专题09双曲线方程及其简单几何性质突破(原卷版+解析)

1/3专题09双曲线方程及其简单几何性质突破题型一双曲线的标准方程1．与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为A． B． C． D．2．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是A． B． C． D．3．双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为A． B．或 C．或 D．4．设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为．5．已知、为双曲线的左，右焦点，点在的右支上，△为等腰三角形，且，则的离心率为A． B． C． D．6．已知抛物线，若双曲线以抛物线焦点为右焦点，且一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程为A． B． C． D．7．根据下列已知条件求曲线方程．（Ⅰ）求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；（Ⅱ）求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程．题型二双曲线的性质8．我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同A．离心率 B．渐近线 C．焦点 D．顶点9．对于双曲线和，给出下列四个结论：（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）10．已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于、两点，若，则等于．11．已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．12．直线是双曲线等的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为A．4 B．8 C． D．13．双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为A． B．2 C． D．314．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点、分别为渐近线和双曲线左支上的动点，则取得最小值为．15．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为A． B．9 C． D．416．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是A．与共轭的双曲线是 B．互为共轭的双曲线渐近线不相同 C．互为共轭的双曲线的离心率为，，则 D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上题型三轨迹问题17．平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹方程是A． B． C． D．18．若动点满足，则点的轨迹方程为．19．已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为．20．设是以，为焦点的双曲线上的动点，则△的重心的轨迹方程是A． B． C． D．21．（1）已知双曲线中心在原点，该双曲线过点，且渐近线方程为，求该双曲线的方程．（2）已知圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．22．（1）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点，的双曲线的方程．（2）已知，，若的周长为10，求顶点的轨迹方程．23．双曲线，、为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆．（1）求的轨迹方程；（2）动点在上运动，满足，求的轨迹方程．题型四双曲线的离心率24．已知，为双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为A． B． C．2 D．325．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为A． B．3 C． D．26．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作以为圆心、为半径的圆的切线切点为．延长交的左支于点，若为线段的中点，且，则的离心率为A． B． C． D．27．已知双曲线与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．328．双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．229．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．430．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率的取值范围是A． B． C． D．31．、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．2/17专题09双曲线方程及其简单几何性质突破题型一双曲线的标准方程1．与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为A． B． C． D．【解答】解：设椭圆的半焦距为．由椭圆与双曲线有公共焦点，得椭圆的焦点坐标为，，，再由，可得，，则椭圆的标准方程为，故选：．2．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是A． B． C． D．【解答】解：由，得，，，得，即椭圆的半焦距为．设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，所求双曲线的焦点在轴上，则，双曲线方程化为：，设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，，，解得：．所求双曲线的方程为．故选：．3．双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为A． B．或 C．或 D．【解答】解：椭圆中，，焦距，双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，设双曲线方程为，化为标准方程，得：，当时，，解得，双曲线方程为；当时，，解得，双曲线方程为．双曲线方程为或．故选：．4．设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为．【解答】解：双曲线经过点，且与具有相同渐近线，设双曲线的方程为，，把点代入，得：，解得，双曲线的方程为：．故答案为：．5．已知、为双曲线的左，右焦点，点在的右支上，△为等腰三角形，且，则的离心率为A． B． C． D．【解答】解：因为△为等腰三角形，且，所以，所以，过点作，垂足为，所以，由双曲线的定义可得，所以，所以，故选：．6．已知抛物线，若双曲线以抛物线焦点为右焦点，且一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程为A． B． C． D．【解答】解：抛物线的焦点为，因为双曲线以抛物线焦点为右焦点，所以①，②，双曲线的渐近线为，所以③，由①②③，解得，，所以双曲线的方程为．故选：．7．根据下列已知条件求曲线方程．