2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用

第23章图形的相似23.3相似三角形4相似三角形的应用教学目标1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.教学重难点重点：运用相似三角形的知识，解决实际问题.难点：将实际问题转化为相似三角形的数学模型.教学过程复习巩固1.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.（2）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.导入新课【问题】活动1（学生交流，教师点评）思考：怎样测量河宽？利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.教师引出课题：23.3相似三角形4相似三角形的应用探究新知探究点一利用相似三角形测量高度活动2（小组讨论，师生互学）典例讲解（师生互动）例1古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.【探索思路】（引发学生思考）在太阳光线照射下，光线平行照射，得到平行线，由此得到同位角相等，由物高与地面垂直，得到直角，构造相似三角形，物高与影长对应成比例，列出比例式求解.∵太阳光是平行光线，∴∠OAB＝∠O′A′B′.又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°.∴△OAB∽△O′A′B′，∴＝，∴OB＝（米）.答:该金字塔高度OB为137米.例2如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度.由反射角等于入射角，可得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴.又∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，∴，解得CD＝8（米），答：该古城墙的高度为8米.【总结】测物体高度的方法（1）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长对应成比例”的原理解决.物1高∶物2高＝影1长∶影2长（2）利用镜子的反射测物体的高度在观测者与物体之间的地面上平放一平面镜，在镜面上做一标记，观测者看着镜子来回走动，直到看到物体的顶端在镜中的像与镜面上的标记重合，测量观测者与镜面间的距离及观测者眼睛距地面的高度，根据反射角等于入射角，利用相似三角形的对应边成比例求解.【即学即练】（师生互动）1.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，得，∴AE＝8.∴AB＝8+1.4＝9.4（米）.答：这棵大树高9.4米.探究点二利用相似三角形测量河宽活动3（学生交流，教师点评）典例讲解（师生互动）例3为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E.如图所示，若测得BE＝90m，EC＝45m，CD＝60m，则这条河的宽AB等于（）A.120m B.67.5mC.40m D.30m【探索思路】（引发学生思考）由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得这条间的宽度AB.【解析】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△BAE∽△CDE，∴＝.∵BE＝90m，CE＝45m，CD＝60m，∴＝，解得AB＝120m.即这条河的宽AB为120m.【答案】A【题后总结】（学生总结，老师点评）考查相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例.【总结】测河宽的方法测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.【即学即练】（师生互动）2.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在水塘外定一点E，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB.若测得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，则A、B两点间的距离为m.【解析】∵CD∥AB，∴△BAE∽△CDE，∴，解得AB＝20m，∴A，B两点间的距离为20m.【答案】20课堂练习1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆D端应下降的垂直距离CD为（）A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m2.在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：如图，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm；乙组测得学校旗杆的影长为900cm，则旗杆的长为（）A.900cm B.1000cmC.1100cm D.1200cm3.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度大约为（）A.40m B.60mC.120m D.180m4.如图，在高为4m的平房顶上A处望一幢楼的底部D时，视线恰好过一棵树的顶端E，从平房底部B处望楼顶C时，视线也恰好经过这棵树的顶端E.如果测得这棵树的高度为3m，求这幢楼的高度.5.如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场C处直立一根3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m；丙在C1处也直立3m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，测得C1E1＝4m.求旗杆AB的长度.参考答案1.C2.D3.C4.∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.∵EF＝3，AB＝4，∴，∴.∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴，∴CD＝4EF＝12m.答：这幢楼的高度为12m.5.设BO＝xm，GO＝ym.∵GD∥OB，∴△DGF∽△BOF，∴.同理，解得经检验x＝9，y＝15均是原方程的解，∴旗杆AB的长度为9+1.5＝10.5m.课堂小结（学生总结，老师点评）相似三角形的应用（1）测量不能到达顶部的物体的高度；（2）测量不能到达两点间的距离（宽度），常构造相似三角形求解.布置作业教材第74页练习题第1，2，3题.板书设计