高考数学真题分训练21-空间几何体及其表面积与体积(教师版含解析)

专题21空间几何体及其表面积与体积

1.（2021年全国高考甲卷数学试题）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体

截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

【答案】D

【分析】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示,

故选：D

2.（2021年北京卷数学试题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨

中雨（10mm—25mm）,大雨（25mm-50mmj,暴雨（50mm-小明用一个圆锥形容器接了24小时雨

水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答窠】B

【解析】

【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【详解】由题意，一个半径为皆=100（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为管x端=50（mm）,

高为150（mm）的圆锥,

所卜|如心后方-^X502X150

所以私水厚度仁%k=3mm）,属于中雨.

故选：B.

3.（2021年北京卷数学试题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

C.3+>/3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.

【详解】根据三视图可得如图所示的几何休-正三棱锥O-A5C，

其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,

故其表面积为3x：xlxl+乎＞、（返）,

故选：A.

4.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A,B,。是半径为1的球O的球面上的三个点，且

AC1BC^C=BC=\,则三棱锥O-45C的体积为（）

A&口6c&D6

121244

【答案】A

【分析】•・・AC_LBC,AC=3C=1,.•.△ABC为等腰直角三角形，.•.45=夜，

则△A5C外接圆的半径为也，又球的半径为1,

2

设。到平面48c的距离为d，

所以%ABC=!S.C，d=—X—X1X1X

3322[2

故选：A.

5.（2021年全国新高考I卷数学试题）已知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的

母线长为（）

A.2B.20C.4D.4及

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则加=2乃x&，解得/=2五.

故选：B.

32万

6.（2021年天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为一丁，两个

3

圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3aB.4乃C.97rD.12乃

【答窠】B

【解析】

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，

再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，

设圆锥AO和圆锥的高之比为3:1,^AD=3BD,

设球的半径为R,则如眩=丝，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1，AD=3,

-CD1AB,则NC4O+ZAC。=N3C£>+ZAC。=90，所以，NCAD=NBCD，

又因为NADC=/BDC，所以，AACD^ACBD,

ADCD

所以,CD=dADBD，

~CD~~BD=>/3

因此，这两个圆锥的体积之和为g4xCZ）2.（4O+8O）=g4x3x4=4万.

故选：B.

7.（2021年浙江卷试题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

m

侧视图

3V2

B.3r1D.35/2

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【详解】几何体为如图所示的四棱柱A8CO-，其高为1，底面为等腰梯形43c

该等腰梯形的上底为血，下底为2加，腰长为1，故梯形的高为

故匕BCD-A4Gq=]X（&+2夜）X^^xl=5,

故选：A.

8.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）以图①为正视图，在图②©④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,

组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

图①图②图③

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】选择侧视图为③，俯视图为④,

如图所示，长方体ABC。—A8c中，AB=BC=2,BBi=l,

旦尸分别为棱4C，BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥七一4）「.

故答案为：③④.

9.（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万则该圆锥的侧面积为

【答窠】394

【分析】W=i^62/z=30^

3

.*.7?=—

2

10.（2021年全国新高考2卷数学试题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航

系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地

球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径「为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平

面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫星信号

覆盖地球表面的表面积为S=24，（1—cosa）（单位：km2）»则S占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

164（X）

2+（1-cosa）=1-cosa=-640。+36000a（）42=42%•

44/~2~2〜.一

故选：C.

11.（2021年全国新高考2卷数学试题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+126B.280C.乎D.

33

【答案】D

【解析】

【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体