备考2024年新高考数学一轮复习106离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差含详解

专题10.6高敝型应机变量及劣分布列、教学期望与方差

三）题型目录

题型一离散随机变量

题型二求分布列

题型三分布列的性质应用

题型四求离散随机变量的均值与方差

题型五均值和方差的性质应用

题型六决策问题

/典例集练

题型一离散随机变量

例i.下列叙述中，是离散型随机变量的为（）

A.将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和

B.某人早晨在车站等出租车的时间

C.连馍不断地射击，首次命中目标所需要的次数

D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性

例2.（多选）下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（）

A.高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X

B.一个沿直线y=x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置y

c.某景点7月份每天接待的游客数量

D.某人一生中的身高X

举一反三

练习1.下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数九

②一个沿X轴进行随机运动的质点，它在X轴上的位置人

③某派出所一天内接到的报警电话次数X；

④某同学上学路上离开家的距离Y.

其中是离散型随机变量的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

练习2.（多选题）下列变量：

①某机场候机室中一天的旅客数量为X；

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；

③某水电站观察到一天中长江的水位为X；

④某立交桥一天内经过的车辆数为X.

其中是离故型随机变量的是（）

A.①中的XB.②中的X

C.③中的XD.④中的X

练习3.侈选）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用J表示甲的得分，则伯=3｝

表示的可能结果为（）

A.甲赢三局

B.甲向一局输两局

C.甲、乙平局三次

D.甲筑一局平两局

练习4.下列随机变量中是离散型随机变量的是,是连续型随机变量的是（填序号）.

①某机场候机室中一天的旅客数量X；

②某水文站观察到一天中江水的水位X；

③某景区一日接待游客的数量X;

④某大桥一天经过的车辆数X.

练习5.盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品

为止，设取得正品前已取出的次品数为1t

（1）写出J的所有可能取值；

⑵写出｛€=1｝所表示的事件.

题型二求分布列

例3.(多选)已知随机变量1f的分布列为:

4-2-10123

134121

P

121212121212

若P($<X)=£,则实数x的值可以是()

A.5B.7

C.9D.10

例4.不透明的盒子中有6个球，其中4个绿球，2个红球，这6个小球除颜色外完全相同，每次不放回的从中取出

1个球，取出红球即停.记X为此过程中取到的绿球的个数.

⑴求尸(X=2)；

(2)写出随机变量X的分布列，并求E(X).

举一反三

练习6.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游

览哪个景点互不影响，设4表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则49等于

练习7.掷两颗骰子，用X表示两点数差的绝对值.求X的分布.

练习8.同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子中出现的点数分别为％,X2.记

X=max{X„X2}.

(1)求X的概率分布；

⑵求P(2<X<5).

练习9.同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，若正面

朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入闯关界面后能够

成功通过关卡的概率均为:，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行.

(1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；

⑵同学甲成功通过关卡的个数为g,求g的分布列.

练习i().某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.在一个

不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1,2,3,5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒

中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为3",若为奇数即为中奖.

(1)求某顾客甲获奖的概率；

(2)求随机变量X=|g-*的分布列与数学期望E(x).

题型三分布列的性质应用

例5.(多选)随机变量X的概率分布如表，其中2b=a+c,且c时，

4

A.a+b+c=lB.a=—

7

例6.设随机变量X的分布列为

则当。在(0,1)内增大时()

A.0X)增大

B.必X)减小

C.D(X)先减小后增大

D.O[X)先增大后减小

举一反三

练习11.已知随机变量X的分布列为P(X=/)=2G=1,2,3,4,5),则尸(2<YV5)=()

a

练习12.下列表中能称为随机变量X的分布列的是()

练习13.已知随机变量，的分布列为尸(7=幻=，成伏=123),设尸(x)=PC4x),则尸)

2

A.2B.C.D.

