立体几何专题难点六大类选填题型练习-2022届北京市高考数学一轮复习

立体几何专题-选填能力提升

一轮复习•北京版

一、题型一：平行、垂直

1.（2021.北京昌平.高三二模）已知棱长为1的正方体ABCO-44GA,例是B用的

中点，动点P在正方体内部或表面上，且平面A8R,则动点尸的轨迹所形成区域

的面积是（）

历

A."B.72C.1D.2

2

2.（2020•北京海淀•高三二模）如图，正方体ABC。-A4GR的棱长为2,点。为底面

A8CD的中心，点尸在侧面BBCC的边界及其内部运动.若。。，。尸，则面

积的最大值为（）

A.巫B.迫C.>/5D.2x/5

55

3.（2019•北京市陈经纶中学高三月考）如图，点尸在正方体ABCO-ABIGR的面对角

线8G上运动，则下列四个结论：

①三棱锥A-APC的体积不变；

②AP〃平面4c

③。PJ.g；

④平面z平面AC。.

其中正确的结论的个数是（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2021•北京海淀・首都师大二附高三开学考试）如图正方体的棱长为1,线段8a上

有两个动点E,尸且£尸=*,则下列结论错误的是（）

2

A.AC与8E所成角为45。

B.三棱锥A-BE尸的体积为定值

C.EF〃平面A8CD

D.二面角是定值

5.（2020•北京密云•高三一模）如图，在正方体A88-A8CQ中，E是棱CG的中点,

厂是侧面BCG4内的动点，且4尸与平面QAE的垂线垂直，则下列说法不正确的是

A.A/与。E不可能平行B.4尸与BE是异面直线

C.点F的轨迹是一条线段D.三棱锥F-A8R的体积为定值

试卷第2页，共14页

6.（2021•北京海淀•高三模拟预测）如图，在棱长为2的正方体A8CQ-A4CQ中，E

是侧面B8CC内的一个动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（）

A.三角形AER的面积无最大值、无最小值

B.存在点E,满足REJ.BE

C.存在有限个点E,使得三角形4E0是等腰三角形

D.三棱锥B-AE。的体积有最大值、无最小值

7.（2021•北京门头沟•高三一模）在边长为2的正方体AB8-ABCR中，点"是该

正方体表面及其内部的一动点，且3M//平面ARC,则动点M的轨迹所形成区域的面

积是•

8.（2021•北京海淀•高三模拟预测）已知边长为1的正方体A88-A8CR,M为BC

中点，N为平面OCG。上的动点，若则三棱锥N-AAQ的体积最大值为

AB

二、题型二：应用题

9.（2020・西城・北京铁路二中高三期中）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填

充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各

种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的口A8C。由六个正三角形构成，将它沿虚线

折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CO

所在直线的位置关系为（）

图1图2

A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面且不垂直

10.（2021.北京高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗

漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24h降雨量

的等级划分如下：

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨

量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这

24h降雨量的等级是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

试卷第4页，共14页

11.（2020.首都师范大学附属中学高三开学考试）有一改形塔几何体由若干个正方体构

成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.

已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形

中正方体的个数至少是（）

A.8B.7C.6D.4

12.（2020•北京高三专题练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明

朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中，石瓢

壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）.

下图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:那么该壶的容量约为（）

C.300cm3D.400cM

13.（2021.北京人大附中高三开学考试）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲

空间的运用.刻画空间的弯曲性是儿何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：

多面体顶点的曲率等于2万与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫像多

面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于

该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是2，

所以正四面体在各顶点的曲率为2%-3x。%，故其总曲率为碗.给出下列三个结论：

①正方体各顶点的曲率为g；

2

②任意三棱锥的总曲率均为47；

③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为

8万.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

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三、题型三：折叠体

14.（2014・北京朝阳•高三一模（文））如图，梯形ABCD中，AD//BC,AD=AB=l,

ADYAB,288=45。，将A45Z）沿对角线5。折起.设折起后点A的位置为4,并

且平面A'BD1平面BCD.

