苏科版九年级数学上册全册集体备课教学设计

苏科版九年级数学上册集体备课教案

第1章一元二次方程............................................................-2-

1.1一元二次方程..........................................................-2-

1.2一元二次方程的解法....................................................-5-

1.3一元二次方程的根与系数的关系........................................-19-

14用一元二次方程解决问题................................................-21-

第2章对称图形一圆............................................................-25-

2.1圆....................................................................-25-

2.2圆的对称性...........................................................-30-

2.3确定圆的条件.........................................................-36-

2.4圆周角...............................................................-39-

2.5直线与圆的位置关系...................................................-47-

2.6正多边形与圆.........................................................-59-

2.7弧长和扇形面积.......................................................-64-

2.8圆锥的侧面积.........................................................-67-

第3章数据的集中趋势和离散程度..............................................-70-

3.1平均数...............................................................-70-

2.2中位数与众数.........................................................-74-

3.3用计算器求平均数.....................................................-79-

3.4方差.................................................................-82-

3.5用计算器求方差.......................................................-85-

第4章等可能条件下的概率.....................................................-88-

4.1等可能性.............................................................-88-

4.2等可能条件下的概率（一）............................................-90-

4.3等可能条件下的概率（二）............................................-95-

第1章一元二次方程

1.1一元二次方程

教学目标

【知识与能力】

通过观察，归纳一元二次方程的概念，能熟练的把一元二次方程转化成一般形式.

【过程与方法】

通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程

的过程，进一步使学生感受方是刻画现实世界的有效的数学模型.

【情感态度价值观】

培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.

教学重难点

【教学重点】

一元二次方程的概念和一般形式.

【教学难点】

正确理解和掌握一般形式中的aWO，“项”和“系数”.

教学过程

一、复习旧知

1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？

2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？

3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用

一元一次方程解决实际问题的步骤吗？

二、问题情境

(1)正方形桌面的面积是2m2,求它的边长？

(2)矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积

是24m2,求花圃的长和宽？

(3)我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分

率是多少？

(4)长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向

右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

4>\5

c3BB，

总结：一元二次方程的概念：

像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次

数是2(二次)的方程叫做一元二次方程

一元二次方程必须同时满足的三个条件：

⑴⑵⑶

练习，下列方程中那些是一元二次方程：

(l).x2+x=1

⑵=1

(3).x=—

x

(4).x2-3x+2j=0

(5).X2-3=(X-1)(X+2)

⑺mx2-3x+2=0(也是系数)

(8)(a2+l)y2+(2a-l)y+5-a=0

(y是未知数)

7、一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为

ax2+bx+c=O的形式，我们把ax2+bx+c=O

(a,b,c为常数，aWO)称为一元二次方程的一般形式。其中a尤6尤。分别为二

次项、一次项、常数项。a,b,c分别为二次项系、一次项系数以及常数项系数。

(一)思考：下列两个方程是否是一元二次方程？

(l).av2+bx+c=O

(2).M=o(a/o)

(二)指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：

x2=2X2+2x=4.4

一2d+19x=24x2-x=0

三、学习新知

例1.:把下面的方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

4X(X+3)=5(X-1)2+8

巩固练习：P7练习1,2

1.方程(2a-4)/—26*+1=0

(1).在什么条件下此方程为一元二次方程？

(2).在什么条件下此方程为一元一次方程

2.以一2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请尽可能多的写出

满足条件的不同的一元二次方程？

1.一元二次方程的定义

一元二次方程的一般形式

本节课主要学习了什么知识？你有什么收获，与同学交流。

四、经典练习(部分题)

1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()

A3(x+1)2=2(x+l)B.-L1-2=0

厂+y

C.ax2+far+c=0D.x2+2x=x2-1

2、用换元法解方程(x2+x)2+(x?+x)=6时，如果设(+x=y,那么原方程可变

形为()

A、y"+y—6=0B、y2—y—6=0

C、y+6=0D、y2+y+6=0

3、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是

4、已知关于x的一元二次方程(攵+1口—6=0的一个根是2,求k的值.

1.2一元二次方程的解法

第一课时

教学目标

【知识与能力】

了解形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程的解法——直接开平方法.

【过程与方法】

会用直接开平方法解形如以2=/,(aWO,ab》O)的方程.

【情感态度价值观】

会用直接开平方法解形如a(x-=/,(aW0,a620)的方程.

教学重难点

【教学重点】

一元二次方程的概念和一般形式.