2363

练习14.设随机变量J的分布列如下:

412345678910

aa3

Pq2出。5%%%%。10

且数列｛6｝满足P化")=kak｛k=1,2,3,JO),则旦教=

练习15.设随机变量4的概率分布为P（J=£|=皆，。为常数，k=l,2,3,4,则。=

题型四求离散随机变量的均值与方差

例7.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢

的概率都是g,随机变量X表示最终的比赛局数，则（）

26ft

A.E(X)=^,D(X)=^B.E(X)=—,D(X)=—

yoi9v781

22R

C.E(X)=-,D(X)=-D.E(X)=—,D(X)=—

Vo19v781

例8.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮.已知每次

投篮甲、乙命中的概率分另呢，1.在前3次投篮中，乙投篮的次数为0贝叱的方差为一.

举一反三

练习16.（多选）设0<xvg,随机变量的分布列如下:

A.仪4）减小B.七仁）增大

C.。q）减小D.。代）增大

练习17.随机变量X的概率分布列如下:

X-101

Pabc

其中4,八C成等差数列，若随机变量X的期望4X)=3,则其方差D(x)=.

练习18.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办.中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参

加男子100米比赛.比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛.已知甲在预赛和

半决赛中晋级的概率均为7；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为三和;；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别

452

为〃和3p,其中1<〃<5甲、乙、丙三人晋级与否互不影响.

226

⑴试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；

(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为:，求三人中进入决赛的人数4的分布列和期望.

O

练习19.甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,甲乙约定比赛采取“3局2

胜制”.

(1)求这场比赛甲获胜的概率；

(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望(保留两位有效数字)；

(3)根据(2)的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.

练习20.喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A8

两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自

同一题库，A题库每题20分，8题库每题30分，一班能正确回答题库每题的概率分别为'3、i1二班能正确

回答A8题库每题的概率均为,，且每轮答题结果互不影响.

(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选8题库，求其总分不少于100分的概率；

(2)若一班和二班在前两轮比赛中均选了8题库，而且一班两轮得分60分，二班两轮得分30分，一班后三轮换成A

题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X,求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢

下这场比赛？

题型五均值和方差的性质应用

例9.设随机变量X的分布列如下(其中O(X)表示X的方差，则当/从0增大到1时()

X012

1-P

PP_

222

A.A（X）增大B.aX）减小

C.O（X）先减后增D.O（X）先增后减

例10.（多选）已知随机变量X的分布列为

X-101

Pm0.20.3

若随机变量y=aX+b（a>0,bwR）,E（K）=10,D（K）=19,则下列选项正确的为（）

A.m=0.5B.a=6C.6=11D.P（r=16）=0.3

举一反三

练习21.（多选）已知离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量y满足y=2x+i,则下列说法正确的有（）

A.P（|X|=1）=|B.E（x）+E（y）=oC.°（y）=ED.尸（丫=1）=；

练习22.（多选）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=g,E（X）,O（X）分别为随机变量X的均值与方

差，则下列结论正确的是（）

A.P（X=1）=£（X）B.E（3X+2）=4

Q

C.仇3X+2）=4D.D（X）=^

练习23.（多选）已知随机变量g的分布列如下表所示，且满足E（4）=0,则下列选项正确的是（）

A.0q）=lB.。（冏）=1C.D（2^+l）=4D.0（3闾-2）=6

练习24.（多选）设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量X描述一次试脸的成功次数，E（X）,£）（X）分

别为随机变量的均值和方差，则（）

14

A.P（X=0）=-B.E（2X）=-

9

C.Q（X）苦D.£＞（3X+1）=3

练习25.已知随机变量X的分布列为

X-2-1012

1

Pm

43520

⑴求小的值；

⑵求E（X）；

（3）若y=2x—3,求照）.

题型六决策问题

例11.从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的

概率为P,正确答案是三个选项的概率为（其中.现甲乙两名学生独立解题.

（1）假设每道题甲全部选对的概率为:，部分选对的概率为），有选错的概率为。；乙全部选对的概率为!，部分选

2446

对的概率为;，有选错的概率为!，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；

（2）对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选

项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择

帮助一人做出决策即可）.

例12.核酸检测也就是病毒力附和脑4的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状

乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.