给出下面四个命题：©A-DIBC；②三棱锥A-3C£＞的体积为也；

2

③C£）_L平面A5£＞；④平面ABC_L平面AOC.其中正确命题的序号是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

15.（2020•北京八十中高三月考）如图,在矩形ABCD中，他=4,A£＞=2,E为边A8的中

点.将三角形ADE沿DE翻折，得到四棱锥A-OEBC.设线段4。的中点为M，在翻折过

程中，有下列三个命题：

①总有5///平面AQE；

②三棱锥C-AOE体积的最大值为意;

3

③存在某个位置，使OE与AC所成的角为90.

其中正确的命题是.（写出的有正确命题的序号）

AEB

16.（2020.北京北师大实验中学高三月考）如图，定点A到平面。的距离为G，B,

为平面a内的两个动点，满足A8=2,AC=20给出下列四个结论:

①Bg2,4］；

TT

②NB4C可能为了；

③在平面a内，所有满足AB34P31C的点尸所构成的区域的面积为9万；

④设点。为4在平面a内的正射影，则三棱锥ABC。体积的最大值为6.

其中所有正确结论的序号是.

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四、题型四：立体几何与函数

17.（2020•北京高三专题练习）在边长为1的正方体中,E,F,G,H分别为43,CQi,

AB,的中点，点P从G出发，沿折线G8C”匀速运动，点。从H出发，沿折线

”D4G匀速运动，且点P与点。运动的速度相等，记区F,P,Q四点为顶点的三棱

锥的体积为V，点P运动的路程为x,在叱烂2时，V与x的图象应为（）

18.（2021•北京海淀•高三一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”

的立体图形来推算球的体积.如图1,在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内

切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2,设平行于水平面且与水平面距离为〃的

平面为a,记平面a截牟合方盖所得截面的面积为S,则函数S=f（〃）的图象是（）

图1图2

19.(2018,北京东城•东直门中学高三期中)如图所示，正方体A8CD-A'3'CZ)'的棱长

为1,E,尸分别是棱A4',CC'的中点，过直线E,尸的平面分别与棱88'，交

于M,N,设xe(0,l),给出以下四个命题：

①四边形为平行四边形；

②若四边形面积S=f(x),xe(0,l),则f(x)有最小值；

③若四棱锥A—的体积V=p(x)，xe(0,l),则p(x)是常函数；

④若多面体ABCD-MENF的体积丫=心)，则〃(x)为单调函数.

其中假命踵为().

A.①B.②C.③D.@

试卷第10页，共14页

五、题型五：距离问题

20.（2013•北京高考真题（文））如图，在正方体中，尸为对角线8。的

三等分点，户到各顶点的距离的不同取值有（）

A.3个B.4个

C.5个D.6个

21.（2019•北京西城・高三三模）已知正方体ABCD-A4G。的棱长为1,平面a与此

正方体相交.对于实数4（0＜八司，如果正方体MCD-ABCa的八个顶点中恰好有

“个点到平面a的距离等于d,那么下列结论中，一定正确的是

A.加工6B.加工5

C.D.加工3

22.（2019•北京房山•高三二模（理））在正方体中，动点E在棱8用上，

动点尸在线段AG上，。为底面A5C。的中心，若BE=x,=则四面体。-AEF

的体积（）

A.与x,y都有关B.与x,y都无关

C.与X有关，与y无关D.与y有关，与x无关

23.（2013•北京高考真题（理））如图，在棱长为2的正方体ABCD-AIBIGDI中，E为

BC的中点，点P在线段DF上，点P到直线CG的距离的最小值为.

24.（2017•北京西城•高三一模（文））如图，正方体ABC。-A4G。的棱长为2,点尸

在正方形ABCD的边界及其内部运动，平面区域卬由所有满足APN行的点P组成，则

W的面积是.