【教学难点】

正确理解和掌握一般形式中的aWO，“项”和“系数”.

课前准备

无

教学过程

一、知识回顾：

1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。

(1)5=4x--(2)5=3/

⑶y2-G+l)2=(y+2Xy-2)

2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根

有哪些性质？

平方根有下列性质：

(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；

(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。

3、填空：

4的平方根是，81的平方根是:100的算术平方根是。

二、自学自悟

思考：如何解方程x2=2呢？

根据平方根的意义，是的平方根，所以，x=

即此一元二次方程的两个根为

结论：1、根据平方根的意义，x就是2的平方根，，x=±&

这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

2、形如方程,-左=°依'0)可变形为，=以上20)的形式，用直接开平方法求解。

三、例题学习

例1：解下列方程

(1)x2-4=0；(2)4--1=0；

例2：解下列方程

(1)(x+1)'—2=0；(2)12(2—x)'—9=0.

(这两题和上面两题有什么异同点？解法上有什么联系？

小结：如果一个一元二次方程具有(x+h)2=k(k20)的形式，那么就可以用直接开

平方法求解

例3.解方程(2x—1)J(x—2产

分析：如果把2x-l看成是(x-Z)?的平方根，同样可以用直接开平方法求解

练习：(2X-1)2=(3-X)2

四、知识梳理与小结

1、1.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤

2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？

形如(x+/?)2=以左20)的方程。

说明：(1)解形如(无+疗=依%之°)的方程时，可把(尤+外看成整体，然后直开平方。

(2)注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，

(3)如果变形后形如(X+H)=左中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。

(4)如果变形后形如(x+")2=k中的k=0这时可得方程两根X”/相等。

巩固练习

1、解下列方程：

(1)7=169；(2)45-7=0；

(3)12/—25=0；(4)4/+16=0

2.解下列方程：

(1)(x+2)2—16=0(2)(x—1尸一18=0

(3)(l-3x)2=l；(4)(2x+3)z—25=0

1、本节课的主要内容是什么/

2、通过本节课的学习，你有什么收获，与同学交流一下。

第二课时

教学目标

【知识与能力】

会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会配方法是一种重要的数学方法.

【过程与方法】

经历探究将一般一元二次方程化成(x+加尸=〃(〃20)形式的过程，理解配方法的意

义，体会转化的思想，向学生渗透知识来源于生活.通过观察，思考，对比获得一元

二次方程的解法——配方法.

【情感态度价值观】

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

教学重难点

【教学重点】

掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

【教学难点】

把一元二次方程转化为的(x+力2=k(A20)形式.

教学过程

1.填空

1、请写出完全平方公式。

(a+Z?)2=(a~b)2=

2、用直接开平方法解下例方程：

⑴*+3)2=5(2)(X-5)2+4=13

2、将下列各进行配方:

22

(1)X+2X+=(X+—)

(2)X-8x+-------=(X—)

⑶丁+5y+——=(y+)2

(5)x2+bx+_____=(x+___)2

3.想一想如何解方程/+6X+9=5?

想一想如何解方程J+6x+4=0?

两个方程之间有什么联系？

提示：能否将方程/+6x+4=0转化为(x+加产=〃的形式呢？

定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一

元二次方程的方法叫做配方法.

目的：把左边转化成(。。。)Jk的形式，右边的k是一个非负数。

例1：用配方法解下列方程

(I*-4x+3=0

(2)x2+3x-1=0

注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方

小结：用配方法解一元二次方程的步骤：

移项:把常数项移到方程的右边；

配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；

开方:根据平方根意义,方程两边开平方；

求解:解一元一次方程；

定解:写出原方程的解.

1用配方法解下列方程:

(1)X2+12X=-9

(2)-X2+4X-3=0

用配方法解一元二次方程

X2+2X-24=0

知识梳理与小结

课堂反馈练习(一)(看谁准确率高)

1、填空：

(1)尤2+6X+()=()2

27

(2)x-8x4-()=()

(3)/+x+()=()2

27

(4)4X-6x+()=4()

2、用配方法解方程：

29

(1)k+2x=5；(2)%-4x+3=0；

(3)V+8x—2=0；(4)f+7=-6x

课堂反馈练习(二)(看谁又快又准)

1、解下列方程：

(1)X2+2X-3=0；(2)X2+10X+20=0；

(3)x2-6x=4；(4)x2-x=l；

(5)X2-7X+12=0；(6)x2+6x-16=0

本节课主要学习了用配方法解一元二次方程，配方时一定要注意等式两边都加一次项

系数一半的平方，尤其要注意负号。

第三课时

教学目标

【知识与能力】

进一步理解配方法和配方的目的，.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤，.会利用

配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重

要的数学方法.