某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，从标本中随机取出〃份

分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴

性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果：2份阳性，10份

阴性.若每次检测费用为。元(。为常数)，记检测的总费用为X元.

(1)当〃=3时，求X的分布列和数学期望.

(2)以检测成本的期望值为依据，在〃=3与〃=4中选其一，应选哪个？

举一反三

3

练习26.王师傅用甲、乙两台不同型号的车床加工某种零件，已知用甲车床加工的零件合格的概率为用乙车床

加工的零件合格的概率为T，且每次加工的零件是否合格相互独立.

(1)若王师傅用甲、乙车床各加工2个零件，求他加工的零件恰好有3个合格的概率；

(2)若王师傅加工3个零件，有以下两种加工方案：

方案一：用甲车床加工2个零件，用乙车床加工1个零件；

方案二：每次用一台车床加工1个零件，若加工的零件合格，则下次继续用这台车床加工，否则下次换另一台车床

加工，且第一次用甲车床加工.

若以加工的合格零件数的期望值为决策依据，应该选用哪种方案？

练习27.2022年5月14日6时52分，编号为8-001J的C919大飞机从上海浦东机场第4跑道起飞，于9时54分

安全降落，标志着中国商飞公司即将交付首家用户的首架C919大飞机首次飞行试验圆满完成.C919大飞机某型号

的精密零件由甲、乙制造厂生产，产品按质量分为A,B,C三个等级，其中A,8等级的产品为合格品，C等级

的产品为不合格品.质监部门随机抽取了甲、乙制造厂的产品各400件，检测结果为：甲制造厂的合格品为380件，

甲、乙制造厂的A级产品分别为80件、100件，两制造厂的不合格品共60件.

⑴补全下面的2x2列联表，依据小概率值a-0.01的独立性检验，能否认为产品的合格率与制造厂有关？

合格品不合格品合计

甲制造厂400

乙制造厂400

合计800

(2)若每件产品的生产成本为200元，每件A,8等级的产品出厂销售价格分别为400元、320元，C等级的产品必

须销毁，且销毁费用为每件20元.用样本的频率代替概率，试比较甲、乙制造厂生产1件这种产品的平均盈利的

大小.

附：/=______〃叱历)2_______

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

练习28.某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次

质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的

汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合

格，也会被列为不合格汽车.假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为:

(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率P；

(2)每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，求每辆汽车需要检

测的费用X的分布列及数学期望.

(3)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，若300辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算？

练习29.某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草布保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价

格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量(单位：十盒)，获得如下数据：

日销售量/十盒78910

天数812164

假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.

(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X(单位：十盒)，求X的分布列和数学期望；

(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？

练习30.某学校组织“中亚峰会”知识竞赛，有A8两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中

随机抽取一个问题回答.若回答错误，则该同学比赛结束;若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，

无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得”(0v“4100,meN)分，否则得0分；B类

问题中的每个问题回答正确得〃(0V〃K100，〃£N)分，否则得0分.已知学生甲能正确回答A类问题的概率为％,能

正确回答B类问题的概率为P2,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

⑴若学生甲先回答A类问题，，〃=20,〃=80,四=0.8,0=0-6,记*为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期

望.

(2)若〃=2〃?,n=2〃2>0,则学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并说明理由.

专题10.6离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差

三）题型目录

题型一离散随机变量

题型二求分布列

题型三分布列的性质应用

题型四求离散随机变量的均值与方差

题型五均值和方差的性质应用

题型六决策问题

/典例集练

题型一离散随机变量

例i.下列叙述中，是离散型随机变量的为（）

A.将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和

B.某人早晨在车站等出租车的时间

C.连馍不断地射击，首次命中目标所需要的次数

D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性

【答案】C

【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5,是

常量，A错误；

对于B,等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；

对于C,连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确：

对于D,事件发生的可能性不是随机变量，D错误.

故选：C.

例2.（多选）下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（）

A.高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X

B.一个沿直线y=x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置丫

c.某景点7月份每天接待的游客数量

D.某人一生中的身高X

【答案】AC

【分析】根据离散型随机变量的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故A正确

对于选项C：某景点7月份每天接待的游客数量有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故C正确：

对于选项B、D,都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不符合离散型随机变量的定义，故B、D错误.