试卷第12页，共14页

六、题型六：截面问题

25.（2021・北京朝阳•高三一模）在棱长为1的正方体ABCO-ABCR中，P是线段

上的点，过A的平面a与直线垂直，当尸在线段上运动时，平面a截正方体

AB8-A8CR所得的截面面积的最小值是（）

A.1B.-C.为D.母

42

26.（2021•北京市十一学校高三月考）如图所示，在正方体A38-A与GA中，过对

角线BR的一个平面交AA于E,交CC,于F,给出下面几个命题：

①四边形BFQE一定是平行四边形；

②四边形8尸。足有可能是正方形；

③平面BFRE有可能垂直于平面8用。；

④设。户与0c的延长线交于M,与D4的延长线交于N,则M、N、B三点共线;

⑤四棱锥BFD.E的体积为定值.

以上命题中真命题的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

27.（2020.北京高三模拟预测）如图正方体AG中，M为A8中点，N为BC中点、,尸为

线段CG上一动点（不含C）,过M、N、P与正方体的截面为a,则下列说法正确的是

①当霁时，a为五边形

②截面a为四边形时，a为等腰梯形

③截面a过。时，费=；

④a为六边形时在底面投影面积H，a为五边形时在底面投影面积邑，则鸟>邑

试卷第14页，共14页

参考答案

1.A

【分析】

过点M做平面ABQ的平行截面，再求四边形面积即可.

4G、8用的中点,

则E/〃AR,EM//AB,所以EE〃平面A8R,〃平面ABR,且EFc£M=E,

所以平面42。//平面EFGM,故点P的轨迹为矩形EFG用.

M4=4G=；,所以MG=4，所以SELIX乌=容

故选：A

【点睛】

本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题.

2.C

【分析】

取8片的中点F,由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得。A，OC,

ODtrOF,由线面垂直的判定与性质可得ORLCF,进而可得点尸的轨迹为线段CF,找

到C7的最大值即可得解.

【详解】

取的中点尸，连接OF、D、F、CF、C.F,连接。。、BO、0C、。与、D,C,如图:

因为正方体ABC。-ABIGR的棱长为2,

所以aF=BF=1,DO=BO=OC=&，A4=AC=20,平面ABC。，，平面

AAGR,G2,平面B8℃,

222

所以OD\=qOD2+DD；=R,OF=y/OB+BFDtF=DtB；+B.F=3,

22

所以0。；+0产="广，OD^+0C=DfC,

所以ORLOC,ODt±OF,

由OCDOF=O可得O。_L平面OCF,

所以ORLCF,所以点P的轨迹为线段C尸，

又CF=yjB£2+BF=石>GC=2,

所以△RCf面积的最大值S=gGF-RG=；x2xV^=石.

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P的轨迹,

属于中档题.

3.C

【分析】

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

【详解】

答案第2页，共23页

对于①，由题意知AQJ/BG，从而BC"/平面ARC,

故BC।上任意一点到平面AD、C的距离均相等，

所以以P为顶点，平面A"C为底面，则三棱锥A-RPC的体积不变，故①正确;

对于②，连接AB,AG，AC/"a且相等，由于①知：AD\UBC\,

所以BAG〃面4C",从而由线面平行的定义可得，故②正确；

对于③，由于OCL平面8c4G，所以OCJ.BG，

若DPzBQ,则BC,1平面DCP,

BCJPC,则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误;

DiC,

对于④，连接。4，由。旦LAC且。S_LAR,

可得。片，面ACQ,从而由面面垂直的判定知，故④正确.

故选C.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的

判定，要注意使用转化的思想.

4.A

【分析】

利用线面平行和线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式以及二面角的定义对选项进行逐个

判断即可得到答案.

【详解】

选项A,ACLBD,ACA.BB,,且BO八84=B,可得4C_L面。£＞但出，即得AC_LBE,此命

题错误；

选项B,由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面。。8/距离是定

值，故三棱锥A-BE尸的体积为定值，此命题正确；

选项C,由正方体488-4修€?|。的两个底面平行，E尸在其一面上且EF与平面ABC。

无公共点，故EF〃平面A8CZ),此命题正确；

选项D,由于£F为线段B0i上有两个动点，故二面角A-EP-8的平面角大小始终是

二面角A-Bi。1-B的平面角大小，为定值，故正确；

故选A.

