第09讲概率与统计(原卷版+解析)

第09讲概率与统计一、单选题1．（2021·全国高三月考（文））哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题之一，自年提出至今，已经困扰数学界长达三个世纪之久哥德巴赫猜想是“任一大于的偶数都可写成两个质数的和”，如．根据哥德巴赫猜想，拆分的所有质数记为集合，从中随机选取两个不同的数，其差大于的概率为（）A． B． C． D．2．（2021·全国）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A． B． C． D．3．（2021·全国高三课时练习）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（）A． B． C． D．4．（2019·石首市第一中学高三月考（理））中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A． B． C． D．5．（2021·广东）围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境､陶冶情操､修身养性､生慧增智，而且还与天象易理､兵法策略､治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲､乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以获得冠军的概率为（）A． B． C． D．6．（2021·永州市第四中学高三月考）考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，…，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数x，则是剩下的3个数字构成的一个三位数的概率为（）A． B． C． D．7．（2021·吉林长春十一高高二期中（理））某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，可近似计算，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（）A． B． C． D．8．（2021·全国高二专题练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余.记为.若，，则b的值可以是A．2019 B．2020 C．2021 D．2022二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）（多选）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（），那么下面关于菜布尼茨三角形的结论正确的是（）第0行第1行第2行第3行…………第行……A．当是偶数时，中间的一项取得最大值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B．C．（，）D．（，）10．（2021·全国高二课时练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”、“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天日落情况和后半夜天气，得到如下列联表，日落云里走后半夜天气总计下雨未下雨出现25530未出现254570总计5050100并计算得到，下列小波对该地区天气的判断正确的是（）A．后半夜下雨的概率约为B．未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为““日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D．根据的独立性检验，若出现“日落云里走”，则后半夜有99.9%的可能会下雨11．（2021·江苏苏州·高二月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）第一行11第二行121第三行1331第四行14641第五行15101051第六行1615201561A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第行所有数之和为”猜想：D．由“”猜想：12．（2021·山东烟台·高一期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（）A． B． C． D．三、填空题13．（2021·山东菏泽·高二期末）费马大定理又称为“费马最后定理”，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他断言当时，关于，，的方程没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个问题很感兴趣，决定从1，2，3，4，5，6这6个自然数中随机选一个数字作为方程中的指数，方程存在正整数解的概率为______．14．（2021·湖南长郡中学高三）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为___________15．（2021·广东红岭中学）重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布，现任取10个奉节脐橙，设其果实横径在的个数为，则______．附：若，则；．16．（2021·江苏）艾萨克·牛顿(1642—1727)被称为有史以来最有影响力的思想家之一，在数学方面，牛顿“明显地推进了当时数学的每一个分支”.牛顿在给莱布尼茨的信中描述了他的一个发现——广义二项式展开，即，其中广义二项式系数，，，.根据以上信息，若对任意都有，则___________.四、解答题17．（2021·贵州高三月考（理））数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每-列､每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1~9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度（秒/题）与训练天数（天）有关，经统计得到如下数据：（天）1234567（秒/题）910800600440300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（，用分数表示）.（2）小明和小红在数独上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛局后结束，求随机变量的分布列及期望.参考数据（其中）：17500.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为18．（2021·静宁县第一中学（理））南锣鼓巷这条胡同位于北京中轴线东侧的交道口地区，至今已有700多年的历史．该胡同是北京最古老的街区之一，因其地势中间高、南北低，如一驼背人，故名罗锅巷．到了清朝，乾隆十五年（1750年）绘制的《京城全图》中将该胡同改称为南锣鼓巷．为了给游客更好的体验，南锣鼓巷商会会长、副会长和负责人经常带人到胡同清扫卫生，其中南锣鼓巷商会会长每天带人到胡同清扫卫生的概率为，副会长每天带人到胡同清扫卫生的概率为，负责人每天带人到胡同清扫卫生的概率为．（1）求南锣鼓巷负责人连续五天带人到胡同清扫卫生的概率；（2）设商会会长、副会长、负责人三人中某天到胡同清扫卫生的人数为，求的分布列；（3）居住在南锣鼓巷的小张对南锣鼓巷商会会长、副会长、负责人非常满意，他对别人说：“南锣鼓巷平均每天至少有1人（会长、副会长、负责人之一）带人清扫卫生．”请问，小张说的是真的吗？19．（2020·山西运城·高三月考（理））年月日是我国建国周年纪念日，党中央、中央军委决定在首都举行庆祝建国周年的阅兵仪式，向国际社会展示我国近几十年取得的伟大成就，这是一件让全国人民高兴的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注新闻时间在小时以上的人称为“新闻迷”，否则称为“非新闻迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：非新闻迷新闻迷合计岁及以下岁及以上合计（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“非新闻迷”还是“新闻迷”与年龄有关？（2）①现从抽取的岁及以下的人中，按“非新闻迷”与“新闻迷”这两种类型进行分层抽样抽取人，然后，再从这人中随机选出人，求其中至少有人是“新闻迷”的概率；②将频率视为概率，从所有参与调查的人中随机抽取人参加周年国庆座谈会，记其中“新闻迷”的人数为，求的数学期望和方差．参考公式：，其中．参考数据：20．（2021·肥城市教学研究中心高三）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附：.21．