故选：AC.

举一反三

练习1.下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数4;

②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置H；

③某派出所一天内接到的报警电话次数X:

④某同学上学路上离开家的距离Y.

其中是离散型随机变量的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据离散型随机变量的定义判断即

【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；

对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；

对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；

对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，

所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.

故选：B.

练习2.（多选题）下列变量：

①某机场候机室中一天的旅客数量为X；

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；

③某水电站观察到一天中长江的水位为X；

④某立交桥一天内经过的车辆数为X.

其中是离散型随机变量的是（）

A.①中的XB.②中的X

C.③中的XD.④中的X

【答案】ABD

【分析】利用离散型随机变量的概念，对选项逐一分析判断即可得解.

【详解】因为所有取值可以一一列出的随机变量为离散型随机变量，

而①@④中的随机变量X的可能取值，我们都可以按一定的次序一一列出，

因此它们都是离散型随机变量；

而③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，

因此它不是离散型随机变量.

故选：ABD.

练习3.（多选）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得。分，共下三局.用4表示甲的得分，则彷=3｝

表示的可能结果为（）

A.甲赢三局

B.甲原一局输两局

C.甲、乙平局三次

D.甲赢一局平两局

【答案】BC

【分析】列举出｛4=3｝的所有可能的情况，由此得解.

【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，

所以｛4=3｝有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.

故选：BC.

练习4.下列随机变量中是离散型随机变量的是,是连续型随机变量的是（填序号）.

①某机场候机室中一天的旅客数量X；

②某水文站观察到一天中江水的水位X；

③某景区一日接待游客的数量X；

④某大桥一天经过的车辆数X.

【答案】®®®②

【分析】利用离散型随机变量的定义与连续型随机变量的定义判断求解.

【详解】①③④中的随机变量X的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；

②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量.

故答案为：①③④，②

练习5.盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品

为止，设取得正品前已取出的次品数为々

（1）写出4的所有可能取值；

（2）写出M=l｝所表示的事件.

【答案】（1）4的所有可能取值为0」,2,3

（2）｛4=1｝表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”

【分析】（1）（2）利用离散型随机变量的定义即可求解.

【详解】（I）因为一共有9个正品，3个次品零件，

所以取得正品前已取出的次品数可能为0J2,3,即J的所有可能取值为0J2,3.

（2）依题意，可知归=1｝表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”.

求分布列

12

A.5B.7

C.9D.10

【答案】ABC

【分析】根据随机变量的分布列，求出随机变量长的分布列，再找出满足P（$<%）=晟的x即可.

【详解】由随机变量岁的分布列，知：

铲的可能取值为0」,4,9,

4

且P($=0)=丘,

,-»..314

Pn&e=1)=---F——=——

121212

-.123

外/=4)=——+—=——，

121212

,1

=9）二石，

则陪陶49）"

若尸（$<》）=£,则实数1的取值范围是4VxM9.

故选：ABC.

例4.不透明的盒子中有6个球,其中4个绿球,2个红球，这6个小球除颜色外完全相同,每次不放回的从中取出

1个球，取出红球即停.记X为此过程中取到的绿球的个数.

⑴求P(X=2)；

⑵写出随机变量X的分布列，并求E(X).

【答案】⑴：

4

(2)分布列见解析，七”)=；

［分析］(1)X=2表示第一、二次抽取的都是绿球,第三次抽取红球,结合独立事件的概率乘法公式可求得P(X=2)

的值；

(2)分析可知，X的可能取值有0、1、2、3、4,求出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的

分布列，进而可求得E(X)的值.

【详解】(1)解：X=2表示第一、二次抽取的都是绿球，第三次抽取红球，

4321

所以，P(X)=-X—X—=—.

6545

(2)解：由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3、4,

?|424I

p(X=0)=-=-,P(X=l)=-x-=—,P(X=2)=-,

o3o5155

D/v43222n/v八43211

P(X=3)=-x—x—x—=—,P(X=4)=—x-x—x-=——,

'7654315'7654315

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

练习6.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游

览哪个景点互不影响，设€表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则仇劣等

于.