【点睛】

本题考查线面平行和线面垂直的判定定理的应用，考查棱锥体积公式以及二面角定义的应用,

属于基础题.

答案第4页，共23页

5.A

【分析】

设平面QAE与直线BC交于G,连接AG,EG,则G为BC的中点，分别取用8,4G的

中点M,N,连接AM,MN,AN,证明平面AMN//平面即可分析选项ABC

的正误；再由MN//EG,得点/到平面RAE的距离为定值，可得三棱锥尸-AB?的体积

为定值判断D.

【详解】

解：设平面，AE与直线BC交于G,连接AG,EG,

则G为8c的中点，分别取的中点加，N,

连接AM,MN,AN,

如图，AME平面RAE,"Eu平面

AM〃平面RAE,同理可得MN//平面RAE,

又AM、MN是平面内的两条相交直线，

二平面AM'〃平面RAE,而4尸〃平面RAE,A/u平面AMN,

得点F的轨迹为一条线段，故C正确；

并由此可知，当F与加重合时，A尸与平行，故A错误；

•.•平面〃平面。ME,BE和平面RAE相交，二A尸与8E是异面直线，故B正确；

■:MNHEG,则点尸到平面AAE的距离为定值，.•.三棱锥尸-A3。的体积为定值，故D

正确.

故选：A.

【分析】

结合点“到AR的距离有关，可判定A不正确；由点E在以8Q中点为球心，夜为半径的

球面与侧面BBC。交线，可判定B正确；由AE=RE时•，点E在的中垂面上，得到点

E的轨迹是线段8°,可判定C不正确；由匕一A码=%一.。,=；5“班・〃，可判定D不正确.

【详解】

选项A中，边4。的长度为定值，三角形AEQ面积与点E到AR的距离有关，

当点E在线段BG上时，距离最小，此时面积取得最小值，在端点A，C处的距离最大，

此时面积取得最大值（舍去，端点不可取），所以A不正确；

选项8中，若RE工B]E,可得点£在以BQ,中点为球心，血为半径的球面上，

因为以BQ为直径的球面与侧面BBCC有交，所以存在点E,满足

所以B正确；

选项C中，三角形AER是等腰三角形，当AE=?E时，点E在4。的中垂面上，且E在侧

面BBCC上，所以点E的轨迹是线段8。（不含端点），有无穷多，所以C不正确；

选项。中，由VB_AED1=匕-叫=；5M时•力，高〃不存在最大值（不包含端点）和最小值，

所以D不正确.

故选：B.

7.2G

【分析】

由题意，求出作出过8的平面与平面A"C平行，该平面即为动点M的轨迹所形成区域，求

答案第6页，共23页

出该区域的面积即可.

【详解】

如图，边长为2的正方体ABCQ-ABC。中,

动点满足//平面

MBMADtC,

由面面平行的性质可得

当始终在一个与平面AQC平行的面内，即满足题意，

过B作与平面平行的平面，

连接AB,BG，AG，平面A8CJ/平面ARC,

所以

S△a々“”5=-2x2>/2x—2x2>/2=2^.

故答案为：2G

8.-

6

【分析】

以。为原点，分别以D4,DC,DQ为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设

7V（O,«,Z7）,O<«<1,O<^<1,由丽_L/，得到a,b的关系，确定a的范围，再由

%-伏"=丁5."*问求解.

【详解】

以。为原点，分别以D4,DC,为x,y,z轴建立空间直角坐标系:

则A（1，O,1），C（O,1,O）,M（；,1，O],设N（0M,b）,04a41,0Mb41,

所以配=（1,0,1）,麻

因为丽_L〃，

------------11

所以MN・4C=—+o—l—〃=0,即。一人二一，

22

yCb=a--,0<b<l

2f

所以《W“W1,

所以匕”=».炉同屋4：,当4=1/=；等号成立，

所以三棱锥N-AAQ的体积最大值为1

6

故答案为：—

6

9.B

【分析】

可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断

AB,CD的位置关系.