【过程与方法】

通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二

次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.

【情感态度价值观】

通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神.感受数学的严谨性和数学

结论的确定性.故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力.

教学重难点

【教学重点】

掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

【教学难点】

把一元二次方程转化为的(*+力2=k(A20)形式.

教学过程

活动一、知识回顾

1、用配方法解下列方程：

(1)x'-6x-16=0；

(2)X2+3X-2=0；

(3)x2+10x-8=0；

(4)x-4x+3=0；

2、方程x2--x+l=0与方程2x~5x+2=0有什么关系？

2

活动二、自学自悟

如何解方程2x-5x+2=0?

点拨：对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系

数，再利用配方法求解

活动三、例题学习

例题1、用配方法解方程

1、3/+8X+1=02、-3/+4x+l=0

(思考：二次项系数不为1怎么办？二次项系数为负数怎么办？)

例2、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时

间t(s)有如下关系：h=24t-5t\经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m?

活动四、知识梳理与归纳

议一议：用配方法解一元二次方程的步骤是：

活动五、课堂反馈练习(一)(力求结果准确)

1、填空：

⑴x2,x+=(x-)；

3

(2)2x-3x+=2(x-)2.

(3)a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)2

2、用配方法解一元二次方程2X2-5X-8=0的步骤中第一步是。

3、方程2(x+4)2-10=0的根是.

4、用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正确的是()

A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4

C.x-2x+l=-+lD.x-2x+l=--+l

22

5、用配方法解下列方程:

(1)2/一7r—4=0；(2)3%2-1=6x

(3)，+15=10x(4)3y2-y-2=0

6、已知(a+b)J17,ab=3.求知-b)”的值.

本节课主要学习了二次项系数不是1时的一元二次方程该怎么解。

第四课时

教学目标

【知识与能力】

理解一元二次方程求根公式的推导过程.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方

程.

【过程与方法】

经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根

公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；通过对

公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程,操作简单.

提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.明确运用公式求根的前提条件是斤一

4ac20.

【情感态度价值观】

感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，

建立学习信心.

教学重难点

【教学重点】

掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程.

【教学难点】

求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号

错误.

教学过程

活动一、知识回顾

1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、用配方法解下例方程

(1)2/一7x—2=0(2)2/—4x+5=0

活动二、自学自悟

请尝试用配方法解一元二次方程：a^+bx+c=0(aWO)

示范：ax2+bx+c=0

x2+—x+—=0

aa

x2+^x=—£

aa

2.I/。、2、

x+-xb+(—)2=一—c+i(/—b)22

a2aa2a

(x+—)=----------

2a4a

x+±+J〃-4ac

2a2a

-b±y/b2-4ac

2a

小结：一般地，对于一元二次方程a*+6x+c=0

(aWO),当时，它的根是。这个公式叫做一元二次方程的，利用这个公式解一元

二次方程的方法叫做。

活动三、例题学习

例、请你利用求根公式解下列方程：

(1)/+3x+2=0(2)2x~7x=4

解：(2)移项，得2/-7x-4=0

a=2,b=-7,c=-4

b2-4ac=(-7)2-4X2X(-4)=81

._-(-7)±商_7土9

••X---------------------------------------------------

2x24

•一

••x।-4x_A1-

2

活动四、知识梳理与小结

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？

举例说明。

3、若解一个一元二次方程时，下一4ac<0,请说明这个方程解的情况。

活动五、课堂反馈练习

1、把方程4-x2=3x化为ax*+bx+c=O(a#0)形式为，b2-4ac=

2、用公式法解下列方程:

(1)X2-2X-8=0；(2)X2+2X-4=0；

(3)2x-3x-2=0；(4)3x(3x-2)+l=0.

(5)2x2+x-6=0(5)x2+4x=2

课堂小结

本节课主要学习了一通公式法求一元二次方程的根，课后要多练习。

第五课时

教学目标

【知识与能力】

能用tf-4ac的值判别一元二次方程根的情况，用公式法解一元二次方程的过程中，

进一步理解代数式万一4ac对根的情况的判断作用.

【过程与方法】

经历观察、比较、概括二次根式的定义；通过探究二次根式的条件和结果，达成知识

目标.

【情感态度价值观】

培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.

