数学第五章§数系的扩充与复数的引入

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习(P101）1.解:(1）1＋i实部为1,虚部为,它是虚数;(2)+i实部为，虚部为，它是虚数；(3)（—1）i实部为0,虚部为-1，它是纯虚数；(4）0实部为0，虚部为0,它是实数。思路分析:依据有关复数的基本概念去判断.2.解：（1）（-2x+3)+(y—4)i=0（2)（3x—2y）+(x+2y）i=3—6i思路分析：（1）复数为零的充要条件是它的实部和虚部都为0。(2）两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等.3.解：A点表示的复数是4+3i，B点表示的复数是-3+2i，C点表示的复数是—4-3i，D点表示的复数是—3i,E点表示的复数是3—2i。思路分析:复平面内的点和复数是一一对应的，复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部.4.答案:（1)b=0；(2)a=0；（3)b〉0；（4）a〈0.思路分析:(1)点Z位于实轴上，必然是复数的虚部为零；(2)点Z位于虚轴上,必然是复数的实部为零；（3)点Z位于实轴上方，必然是复数的虚部大于零；(4)点Z位于虚轴左方,必然是复数的实部小于零.5.解:（1)｜z1｜==13；(2)｜z2｜=;(3）｜z3|==2.思路分析:利用公式|z｜=计算即可。习题51（P102）A组1.解：(1）复数(m2-2m-3)+（m2-3m-4)i为实数的充要条件是:m2—3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;（2）复数(m2—2m-3）+(m2-3m—4）i为纯虚数的充要条件是：m2—2m—3=0且m2—3m-4≠0,可以得出m=3;(3）复数(m2-2m-3）+（m2-3m-4)i为零的充要条件是:m2-2m—3=0且m2—3m-4=0，可以得出m=—1.2.解：（1)(2)思路分析：利用复数为零或复数相等的条件列出方程组,解出相应的未知数即可。3.解:如下图：—1+2i对应的点为A,+i对应的点为B,3i对应的点为C，5对应的点为D。思路分析:复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部,依据相应的数据分别画出各点即可.4。解:(1)｜3—4i｜==5;（2）｜-i|==1;（3）｜-6｜=6;（4）|—5i｜=5.思路分析:利用求复数模的公式即可.B组解：(1)点Z不在实轴上实际上就是要求m2-4m-5≠0,由此可以得出m≠5和m≠—1.（2)点Z位于虚轴上，实际上就是要求m-1=0，由此可以得出m=1.（3)点Z在实轴下方，实际上就是要求m2—4m-5〈0,由此可以得出—1<m〈5.(4)点Z在虚轴右方,实际上就是要求m-1〉0,由此可以得出m>1。STS数的概念的五次扩充数的概念是现代数学的基本概念之一，它是人类由于生产和生活的实际需要而逐步形成并加以扩展的。人类最初为了实际需要,要对某种物体的集合作出量的估计。随着经验的积累,人们逐渐形成了“多少”的概念。但在这个历史时期里,数还没有被人们从具体的事物中分离出来.随着历史的发展,人们千百万次地重复进行比较和计算，最后才把数与具体事物相分离，引进了数字符号.希腊人已经知道了自然数1，2,……的集N。公元6世纪，印度数学家运用了“0"。我国古代也在筹算中利用空位来表示“0”.引进数0，把自然数集扩充成为扩大的自然数集，即非负整数集。生产、生活的发展，对于像长度、时间、重量等量,仅用自然数就不能把它们完全表示出来，这便促使人们引进正分数,形成非负有理数集,即算术数集.这是数的概念的第二次扩充.希腊人知道了正有理数（p,q为正整数).由于表示具有相反意义的量的需要，在算术数的基础上，引进负数形成有理数集,这是数的概念的第三次扩充.阿拉伯人受印度的影响而发明了代数之后,提出了求解像3x+2=0一类的方程,“负数”也就应运而生了。我国古代数学巨著《九章算术》第八章“方程”章里,提出了“正负术”，完整地叙述了正负数的不同表示法和正负数的加减法则.公元6世纪，希腊数学家毕达哥拉斯在研究用一个正方形的边长作为单位长,去度量这个正方形的对角线时,发现两者是不能用分数表示.为了解决这个矛盾，导致了无理数概念的产生。这是数的概念的第四次扩充.15世纪中叶，欧洲工商业的繁荣与发展提出了大量的、新的数学问题.1545年,意大利数学家卡丹在解三次方程中引用了负数开平方的运算，并引进了新的数-—虚数i