向量夹角，让学生观察投影向量大小和方向的变化，在持续变化过程中发现规律.七、学习评价设计高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展，制定科学合理的学业质量要求，促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成.评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程.评价方式：本节课对学生学习效果及教师自身教学效果的评价，围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅的原则进行.（一）过程性评价在课堂教学过程中，从学生的参与程度、概括能力、推理能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习进行评价.通过观察，对学生的学习过程进行评价，包括学习态度、参与小组合作学习的积极程度（是否能积极进行思考、表达自己的想法、倾听别人的想法并提出意见和建议）、能否理解并有条理地表达数学内容.评价量规:评价标准评价内容非常好比较好一般不太好不学习态度注意力非常集中，非常主动、积极地参与到教学活动中注意力比较集中，很主动、积极地参与到教学活动中注意力基本能集中，能主动、积极地参与到教学活动中注意力不太集中，被动地参与任何教学活动注意力不集中，不参与任何教学活动独立思考对于老师提出的问题积极进行思考，并表达自己的想法，还能提出问题对于老师提出的问题积极进行思考，并愿意表达自己的想法对于老师提出的问题进行思考，但不愿表达自己的想法对于老师提出的问题进行思考，没有想法对于老师提出的问题不进行思考参与小组合作非常积极地组织并主动参与小组合作主动参与小组合作能参与小组合作在小组合作中只听别人说，自己不思考，不动手不参与小组合作表达数学内容理解并有条理地表达数学内容理解并并能用自己的语言表达数学内容明白数学内容但表达的不清晰对数学内容不十分清楚，表达不出不愿表达数学内容自我反思习惯对自己学习中的情况进行反思经常对自己学习中的情况进行反思对自己学习中的情况能进行反思很少对自己学习中的情况进行反思不对自己学习中的情况进行反思（二）阶段性评价通过针对性练习的完成情况对学生的阶段性学习成果进行评价.八、课时教学设计本课时教学流程图：【环节一】复习回顾、情境引入【问题1】

向量与的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？【预设】学生独立思考并回答：，其中为向量与的夹角．设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则（1）．（2）．（3）当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．此外，由还可以得到．【追问】

向量与的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？【预设】与的数量积等于在上的投影向量与的数量积.设计意图：引导学生复习数量积的概念，为后续学习运算律打基础．本课的各类运算律的证明都需要用向量的投影等知识，而本课的数量积的应用要用到数量积的这些运算性质，因此这个环节至关重要.通过本环节的复习回复，引导学生完成对向量的数量积的相关知识的梳理，以便帮助学生顺利完成本课的探究.【环节二】类比探究、结构初建【问题2】

类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？能证吗？【预设】由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量和实数，有①；②；③．师生活动：（1）学生独立证明①、②；（2）教师与学生一起利用向量数量积的几何意义证明分配律③．证明：如图，任取一点，作．设与的夹角分别为，它们在上的投影分别为，与方向相同的单位向量为，则，因为，所以，则，即，整理，得所以，即．所以．因此．所以向量的数量积运算满足分配律．【追问】同学证明的过程中，都是锐角，如果这些角不全是锐角，图象画出来可能是什么样的？证明过程是否会受影响？【预设】学生可能作出多种图象，比如：但是证明过程不需要作任何修改，因为我们是借助向量的运算完成的证明，并没有依赖图形.设计意图：通过对分配律的证明，一方面可以加深学生对数量积的几何意义的理解，帮助完善投影向量结构构建，另一方面也是从合情推理上升到逻辑推理的一个过程，有利于学生逻辑推理素养的提升与发展.同时，利用向量运算进行证明的过程并不受制于几何图形间的关系，可以使得学生体会到向量方法的优越性.【环节三】合作交流、结构完善【问题3】请同学们交流讨论，是否存在一些对实数成立的运算律，但是对数量积运算不再成立？【预设】设是向量，不一定成立.【追问】这种说法正确吗？同学们同意吗？【预设】对于实数，有；但对于向量，写处来就不对，因为是一个实数，实数和向量不能用点乘符号连接.【追问】那写成是否成立？【预设】这种写法也不对，数乘运算时，数必须写在向量前面，只有，没有.【追问】如果写出呢？【预设】依然不正确，这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定成立．【预设】对于实数，如果，并且，便可以得到，那么对向量，当时，是否能由得到呢？【预设】不能，可以根据向量数量积的几何意义构建反例.如图，，但是.设计意图：一方面通过实数乘法的一些运算律类比到数量积，引导学生发现有的依然成立，但是有的不一定成立.类比推理是一种合情推理，其结论不一定正确.因此一般需要借助类比归纳进行猜想，进行逻辑推理进行证明．提升逻辑推理素养.另一方面，通过从正、反两方面，探究数量积的运算律，完成对数量积单元知识的整合，对单元结构进行修整和重建，进一步形成学生基于自身认知的知识结构体系.【环节四】巩固应用、结构完善例1

我们知道，对任意，恒有.对任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）.解：（1）；（2）．因此，上述结论是成立的．例2

已知的夹角为，求．解：例3

已知，且不共线．当为何值时，向量与互相垂直？解：与互相垂直的充要条件是，即．因为,所以，因此.也就是说，当时，向量与互相垂直.设计意图：通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．巩固向量数量积的知识，并初步体会数量积运算再解决长度、角度、垂直等几何位置关系和数量关系中的作用，感受其应用价值.【环节五】小结提升、目标检测【问题4】

通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．【预设】教师提出问题，学生相互讨论，最后让学生陈述其观点．设计意图：对本节课作小结提炼，让学生进一步理解平面向量数量积的运算律．板书设计向量的数量积（