教学重难点

【教学重点】

一元二次方程的概念和一般形式.

【教学难点】

正确理解和掌握一般形式中的aWO，“项”和“系数”.

教学过程

1、运用公式法解下例方程：

(1)x2-4x+4=0(2)2x2-3x-4=0

(3)X2+3X+5=0

探究新知

对于ax^+bx+c=0的根x=-~~~土'/A

2a

若出现△=〃—4QCV0怎么办呢？

例如解方程3x2-4X+4=0

小结：当时，有两个不相等的实数根

当△=()时，有两个相等的实数根

当△VO时，没有实数根

举例：判断下列方程根的情况

(1)3x2-4x+l=0

(2)3x2-4x+7=0

(3)x2—4x+4=0

解：(1)VA=Z?2-4«C=16-12=4>0

...此方程有两个不相等的实数根

(2)VA=&2-4ac=16-84=-68<0

，此方程没有实数根

(3),.,△=&2-4ac=16-16=0

，此方程有两个相等的实数根

练习：不解方程，判断方程根的情况

1、x2+3x-4=02、2x2-6x+7=0

3、5x2-6x-4=04、x2-2^5x+5=0

例题：已知方程x2+kx-4=0有两个相等的实数根，求k的值。

变式1、有两个不相等的实数根，求k的取值范围;

变式2、没有实数根，求k的取值范围；

变式3、有实数根，求k的取值范围；

变式4、若方程变为kx2+3x-4=0有实数根，求k的取值范围

分析：对于变式4,要考虑k为0时的一元一次方程情况。

本节课主要学习了一元二次方程得根的判别式，要学会利用根的判别式来判断一元二

次方程根的情况。

第六课时

教学目标

【知识与能力】

了解因式分解法的概念.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左

边因式分解，根据两个因式的积等于0,必有因式为0,从而降次解方程.

【过程与方法】

能经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.体验

解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.

【情感态度价值观】

积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.

教学重难点

【教学重点】

积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.

【教学难点】

选择适当的方法解一元二次方程.

教学过程

回顾：

到目前为此，我们已经学习了一元二次方程的几种解法？

1、直接开平方法x2=a(a20)

2配方法(x+h)2=k(k»0)

3公式法=>x=必坐三伏-痴壮0)

练习：解方程x2—3x.

解法1：配方法

解法2：公式法

探究新知

(建模)我们知道，若aXb=O,

则有a=0,b=0

(应用)解方程：X2=3X.

由d=3x.可知，x(X-3)=0

x=0,X—3=0

••x।=0,x2=3.

(拓展延伸)用上面的方法解下列方程

1、x2+5x.=0

2、x2-25=0

3、(x+2)(x-5)=0

4、2(x—4)+x(x—4)=0

例题教学

例题1、解下列方程

1、x2=-4x2、5x2+3x=0

3、x+3—x(x+3)=0

4^(2x—1)2—x2=0

5、4x(5x+2)=3(5x+2)

解：(3)原方程变形为

(x+3)(1-x)=0

x+3=0或1—x=0

••Xj—3,x21

(4)原方程变形为

(2x—1+x)(2x—1—x)=0

2x—l+x=0或2x—1—x=0

x,———3,xn-1

3

(5)小明是这样解的：两边同时除以

3

(5x+2)得，4x=3x=—

4

请问小明的做法对吗？正确应该怎么解？

小结：本节课主要学习了用因式分解的方法解一元二次方程，难点是会因式分解。

1.3一元二次方程的根与系数的关系

教学目标

【知识与能力】

了解一元二次方程根与系数的关.系，并能进行简单的应用.

【过程与方法】

能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识.

【情感态度价值观】

积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.

教学重难点

【教学重点】

了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用.

【教学难点】

了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用.

教学过程

探索发现

观.察下表，你能发现下列一元二次

方程的根与系数有什么关系吗？

X\X

ax2+bx+c=O2

12

X2-3X+2=O

f+3x+2=0-1-2

23

—5x+6=0

-2-3

x2+5x+6=0

x2-3x=003

解释规律

你能解释刚才的发现吗？

一元二次方程ax2+/?x+c=0

(aWO),如果62—4ac2O,它的两个根分别是有、莅.

总结发现

一元二次方程ax2+"+c=0(aWO),如果它的两个根分别是为、

X".

bc

“1+*2=-------，X•%=一,

CI(2

例题精讲

例求下列方程两根的和与两根的积：(1)4+2*—5=0；(2)2y+x=l.

