第7题 导数的几何意义及应用（原卷）

第7题导数的几何意义及应用一、原题呈现【原题】若过点可以作曲线的两条切线,则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解法一：设过点的切线与曲线切于,对函数求导得,所以曲线在点处的切线方程为,即,由题意可知,点在直线上,所以,过点可以作曲线的两条切线,则方程有两个不同实根,令,则.当时,,此时函数单调递增,且,当时,,此时函数单调递减,所以,,如图所示,当直线与曲线的图象有两个交点时,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选D.【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条切点有2个关于t的方程有2个不同实根直线与有2个交点.另外由解法二可知：点在曲线下方且在x轴上方时符合条件的切线有2条；点在曲线上或在x轴上或在x轴下方时符合条件的切线有1条；点在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成,点位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下.二、考题揭秘【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数.【得分秘籍】(1)导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．(2)研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.(3)求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.【易错警示】求导出错,如一下几个函数的导数比较容易出错：；(2)混淆在某点处的切线与过某点的切线,注意求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0,y0),进而确定切线方程．(3)对曲线的切线理解失误,如误认为曲线的切线与曲线只有1个公共点,又如误认为不是曲线在处的切线方程.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021广东省肇庆市高三二模）曲线在处的切线方程为（）A． B． C． D．2．（2021湖南省部分学校高三下学期联考）函数的图象在点处的切线斜率为（）A． B． C． D．3．（2021山东省滨州市高三二模）设曲线(e=2.718…为自然对数的底数)在点处的切线及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则（）A． B． C． D．14．（2021江苏省盐城市高三5月第三次模拟）韦达是法国杰出的数学家,其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系,如：设一元三次方程的3个实数根为,,,则,,.已知函数,直线与的图象相切于点,且交的图象于另一点,则（）A． B．C． D．5．（2021湖南省永州市高三下学期二模）曲线在处的切线过原点,则的方程是（）A． B．C． D．6．（2021广东省肇庆市高三下学期5月模拟）函数的图像的切线斜率可能为（）A． B． C． D．7．（2021河北省衡水中学高三第一次联考）已知M为抛物线上一点,C在点M处的切线交C的准线于点P,过点P向C再作另一条切线,则的方程为（）A． B． C． D．8．（2021湖南省衡阳市高三下学期联考）若函数与的图象存在公切线,则实数a的最小值为（）A． B． C． D．19．（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月调研）已知曲线在,,两点处的切线分别与曲线相切于,,则的值为（）A．1 B．2 C． D．10．（2021江苏省苏州市常熟市高三抽测）已知两曲线,,相交于点,若两曲线在点处的切线互相垂直,则实数的值为（）A．2 B． C． D．11．（2021山东省高考考前热身押题）若,,,求的最小值为（）A． B． C． D．12．（2021河北省邢台市高考模拟）若曲线存在两条垂直于y轴的切线,则m的取值范围为（）A． B． C． D．13．（2021福建省龙岩市高三三模）若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则（）A． B． C． D．二、多选题14．（2021广东省深圳市高三下学期二模）设函数和,其中是自然对数的底数,则下列结论正确的为（）A．的图象与轴相切B．存在实数,使得的图象与轴相切C．若,则方程有唯一实数解D．若有两个零点,则的取值范围为15．（2021河北省邯郸市高三三模）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法,做法如下：如图,设r是的根,选取作为r的初始近似值,过点作曲线的切线,则l与x轴的交点的横坐标,称是r的一次近似值；过点作曲线的切线,则该切线与x轴的交点的横坐标为x2,称x2是r的二次近似值；重复以上过程,得r的近似值序列,其中,称是r的n+1次近似值,这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解,则（）A．若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为B．若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为C．D．16．（2021河北省唐山市高三下学期第二次模拟）若直线与曲线相交于不同两点,,曲线在A,点处切线交于点,则（）A． B．C． D．存在,使得三、填空题17．（2021山东省百所名校高三下学期4份联考）已知函数,曲线在不同的三点,,处的切线均平行于轴,则的取值范围是______．18.（2021江苏