2025考研北京师范大学数学分析习题集（历年真题分类汇编）

2025考研北京师范大学数学分析习题集（历年真题分类汇编）一、单项选择题（每小题5分，共50分）1.设函数f(x)在区间I上连续，且对任意x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)，则称f(x)在I上单调递增。下列函数中，在(0,+∞)上单调递增的是（）A.f(x)=x²ln(x)B.f(x)=sin(x)+cos(x)C.f(x)=e^(-x)D.f(x)=arctan(x³)2.设数列{a_n}满足a₁=1，a_(n+1)=a_n+(1/a_n)²，则数列的极限存在且等于（）A.1B.2C.∞D.无法确定3.极限lim(x→0)[(cosx-1)/x²]•[1/(1-sinx)]的值为（）A.-1/2B.1/2C.1D.-14.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f'(0)=1，则极限lim(x→0)[f(x)-x]/[x²]的值为（）A.1/2B.1C.0D.-1/25.级数∑(n=1to∞)[(-1)^(n+1)•n/(n+1)]的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定6.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，则∫[atob]√f(x)dx的几何意义是（）A.以f(x)为高，[a,b]为底的矩形面积B.以f(x)为底，[a,b]为高的圆柱体体积C.以f(x)为曲边，[a,b]为底的曲边梯形面积D.以f(x)为曲边，[a,b]为底的旋转体体积7.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)单调递增，则∫[atob]f(x)dx的值为（）A.必小于f(a)•(b-a)B.必大于f(a)•(b-a)C.必等于f(a)•(b-a)D.无法确定8.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，则∫[atob]f(x)dx与f(x)在[a,b]上的平均值的关系为（）A.∫[atob]f(x)dx>f(平均)B.∫[atob]f(x)dx<f(平均)C.∫[atob]f(x)dx=f(平均)D.无法确定9.级数∑(n=1to∞)[1/(n•lnn)]的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定10.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，则∫[atob]f(x)dx与f(x)在[a,b]上的最大值的关系为（）A.∫[atob]f(x)dx>f(最大)B.∫[atob]f(x)dx<f(最大)C.∫[atob]f(x)dx=f(最大)D.无法确定二、填空题（每小题5分，共20分）1.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f'(0)=1，则函数f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项为__________。2.级数∑(n=1to∞)[(-1)^(n+1)•1/n]的敛散性为__________。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，则f(x)在[a,b]上的平均值为__________。4.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)单调递增，则∫[atob]f(x)dx与f(a)•(b-a)的关系为__________。三、解答题（每小题10分，共30分）1.讨论函数f(x)=x³-3x+2在区间[-2,2]上的单调性与极值。2.计算极限lim(x→0)[sin(x²)-x]/[x³]。3.判断级数∑(n=1to∞)[1/(n²+n)]的敛散性。四、证明题（每小题10分，共20分）1.证明：若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，则∫[atob]√f(x)dx>√[∫[atob]f(x)dx]。2.证明：若数列{a_n}满足a₁>0，a_(n+1)=√(a_n+1)，则数列{a_n}收敛。五、综合应用题（每小题20分，共40分）1.某函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，∫[0to1]f(x)dx=1。证明：存在x₀∈(0,1)，使得f(x₀)=x₀。2.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，定义F(x)=∫[atox]f(t)dt。证明：F(x)在[a,b]上单调递增。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：f(x)=x²ln(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f'(x)=2xln(x)+x>0（x>1/e）。2.C解析：a_(n+1)-a_n=1/a_n²>0，数列单调递增；又a_(n+1)=a_n+1/a_n²≤a_n+1，故a_n≤a₁+n，数列有界，故极限为∞。3.A解析：lim(x→0)[(cosx-1)/x²]=-1/2，lim(x→0)[1/(1-sinx)]=1，故极限为-1/2。4.C解析：lim(x→0)[f(x)-x]/[x²]=lim(x→0)[f'(x)-1]/[2x]=f''(0)/2-1/2=0。5.B解析：级数绝对收敛的必要条件是通项极限为0，但此处通项极限为0；又交错级数满足Leibniz判别法，条件收敛。6.C解析：∫[atob]√f(x)dx是以f(x)为曲边，[a,b]为底的曲边梯形面积。7.A解析：f(x)单调递增，故f(x)≥f(a)，∫[atob]f(x)dx≥f(a)•(b-a)。8.C解析：f(平均)=[1/(b-a)]•∫[atob]f(x)dx。9.C解析：级数发散，因为比较级数∑(n=2to∞)[1/nlnn]发散（Cauchy判别法）。10.B解析：f(x)>0，故∫[atob]f(x)dx<f(最大)•(b-a)（积分保号性）。二、填空题1.x+x²/2+o(x²)解析：泰勒展开式前三项为f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2=x+x²/2。2.条件收敛解析：交错级数满足Leibniz判别法，条件收敛。3.[1/(b-a)]•∫[atob]f(x)dx解析：f(x)在[a,b]上的平均值为积分除以区间长度。4.∫[atob]f(x)dx≥f(a)•(b-a)解析：f(x)单调递增，故f(x)≥f(a)，积分不等式成立。三、解答题1.解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。当x∈(-2,-1)时，f'(x)>0，单调递增；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，单调递减；当x∈(1,2)时，f'(x)>0，单调递增。极值：f(-1)=4（极大值），f(1)=0（极小值）。2.解：lim(x→0)[sin(x²)-x]/[x³]=lim(x→0)[x²-x]/[x³]=-1。3.解：级数收敛。因为1/(n²+n)=1/n-1/(n+1)，故级数为望远镜级数，求和为1。四、证明题1.证明：设F(x)=√f(x)，则F'(x)=f'(x)/(2√f(x))>0，F(x)单调递增。故∫[atob]√f(x)dx=∫[atob]F(x)dx>∫[atob]√[∫[atob]f(x)dx]=√[∫[atob]f(x)dx]。2.证明：数列有界：a₁=1<2，a_(n+1)=√(a_n+1)≤√(2a_n)≤2a_n，故a_n≤2^(n-1)有界。单调性：a_(n+1)-a_n=√(a_n+1)-a_n=[a_n+1-a_n²]/[√(a_n+1)+a_n]≥0，故数列单调递增。由单调有界定理，数列收敛。五、综合应用题