需要解方程.吗？

尝试与交流

小明在一本课外读物中读到如下一段文字：

“一元二次方程上—杀X米=0的两根是2+百和2-百”，

你能写出这个方程中被墨迹.污染的一次项系数和常数项吗？

达标练习

课本练习P23练习1、2.

总结

1.一元二次方程根与系数的关系是什么.？

2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；

3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件,

即当且仅当4ac»0时，才能应用根与系数的关系.

1.4用一元二次方程解决问题

第一课时

教学目标

【知识与能力】

经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画

现实世界数量关系的有效模型.

【过程与方法】

会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力.

【情感态度价值观】

能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分

析和解决问题的能力.

教学重难点

【教学重点】

分析和解决问题，根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程.

【教学难点】

分析和解决问题，根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程.

教学过程

解应用题的一般步骤.

第一步：设未知数(单位名称)；

第二步：列出方程；

第三步：解这个方程，求出未知数的值；

第四步：验(1)值是否符合实际意义；

⑵值是否使所列方程左右相等.

第五步：答题完整(单位名称).

问题1：用一根长22cm的铁丝：

(1)能否围成面积是30cm2的矩形？

(2)能否围成面积是32cm2的矩形？

解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm,则矩形的宽是cm.(1)根据题

意，得

.x(ll-x)=3O,

即X2-11X+3O=O.

解这个方程，得玉=5,.々=6.

当玉=5时，ll-x=6；

当々=6时，11一%=5；

答：用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。

(2)根据题意，得双11-x)=32,

即*-llx+32=0.因为〃2-4ac=(-11)2-4x1x3251-128=-7<0,

所以此方程没有实数解.

答：用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm?的矩形.

问题2：某商店6月份的利润是.2500元，要使8月份的利润达到360。元，平均每月

增长的百分率是多少？

分析：

如果设平均每个月增长的百分率为X,那么7月份的利润是2500(l+x)元，8月

份的利润是2500(l+x)2元.

总结

①用一元二次方程解决应用题的基本步骤；

②怎样去分析问题？

第二课时

教学目标

【知识与能力】

经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现

实世界数量关系的有效模型.

【过程与方法】

会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力.

【情感态度价值观】

能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和

解决问题的能力.

教学重难点

【教学重点】

分析和解决问题，根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程.

【教学难点】

分析和解决问题，根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程.

教学过程

回顾

解应用题的一般步骤.

第一步：设未知数(单位名称)；

第二步：列出方程；

第三步：解这个方程，求出未知数•的值；

第四步：验(1)值是否符合实际意义；

(2)值是否使所列方程左右相等.

第五步：答题完整(单位名称).

问题3：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销

售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商

场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫

的单价降了多少元？

分析：设衬衫的单价降x元，则商场平均每天可多售出2”件衬衫.根据“售出的衬

衫件数X.每件衬衫的盈利=1250元”，列出方程.

问题4：某公司组织一批员工到该风景区旅游.，支付给旅行社28000元，你能确定参

加.这次旅游的人数吗？

教师适当引导学生可从未知数出发，去表示其他的量.学生上黑板板书解题过程，师

生共同评价，并规范解题格式.

练习

课本P27练习1,2.

总结

①用一元二次方程解决应用题的基本步骤；

②怎样去分析问题？

第2章对称图形--圆

2.1圆

教学目标

【知识与能力】

经历圆的有关定义的形成过程，理解圆的描述定义和集合定义.

【过程与方法】

理解点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的三.种位置关系；了解“圆是到定点距

离等于定长的点的集合”，并能应用它解决相关的问题.

【情感态度价值观】

经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关

系判断点.与圆的位置关系，逐步学会用运动的观点及数形结合的思想去解决问题.

教学重难点

【教学重点】

探索点与圆的三种位置关系.

【教学难点】

用集合的观点描述圆的定义.

教学过程

引入

出示套圈游戏的图片，让学生体会到生活中圆的必要一性.问题：只有一个小立柱，

若全班同学沿着红线站成一横排，请问游戏对所有同学公平吗？如何使得游戏对所

有人公平？

实践探索一

1.形成定义.

教师展示两件物品：一段（两端已打结）的棉线、一段皮筋（两端已打结）.学生

两人一小组进行合作，利用它们以及手中的笔，在练习纸上分别作出圆.

2.思考：如何确定一个圆？

实践探索二

1.回归游戏.