【详解】

将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，

且BC两点重合，所以A8与C。相交，

故选：B

答案第8页，共23页

【点睛】

本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题.

10.B

【分析】

计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【详解】

由题意，一个半径为寸=100（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为

200150

--------X---------=50（mm）,高为150（mm）的圆锥,

2300

-^x502xl50

所以积水厚度4,属于中雨.

3=12.5（mm）

/rxIO。？

故选：B.

’而视频r:

11.A

【分析】

则从下往上第二层正方体的棱长为：历不二40，从下往上第三层正方体的棱长为：

J（2可+（2可=4,从下往上第四层正方体的棱长为：疹才=2&，以此类推，能求

出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.

【详解】

最底层正方体的棱长为8,

则从下往上第二层正方体的棱长为：历币=4立，

从下往上第三层正方体的棱长为：*2⑸+(20=4,

从下往上第四层正方体的棱长为：亚f=20，

从下往上第五层正方体的棱长为：小曲+曲=2,

从下往上第六层正方体的棱长为：庐下=夜，

从下往上第七层正方体的棱长为:

从下往上第八层正方体的棱长为：

，改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是&

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.

12.B

【分析】

根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出.

【详解】

设大圆锥的高为a,所以解得力=io.

h10

j^V=l^x52xl0-1^x32x6=^y^-«200cm,.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题.

13.D

【分析】

根据几何体顶点的曲率和几何体总曲率的定义求解.

【详解】

①因为正方体的每个顶点有3个面角，每个面角是1TT,所以正方体在各顶点的曲率为

7TTT

^-3x-=-,故正确；

222

答案第10页,共23页

A

②如图所示：/?,

C

A点的曲率为：2万-NBAC-NDAC-NBAD,

B点的曲率为：2兀-乙\BC-NABD-NCBD,

C点的曲率为：2兀—NACB-NACD—NBCD,

。点的曲率为：2TT—NADC—NADB—NBDC,

贝IJ三棱锥的总曲率均为8万一(ZA8C+Z4CB+NB4C)-(NZMB+ZABD+NBDA),

-(ZADC+ZACZ)-ZDAC)-(ZfiCD+ZfiDC+CBD)=4^,故正确；

rr-jr

③此几何体有16个顶点，每个顶点的曲率为27-3x]=],所以该几何体的总曲率为

16x3=8万，故正确.

2

故选：D

14.B

【分析】

利用折叠前四边形A8C3中的性质与数量关系，可证出3D_LOC,然后结合平面A'3D_1平

面88,可得平面A8D,从而可判断①③：三棱锥A-88的体积为

LL应.0.也=也，可判断②；因为8J_平面A'8E>,从而证明CD_LAB,再证明

3226

平面A'OC,然后利用线面垂直证明面面垂直.

【详解】

①NBAD=90",AD=AB,

ZADB=ZABD=45°,

vAD//BC,ZBCD=45',

：.BDLDC,

・•・平面A'8/)_L平面BCD,且平面ABD。平面BC£)=30,

\CDz平面ABD,

•.•A'£>u平面A'Q,

：.CD±A'D,若AO_L8C则A'O_L面8c£>,则A。，3。，显然不成立，

故ADI.8C不成立，故①错误；

②棱锥的体积为•也=亚，故②错误；

3226

③由①知CDJ"平面故③正确；

④由①知CD_L平面A'BD,

又•••A'Bu平面A'3。，

：.CD±AB,

又A'B_LA'O,且A。、COu平面A'OC,A'DC\CD=D,

.•.A3_L平面A'OC,又A3u平面ABC,

平面A8C_L平面AOC,故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键

是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形A8C。中

的性质与数量关系.

15.@@

【分析】

利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误;

利用直线与平面垂直判断③的正误.