【答案】1.48

【分析】《的取值有1,3,计算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.

【详解】随机变量4的取值有1,3两种情况，4=3表示三个景点都游览了或都没有游览，

所以P记=3)=0.4x0.5x0.6+0.6x0.5x0.4=0.24,P(^=l)=l-0.24=0.76,

所以随机变量J的分布列为：

&13

P0.760.24

E（^）=1x0.76+3x0.24=1.48.

故答案为：1.48.

练习7.掷两颗骰子，用X表示两点数差的绝对值.求X的分布.

【答案】答案见详解.

【分析】通过列举法求概率，然后可得分布列.

【详解】记掷两颗骰子所得点数分别为小，〃，

则样本空间0={(〃，〃)1帆〃£{123,4,5,6}},〃(。)

X的取值为0,1,2,3,4,5.

当X=0时，包含样本点(1,1)02),(3,3),(4.4).(5,5),(6.6),所以p(X=0)=三=J；

366

当X=1时，包含样本点(1,2),(2,11(2,31(3,2),(3,4b(4,3),(4,5),(5,4),(5,61(6,5),所以P(x=l)=粤=搭；

3618

QO

当X=2时，包含样本点(L3),(3,1),(2,4>(4,2),(3,5),(5,3),(4,6卜(6,4),所以P(X=2)=捺=《；

369

当X=3时，包含样本点(1,4),(4#,(2,5),(5⑵,(3,6),(6,3),所以P(X=3)=三=)；

366

当X=4时，包含样本点(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),所以P(X=4)=[=<；

369

o1

当X=5时，包含样本点(L6),(6,1),所以尸('=5)=弓=白.

36lo

所以，X的分布列为:

X012345

\_52\__1_1

P

61896918

练习8.同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上•面出现的点数.设两颗骰子中出现的点数分别为X，X2.记

X=max{XpX2}.

（1）求X的概率分布；

（2）求P（2<Xv5）.

【答案】（1）答案见解析

【分析】（I）根据题意分析可知：X的可能取值为1,2,3,4,5,6,结合古典概型求分布列;

（2）根据题意可知尸（2<Xv5）=P（X=3）十尸（X=4）,结合（1）中数据运算求解.

【详解】（1）依题意易知抛掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6).

因而X的可能取值为1,2,3,4,5,6,详见下表：

X的值出现的点样本点个数

1(口)1

2(1,2),(2,2),(2,1)3

3(1,3),(2,3),(3,3),(X2),(3,1)5

4(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3),(4,2),(4,1)7

5（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（5,5）,（5,4）,（5,3）,（5,3）,（5,2）,（5,1）9

6(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)11

由古典概型可知X的概率分布如下表所示.

X123456

1357911

P

363636363636

57I

（2）由题意可知：P（2<X<5）=P（X=3）+P（X=4）=—+—

36363

练习9.同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，若正面

朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入闯关界面后能够

成功通过关卡的概率均为1,且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行.

（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；

（2）同学甲成功通过关卡的个数为求4的分布列.

【答案】⑴:

（2）分布列见解析

【分析】（1）在游戏终止时成功通过两个关卡，即各关前投币均正面向上，且两关卡都成功通过；

（2）按求解离散型随机变量的数学期望的--股步骤进行，同学甲成功通过关卡的个数g的值为0,1,2,明确各取

值所表示的意义，再求概率取值，最后写出分布列即可.

【详解】（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率P==

23239

（2）同学甲成功通过关卡的个数4的值为0,I,2,

P（4=o）=g+111111111

x-x—+—X—X—X—

232232318

12

^=2）=1x|x—x—

239

所以同学甲成功通过关卡的个数g的分布列为:

练习10.某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.在一个

不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1,2,3,5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒

中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为3若忸-为奇数即为中奖.

(1)求某顾客甲获奖的概率；

(2)求随机变量的分布列与数学期望石(X).