（1）请学生思考：为什么站成圆形，游戏就公平.？

（教师）设。。的半径为人点户到圆心的距离阵"，则有？

（2）甲、乙两人分别站在图中力、3两点处，他俩正准备参加游戏，后来丙、丁也

赶来参加，并分别站在了图中所示的只。两点处.

如果你是甲同学，你会有怎样的看法？

(3)再后来，小兵同学也来参加游戏，他站的位置是图中所示.的〃点.，但他发现

地上的线几乎看不清了，请问小兵同学怎样才能知道自己恰好站在圆上？

2.请你总结一下点与圆有哪些关系？如何判断？

知识应用

例1已知。。的半径为4cm,如果点尸到圆心。的距离为4.5cm,那么点尸与。0

有怎样的位置关系？如果点P到圆心。的距离为4cm、3cm呢？

2.如图，已知点4请作出到点/的距离等于2cm的点的集合.

(1)这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？

(2)请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的点的集合.

3.如图，已知点只Q,且尸0=4cm.

PQ

(1)画出下列图形：到点。的距离一等于2cm的点的集合；到点0的距离等于3cm的

点的集合；

(2)在所画图中，到点尸的，距离等于2cm,且到点0的距离等于3cm的点有几个？

请在图中将它们表示出来；

(3)在所画图中，到点尸的距离小于或等于2cm,且到点。的距离大于或等于3cm

的点的集合是怎样的图形？把它表示出来.

4..如图，己知劭、四是△49C的高，〃为8。的中点.试说.明点B、aD、后在以

点〃为圆心的同一圆上.A

总结

通过今天的学习，你能谈谈你对圆有什么新的认识吗？

第二课时

教学目标

【知识与能力】

通过画图，了解圆的弦、弧、优弧与劣弧、半径、直径及其有关概念.

【过程与方法】

了解同心圆、等圆、等弧的概念.

【情感态度价值观】

了解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它解决有关的问题.

教学重难点

【教学重点】

圆中的基本概念的认识.

【教学难点】

圆与直线形的联系与运用.

教学过程

引入

问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有5()%的同学步行上学，有20%的同学

坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%,请你.用扇形统计图反映这个学校学生

的上学方式，并说说你是如何.做的？

实践探索一

1.圆中的相一关概念.

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.线段BC、/C都是圆。中的弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径.线段加为直彳空.

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点.分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.优弧：大

于半圆的弧叫做优弧.

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

曲线BC、胡C都是圆中的弧，分别记为a'、BAC,其中像弧比'这样小于半圆周的圆

弧叫做劣弧，像弧物。这样的大于半圆周的圆.弧叫做优弧.

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

ZAOB.ZAOC,N8%就是圆心角.

（5）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.

（6）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（圆心不同）.

（7）等明：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（在大小不等的两个圆中,

不存在等弧）.

2.同圆与等圆的联系：同圆与等圆的半径相等.

实践探索二

1.如图，是。。的直径，。是。。上一点，N为。与N6%有怎样的..数量关系？

2.拓展总结：连接圆心和半径，构造等腰三角形是常用的辅助线.

知识应用

例1已知：如图，点力、6和点C、〃分别在同心圆上，且/月仍

NC与N〃相等吗？为什卷

例2(1)在图中，画出。0的两条直径；

(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明

理由.

例3如图，扇形如8的半径的=3,圆心角N403=90°,点。是弧48上异于力、B

的动点，过点。作/于点〃，作绥1必于点E,连接DE,点、G、〃在线段施上,

旦DG=GH=HE.

(1)求证：四边形0G阳是平行四边形；(2)当点。在弧上运动时，在切、CG、

加中,是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度，若不存在，请说明

理由.

总结

通过今天的学习，你能谈谈你的收获和困惑，对圆有什么新的认识吗?

2.2圆的对称性

教学目标

【知识与能力】

经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程.

【过程与方法】

理解圆的中心对称性及有关性质，会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

【情感态度价值观】

通过探索圆的中心对称性及有关性质，发展探究能力.

教学重难点

【教学重点】

利用圆的旋转不变性探索圆的有关性质.

【教学难点】

运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.

教学过程

情境创设

1.观察转动的摩天轮，你发现了什么？

2.你知道车轮为什么设计成.圆形？设计成三角形、四边形又会怎样？从中你发现了

什么？

实践探索一

1.操作与探究：

(1)在两张透明纸片上，分别作半径相等的。。和。

(2)在。0和。0'中，分别作相等的圆心角N"汉/A'O'B',连接48、A'B'.

(3)将两张纸片叠在一起，使与。0'重合.