【详解】

取DC的中点为F,连结FM,FB,可得MF〃AQ,FB〃DE,可得平面MBF〃平面AiDE,

所以BM〃平面AQE,所以①正确；

当平面AQE与底面ABCD垂直时，三棱锥C-AQE体积取得最大值，最大值为：

1X|ADXA£XEC=1X!X2X2X2V2=^X/2,所以②正确.

存在某个位置，使DE与AC所成的角为90。.因为DELEC,所以DEL平面A|EC,

可得DELAiE,即AEJ_DE,矛盾，所以③不正确；

故答案为①②

答案第12页，共23页

4

【点睛】

本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的

求法，考查空间想象能力以及计算能力.

16.@@

【分析】

先找到点A在面上的投影，然后逐项分析即可.

【详解】

由题意，。是点A在面上的投影，又A到平面a的距离为G,B,C为平面a内的两个动点,

满足AB=2,4C=26，由勾股定理可得IDB\=1,|DC\=3

即点8是以点。为圆心，1为半径的圆上的点

点C是以点力为圆心，3为半径的圆上的点，

当8、C、。共线且在点。的同侧时，线段BC最短，长度为半径之差，为3-1=2

当8、C、。共线且在点。的异侧时，线段BC最长，长度为半径之和，为3+1=4

故BCd[2,4]①正确；

因为BC02,4],所以8C屋[4,16]

7T

若ZBAC:一在，成;中

4

AB^2,AC=2^,Z.BAC=/.BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC

2故②正确；

fiC=4+12-2x2x2>/3x^-=16-4^e[4,16],

在平面a内，所有满足4c的点P所构成的区域环形圆面，其面积是大圆面与小圆

面的面积之差

其值为乃x3?xF=8万，故③不正确；

当8DJ.OC时，点B到边0c的距离最长，此时ABDC的面积最大，最大值是

113

-xB£)xC£>=-xlx3=|,又棱锥的高为也

故三棱锥体积的最大值是1x3x后=且，故④不正确.

322

综上，①②正确.

故答案为：①②.

【点睛】

本题考查空间位置关系与距离,几何体体积的求法，圆与圆的位置关系,涉及到的知识点多，

综合性强，考查了空间想像能力，难度较大，解答的关键是判断出8,C两点在变化中的相

对位置.

17.C

【分析】

分情况表示出三棱锥的体积，根据分段函数解析式判定函数图象.

【详解】

（1）当时，点P与点。运动的速度相等根据下图得出：面。E尸把几何体PEFQ

分割为相等的几何体，

•••SA。.=gX1X1=；,p到面OEF的距离为X,

11xx

VPEFQ=2VP-OEF=2X-X-X=2--=-,

(2)当;时，P在AB上，Q在CQi上，P到OEF=1X1X1=1,

峰E垣=2%.0)=2乂!乂!乂!=!=定值.

3226

3ii

(3)当2〈烂2时，SAOEF=-X1X1=-,尸至lj面0E尸的距离为2-x,

1121

VPEFQ=2VP-O£F=2X-X—x(2-x)=-

答案第14页，共23页

故选：c.

【点睛】

此题考查求锥体体积，关键在于根据几何体特征准确分类讨论表示出锥体体积，结合分段函

数解析式选择函数图象.

18.D

【分析】

首先由图1得正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，由图2可知截面均为正方形，此正方

形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，由此计算得到函数解析式，判断选项.

【详解】

正方体的内切球也是“牟合方盖''内切球，用任意平行于水平平面的平面去截“牟合方盖”，截

面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，

内切球的半径为。，设截面圆的半径为小则(“-〃)2+产=〃，解得：产=一层+2"，

设截面圆的外接正方形的边长为6,则8=2r,正方形的面积S=6=4/=-4/?2+8a/7,

/ie[0,2a],由函数形式可知，图象应是开口向下的抛物线.

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是空间想象能力的考查，关键得到截面是一个正方形，以及与“牟

合方盖“内切球的关系.