【答案】⑴g

13

(2)分布列见解析，

【分析】(1)根据题意可知，g和〃必为一奇一偶才能中奖，所以共有c；c；种中奖情况，即可求得概率;

(2)X的可能取值为1,2,3,4,分别求得各取值的概率即可列出分布列并求期望值.

【详解】(1)设事件A：某顾客甲获奖,

即区一司为奇数,所以g,〃必为一个奇数一个偶数，则P(A)=

C：2

所以某顾客甲获奖的概率为1

（2）由题意，X的可能取值为1,2,3,4.

2121

所以P（X=1）=^T=3，P（X=2）=-^=~,

P（X=3）=*；,P（X=4）=*[.

^✓4VI\J

所以随机变量X的分布列为:

题型三分布列的性质应用

例5.(多选)随机变量X的概率分布如表，其中2b=a+c,且c=

4

A.a+b+c=lB.a=—

7

22

C.b=-D.c=一

321

【答案】ABD

【分析】由概率的性质可得a+A+c=l,结合已知条件求出的值可求解.

【详解】由概率的性质可得a+A+c=l,

2b=a+c

1,得T

由《c=—ab

a+b+c=\2

21

故选：ABD.

例6.设随机变量X的分布列为

E)°□0

H1

则当a在(0,1)内增大时()

A.Ol：X)增大

B.£>(X)减小

C.o(x)先减小后增大

D.0X)先增大后减小

【答案】A

【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.

【详解】根据随机变量分布列的性质可知乎+：+匕=1,所以8=:。，

G7・11

所以七(X)=0x£N+lxL+2/?=L(l+2a),

333

所以O(X)=[0-：(l+2a)]2x浮+[l-：(l+2a)]2x；+[2-；(l+2a)]2xg

一"U3+2,

99993

因为所以D(X)单调递增,

故选：A

举一反三

练习11.已知随机变量X的分布列为P(X=i)」(i=l,2,3,4,5),则P(2WXv5)=()

a

A.-B.；C.-D.—

32510

【答案】C

【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1,可求得〃的值，又由

P(2<X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4),计算可得答案.

【详解】根据题意，随机变量X的分布列为P(X=i)=((i=l,2,3,4,5),

由分布列的性质，则有2人=1,解得。=15,

za

故尸(2WX<5)=2(X=2)+2(X=3)+?(X=4).

23493

=—+—।—=—=—.

151515155

故选：C.

练习12.下列表中能称为随机变量X的分布列的是()

P0.30.40.3

D.

X123

P0.30.40.4

【答案】C

【分析】由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1,可得答案.

【详解】对于A,由0.3+0.4+0.4=1.1/1,故A错误；

对于B,由故B错误；

对于C,由0.3+0.4+0.3=1,故C正确；

对于D,由0.3+0.4+0.4=1.1工1,故D错误.

答案：C

则尸图=（

练习13.已知随机变量4的分布列为尸«=6=〃成伏=123）设尸=)

2

D.

3

【答案】A

【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，求得参数值，结合互斥事件的概率公式，可得答案.

【详解】由题意，则P（4=l）+P（7=2）+P（《=3）=m+2m+3机=1,解得帆=二

6

P«=l)+P(^=2)=-+-x2=-.

故选：A.

练习14.设随机变量4的分布列如下:

g12345678910

a

pia2生%%。6%。8%%

且数列包｝满足尸（"Q=k（%=l，2,3,,10）,则E（4）=.

【答案】5.54

【分析】令既=P（配口=如一即可得到再根据分布列的性质得到为=3，从而求出数学期望;

【详解】解：令Sk=P(&k)=kaJk=l,2,3,…，10),

则%=S*.|-S*=(2+1)6.1一%,即6+|=《，伏=1,2,3,…，9),

又4+%+%++4o=l，所以6=%=="。=而，

所以£：3)=1*，+2*，+3*，++10^—

10101010

/、1(1+10)x101

=(1+2+3++10)x—=i---2——X—=5.5

'710210

故答案为：5.5

练习15.设随机变量J的概率分布为尸传