(4)固定圆心，将其中.一个圆旋转某个角度，使得力与力'重合.你发现了什

么？请与同学交流.

2.思考与探索：

(1)在同圆或等圆中，如果.圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个

圆心角相等吗？为什么？

⑵如果圆心角所对的弦相等呢？

实践探索二

相关概念

1.一般地，n的，圆心角对着的弧，n°的弧对着的圆心角.

2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

例1如图，48、/。、a'是。。的弦，AAOC=ABOC.N4宽与/胡。相等吗？为什么？

例2如图，在△/比'中，NC=90°,ZB=28°,以。为圆心，,0为半径的圆交

48于点〃，交比'与点£求忌、宸的度数.

知识应用

1.如图1,在O0中公=④，ZAQB=50°,求NQM的度数.

图1

2.如图2,在。。中，7B=7C,/力=40°,求N48C的度数.

A

图2

拓展延伸

如图，在同圆中，若忌=2酚，则/6与2⑦的大小关系是（）.

A.AB>2CDB.AB<2CD

C.AB=2CDD.不能确定

小结与反思

通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？

第二课时

教学目标

【知识与能力】

会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理.

【过程与方法】

能利用垂径定理进行相关的计算和证明

【情感态度价值观】

在经历探索与证明垂径定理.的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，

明白圆的问题依旧要化归为直线形问题解决.

教学重难点

【教学重点】

垂径定理的证明及其简单应用.

【教学难点】

垂径定理的证明.

教学过程

情境引入

圆是什么对称图形？你是如何验证的？

实践探索一

圆的轴对称性.

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是

如何验证的？

2.如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！

实践探索二

垂径定理.

1.操作、探索.

学生拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆0,再任意画一条非直径的弦

CD,作一直径与切垂直，交点为尸（如图1）.沿着直径将圆对折（如图2）,

你有什么发现？

图1图2

2.请你用文字语言概括你对垂直于弦的直.径的研究过程中发现的结论，其中条件和

结论分别是什么？请用几何语言表示.

3.请证明你的发现.

定理巩固训练

1.下列图形中，哪些能使用垂/定理，为什么？

⑶（4）

2.如图，。。直径切与弦/6（非直径）交于点M,

加一个条件：,就可得到点"是/方的中点.

例题精讲

例1如图，已知在中，弦的长为8厘米，圆心。到四的距离为3厘米，求

。。的半径,.

例2如图，以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦48交小圆于点。、D.力。与

劭相等吗？为什么？

知识应用

1.“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题

的实质是解决下面的问题：“如图，勿为.。。的直径，弦力由LG?于点£CE=\,

48=10,求⑦的长.”根据题意可得徵的长为.

2.已知的直径50cm,弦AB//CD,且相=40cm,勿=48cm,求熊、切之间

的距离.

拓展延伸

如图，AB、切是。。的两条弦，AB//CD,介与肠相一等吗？为什么？

小结与反思

通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？

2.3确定圆的条件

教学目标

【知识与能力】

解不在一条直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内

接三角形的概念，会过不在一条直线上的三点作圆.能够利用尺规，过不在同一直线

上的三点画出一个圆

【过程与方法】

经历不在一条直线上的三点确定一个圆的探索过程

【情感态度价值观】

在探究过程中培养学生归纳探索的精神，渗透类比化归的思想.

教学重难点

【教学重点】

了解不在.一条直线上的三点确定一个圆.

【教学难点】

通过类比，经历确定圆的条件的探索过程，说明过不在同一直线上的三点有且只有

一个圆.

教学过程

情境引入

考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助考古学家画出

这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？

复习回顾

(1)过一点可作几条直线？

(2)过几点可确定一条直线？

(3)过几个点可以,确定一个圆呢？

实践探索一：确定圆的条件

1.经过已知点力作圆，可以作多少个？

(师.：请你动手画出猜想)2.经过已知点/、6作圆，可以作多少个？圆心在什么

图形上？

(师：请你动手画出的猜想，你有什么发现？)3.经过力、B、。三点，能不能作

圆？如果能，可以作多少个？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由.

（教师进行分步引导：

4、B、C三点有怎样的位置关系？

①如果过三个点，圆心与这三个点有什么关系？

②经过46的圆心有什么特征？经过8、。的圆心有什么特征？

③请你动手画画，你有什么发现？）

4.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆•.

实践探索二：相关概念

由定理可知：

经过三.角形三个顶点可以作一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接

圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

实践探索三：三角形的外接圆

1.已知△48G用直尺和圆规作三角形力6。的外接圆.