（Ⅰ）求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；（Ⅱ）求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：点，在双曲线上，所求双曲线方程为：，即．（Ⅱ）若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，故所求方程为．若焦点在轴上，设方程为代入点，得，．题型二双曲线的性质8．我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同A．离心率 B．渐近线 C．焦点 D．顶点【解答】解：共轭双曲线和的，设，，可得它们的焦点为，，渐近线方程均为，离心率分别为和，它们的顶点分别为，，故选：．9．对于双曲线和，给出下列四个结论：（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）【解答】解：由题意，双曲线，，（1）离心率分别为，；（2）渐近线相同，为；（3）没有公共点；（4）焦距相等，为10，故选：．10．已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于、两点，若，则等于．【解答】解：如图，由双曲线定义可得：，，，又已知，，得．故答案为：．11．已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【解答】解：设，由双曲线定义得：，，所以，作，△中，，可得，△中，勾股定理得：①，△中，勾股定理得：，可得②，由①②可得，整理可得，即可得．所以渐近线的斜率为，故渐近线方程为．故选：．12．直线是双曲线等的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为A．4 B．8 C． D．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为，又直线是双曲线的一条渐近线，所以，①因为双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，所以点到渐近线的距离为，所以，②由①②得，，所以双曲线的虚轴长，故选：．13．双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为A． B．2 C． D．3【解答】解：双曲线的右焦点为，直线过定点，所以双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为线段的长，即最大值为，故选：．14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点、分别为渐近线和双曲线左支上的动点，则取得最小值为．【解答】解：依题意，，，不妨取其中一条渐近线为，由双曲线的定义知，，，则，当、、三点共线时且垂直于渐近线时，取得最小值．此时，到渐近线的距离为，最小值为：．故答案为：．15．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为A． B．9 C． D．4【解答】解：如图，设的右焦点为，由题意可得，，因为，所以，．的周长为，即当，，三点共线时，的周长最小，此时直线的方程为，联立方程组，解得或，即此时的纵坐标为，故的面积为．故选：．16．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是A．与共轭的双曲线是 B．互为共轭的双曲线渐近线不相同 C．互为共轭的双曲线的离心率为，，则 D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【解答】解：对：根据所给定义可得与共轭的双曲线是，故错误；对：由双曲线方程与，可得其渐近线方程均为，故错误；对：由双曲线方程程与，可得，，则，即，因为，均大于1，所以，则，当且仅当时取“”，故正确；对的焦点坐标为，，的焦点坐标为，这四个焦点在以原点为圆心，以为半径的圆上，故正确．故选：．题型三轨迹问题17．平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹方程是A． B． C． D．【解答】解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，得，，，，故动点的轨迹方程是．故选：．18．若动点满足，则点的轨迹方程为．【解答】解：设，由于动点的轨迹方程为，则，故点到定点与到定点的距离差为6，则动点的轨迹是以为焦距，以6为实轴长的双曲线的右支，由于，，则，故的轨迹的标准方程为：．故答案为：．19．已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为．【解答】解：由圆，可得圆心，半径；由圆可得圆心，半径．设动圆的半径为，由题意可得，．．由双曲线的定义可得：动圆的圆心在以定点，为焦点的双曲线的右支上．，．．动圆圆心的轨迹方程为．故答案为．20．设是以，为焦点的双曲线上的动点，则△的重心的轨迹方程是A． B． C． D．【解答】解：是△的重心，，设，，则，代入双曲线方程可得：．故选：．21．（1）已知双曲线中心在原点，该双曲线过点，且渐近线方程为，求该双曲线的方程．（2）已知圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：（1）由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，可得，即．该双曲线的方程为；（2）圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为10．设动圆圆心为，半径为，则，，于是，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为12的椭圆．，，．的轨迹方程为：．22．（1）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点，的双曲线的方程．（2）已知，，若的周长为10，求顶点的轨迹方程．【解答】解：（1）根据题意，要求双曲线与双曲线有共同的渐近线，则设要求双曲线的方程为，又由要求双曲线经过点，，则有，解可得，则要求双曲线的方程为，（2）根据题意，已知，，若的周长为10，则，分析可得：顶点的轨迹为以、为焦点的椭圆，其中，，（排除长轴的端点）则，则顶点的轨迹方程为，．23．双曲线，、为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆．（1）求的轨迹方程；（2）动点在上运动，满足，求的轨迹方程．【解答】解：（1）由已知得，，故，所以、，因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，所以的轨迹方程为；（2）设动点，，，则，，由，得，，，即，解得，因为点在上，所以，代入得，化简得．题型四双曲线的离心率24．已知，为双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为A． B． C．2 D．3【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，，在中，运用余弦定理，可得，，，，．故选：．25．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为A． B．3 C． D．【解答】解：如图，不妨取渐近线为，焦点到渐近线的距离为，则，，则．故选：．26．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作以为圆心、为半径的圆的切线切点为．延长交的左支于点，若为线段的中点，且，则的离心率为A． B． C． D．【解答】解：由题意，得，，，，所以，解得，故选：．27．已知双曲线与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．3【解答】解：设，，，，、在双曲线上，①，②，①②得：，即，点，