19.D

【详解】

对于①，：平面ADDA||平面BCC'B'，

：.EN//MF,

同理：FN||EM,

四边形MENF为平行四边形，故①正确；

对于②，四边形MENF的面积S=/(x)=g(EFxMN),

当M为BB'的中点时，即x时，MN最短,

此时面积最小，故②正确；

对于③，

连接AF,AM,AN,

则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以用为底，以M,N为顶点的两个小棱锥，

因为△心的面积是个常数，M,N到平面AEE的距离和是个常数，

所以四棱锥C-M£NF的体积V=P(x)是常函数，故③正确；

对于④，多面体ABCD-MENF的体积V=h(x)=^VABCI)_A.„,C,D.=；为常数函数，故④错误.

综上所述，假命题为④.

故选D.

点睛：本题考查空间立体几何中的面面平行关系以及空间几何体的体积公式，本题把立体几

何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高，对

于几何体的体积的求解要会有体积分割法，或等价转化.

20.B

【详解】

如图,取底面ABCD的中心O,连接PA,PC,PO.

答案第16页，共23页

：AC_L平面DDiB,

又POu平面DDiB,

；.AC_LPO.

又。是AC的中点，

APA=PC.

同理，取BiC与BG的交点H,易证BC，平面DiCiB,

.,.B,C±PH.

又H是BC的中点，

；.PBi=PC,

APA=PBI=PC.

同理可证PA产PC产PD.

又P是BDI的三等分点，

，PBrPD浮PBMPD,

故点P到正方体的顶点的不同距离有4个.

21.B

【分析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.

【详解】

如图（1）恰好有3个点到平面a的距离为d；如图（2）恰好有4个点到平面a的距离为d；

如图（3）恰好有6个点到平面a的距离为小

所以本题答案为B.

【点睛】

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用

知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.

22.B

【分析】

连接A。，AE,AF,OE,OF,所，然后利用等积法说明四面体O-AEF的体积是与*,

》无关的定值.

【详解】

V88"/平面，E到平面MC.C的距离为定值，

•••40〃AG，.・.下到直线A0的距离为定值，

的面积为定值.

^O-ABF=VJAOF,

四面体O-AEF的体积是与x,V无关的定值.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.

0a26

5

答案第18页，共23页

【详解】

点P到直线CG的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD

上的射影为P',显然点P到直线CG的距离的最小值为PC的长度的最小值，当P，C_LDE

2x12石

时，P'C的长度最小，此时PC=

V22+l—

7C

24.4——

4

【详解】

AP=历二^?之^/^4=1,所以点平面区域W是底面ABC。内以A为圆心，以1为半径

的外面区域，贝的面积是2?-1T1=4—

44

25.C

【分析】

以点A为坐标原点，AB.AD.AA所在直线分别为x、z轴建立所示的空间直角坐标

系，设点P（1/#（OqW1）,分f=0、f=l、0</<1三种情况讨论，确定截面a与各棱的交

点，求出截面面积关于f的表达式，由此可解得截面面积的最小值.

【详解】

以点A为坐标原点，AB.AD.AA所在直线分别为X、>、z轴建立如下图所示的空间直

角坐标系,

则4(0,0,0)、A(0,0,1)、8(1,0,0)、4(1,0,1)、c(l,l,o)、G(1,1,1)、仪0,1,0)、A(0,1,1),

设点其中04dl.

①当f=0时，点尸与点B重合,丽=（一1,1,0）,而=（1,1,0）,丽=（0,0,1）,

所以，BDAC=0>而♦丽=。，则BDJ_AC,BDLAAt,

•.•ACcAA=A,平面AAGC,此时平面a即为平面AAGC,

截面面积为S=A4,•AC=0；

②当f=l时，同①可知截面面积为S=夜；

③当0</<1时，DP=（\,t-\,t）,而=（1,1,一1）,

■.■DP-A^C=\+t-\-t=G,：.AtC±PD,则ACua,

设平面a交棱。。于点£（0,1,z）,CE=（-l,0,z）,

DPCE=-l+tz=0,可得z=l>l,不合乎题意.

t

设平面a交棱A3于点”（x,0,0