2.想一想:

（1）三角形有多少个外接圆？

（2）三角形的外心如何确定？它到三角形三个顶点的距离有何关.系？

⑶个内接三角形？

3.三角形的外接圆有什么性质？知识应用

如何解决“圆形瓷器碎片重圆”的问题？典型例题

例1如图，/、氏C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂

的距离相等，求作供.水站的位置.（不写做法，尺规作图，保留作图痕迹）

•A

C

・B

课堂训练

1.请用直尺和圆规分别作出直角三角形和钝角三角形的外接圆；观察所

画图形，你发现三角形的外心和三角形有何位置关系？

2.选择题：

三角形的外心具有的性质是（）.

A.到三顶点的距离相等

B.到三边的距离相等

C.外心必在三角形的内部

D.到顶点的距离等于它到对边中点的距离

小结

1.作直线.

过一点------可以作无数条直线.

过两个点----确定一条直线..

2.作圆.

过一个点一一可以作无数个圆.

过两个点一一可以作无数个圆.

过三个点---不在同一直线上的三个点确定一,个圆；在同一直线上的三个点不能作

圆.

3.三角形的外接圆、圆的内接三角形.

2.4圆周角

教学目标

【知识与能力】

了解圆周角的概念

【过程与方法】

让学生经历圆周角与圆心角关系的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作

交流的能力

【情感态度价值观】

能用圆周角与圆心角的关系进行简单的说理，培养学生合情,推理的意识，掌握说理

的基本方法，从而提高数学素养.

教学重难点

【教学重点】

探索圆周角与圆心角的关系.

【教学难点】

通过分类讨论，推理、验证“圆周角与圆心角的关系”.

教学过程

情境引入

足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、

乙两名运动员分别在C、。两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门4?的张

角大.如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门48的.张角大.

实践探索一：圆周角的概念

教师：在上面的角有什么特征？如果请你命名，你叫它什么？

顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

实践探索二：圆周角的性质

1.操作猜想：

画弧况'所对的圆心角，然后再画同弧8。所对的圆周角.你发现了什么？

2.验证猜想：

请同学们验证自己的猜想.

例题讲解

例1如图，。。的弦//、〃。的延长线相交于点反/月勿=150°,分为70°.求

4ABD、乙他9的度数.

例2如图，。是△/回的外接圆上的一点，/APC=/CPB=6G°.

求证：是等边三角形.

练一练

如图，点力、B、C、〃在。。上,ZBAC=35°

(1)ABDC=°,

理由是;

(2)4BOC=：,

理由是.

BC

拓展提升

如图，点/、B、。在.00上，点。在圆外，CD、8〃分别.交。。于点尺F,比较/次1C

与/劭。的大小，并说明理由.

变式：移动点〃到圆内，其它条件不变，此时N刃C与N8%的大小又,如何？并说明

理由..

总结

这节课你有哪些收获和困惑？开始的问题情境，你解决了吗？

第二课时

教学目标

【知识与能力】

进一步巩固圆周角的概念、圆周角定理，并能运用定理解决有关问题，掌握半.圆（或

直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

【过程与方法】

经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力

【情感态度价值观】

用联系的观点思考问题、转化问题.

教学重难点

【教学重点】

掌握直径和所对圆周角是直角之间的相互确定关系，灵活运用同弧所对的圆周角和圆

心角的关系解决问题.

【教学难点】

用联系的观点看问题中的条件，注重隐藏条件的发现.

教学过程

情境引入

有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心.

实践探索一

问题1如图1,勿是。。的直径，/是。。上任一点，你能确定N物。的度数吗?

问题2如图2,圆周角/历1(?=90°,弦比1经过圆心。吗？为什么？

请你对上面的结论进行归纳总•结.

例题讲解

例1如图，四是。。的直径，弦CD与相交于点E,ZACD=6Q°ZADC=5Q°,

求的度数.

例2已知：8C是。。的直径，力是。。上一点，ADLBC,垂足为〃，AE=AB,BE

交/〃于点尸.

(1)NN”与/胡〃相等吗？为什么？

(2)判断△刈6的形状，并说明理由.

拓展

1.（追问）图中是否存在与所相等的其他.线段？

2.在例2中，若点“与点力在直径%的两侧，龙交力〃的延.长线于点凡其余条

件不变（如下图），例2中的结论还成立吗？

解决情境引入问题

“有一个.圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它