（2021·山东高二期中）年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“”的新高考模式．“”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有人选考物理，考后物理成绩(满分分)服从正态分布．（1）分别估计成绩在和分以上者的人数；（运算过程中精确到，最后结果保留为整数）附1：，，．（2）本次考试物理成绩服从正态分布．令，则，若本次考试物理成绩的前划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？附2：若，则．22．（2021·广东中山·高二期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下.（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.①求的分布列：②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？第09讲概率与统计一、单选题1．（2021·全国高三月考（文））哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题之一，自年提出至今，已经困扰数学界长达三个世纪之久哥德巴赫猜想是“任一大于的偶数都可写成两个质数的和”，如．根据哥德巴赫猜想，拆分的所有质数记为集合，从中随机选取两个不同的数，其差大于的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由题意求出集合，然后结合题意利用古典概型的概率公式求解即可【详解】由题可知，所以，所以从中任取两个不同的数的基本事件共有种，满足差大于的基本事件为，，，，共4种，所以，故选：B．2．（2021·全国）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分四种情况讨论：①个位拨动三枚；②十位拨动一枚，个位拨动两枚；③十位拨动两枚，个位拨动一枚；④十位拨动三枚.分别列举出每种情况下对应的数字，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：①个位拨动三枚，有种结果：、；②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；④十位拨动三枚，有种结果：、．综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．故选：C.3．（2021·全国高三课时练习）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】按先分组后分配的方法计算出不同的分配方法种数.【详解】依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为，再分配给3个人，方法种数为.故选：A.4．（2019·石首市第一中学高三月考（理））中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正方形边长为2，根据图形求出小圆的半径，可得黑色部分刚好组成一个小圆，根据面积之比即可求出.【详解】如图所示，设正方形的边长为2，设小圆的半径为，由题可得，，，，解得，由图可知黑色部分刚好组成一个小圆，所以黑色部分的面积为，正方形的面积为4，则该点取自黑色部分的概率为.故选：A.5．（2021·广东）围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境､陶冶情操､修身养性､生慧增智，而且还与天象易理､兵法策略､治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲､乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以获得冠军的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲在比赛中以3:1获得冠军，即前三局中甲胜两局，且第四局甲胜，进而由独立事件的概率公式可求得结果.【详解】甲在比赛中以3:1获得冠军，即前三局中甲胜两局，且第四局甲胜.所以，甲在比赛中以3:1获得冠军的概率.故选：B.6．（2021·永州市第四中学高三月考）考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，…，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数x，则是剩下的3个数字构成的一个三位数的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数x的总个数，再求出满足“是剩下的3个数字构成的一个三位数”的x的个数，进而用古典型概率公式可求得结果.【详解】从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数x，共有个这样的数．注意到1，4，2，8，5，7这6个数字中，，将它们分成三组：．易知满足“是剩下的3个数字构成的一个三位数”的x为每组中取1个数的不同排列，其个数为．故所求概率为．故选：C.7．（2021·吉林长春十一高高二期中（理））某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，可近似计算，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据公式算出当时，，当时，，得频移范围为至，而可测频移范围为（）至（），结合几何概型公式计算即可.【详解】当时，，当时，，该高铁以运行速度（至）经过时频移范围为至，其区间长度为，因为某次检验中可测频移范围为（）至（）其区间长度为，所以可测量的概率为.故选：A.8．（2021·全国高二专题练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余.记为.若，，则b的值可以是A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】A【分析】先利用二项式定理将表示为，再利用二项式定理展开，得出除以的余数，结合题中同余类的定义可选出合适的答案．【详解】，则，所以，除以的余数为，以上四个选项中，除以的余数为，故选A.【点睛】本题考查二项式定理，考查数的整除问题，解这类问题的关键就是将指数幂的底数表示为与除数的倍数相关的底数，结合二项定理展开式可求出整除后的余数，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）（多选）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（），那么下面关于菜布尼茨三角形的结论正确的是（）第0行第1行第2行第3行…………第行……A．当是偶数时，中间的一项取得最大值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B．C．（，）D．（，）【答案】BC【分析】对于A，由题图知当时，中间的一项为，但，当时，中间的两项相等，均为，但，由此可判断；对于B，由组合数的运算公式代入计算可判断；对于C，由（，），根据组合数的性质可判断；对于D，因为莱布尼茨三角形的性质得，由此可判断．【详解】对于A，由题图知当时，中间的一项为，但，当时，中间的两项相等，均为，但，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，（，），根据组合数的性质，得该等式显然成立，故C正确；对于D，因为莱布尼茨三角形从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即（，），故D错误．故选：BC．10．（2021·全国高二课时练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”、“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天日落情况和后半夜天气，得到如下列联表，日落云里走后半夜天气总计下雨未下雨出现25530未出现254570总计5050100并计算得到，下列小波对该地区天气的判断正确的是（）A．后半夜下雨的概率约为B．未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为““日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D．根据的独立性检验，若出现“日落云里走”，则后半夜有99.9%的可能会下雨【答案】AC【分析】视频率为概率，利用数表计算后半夜下雨及未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的频率即可判断A，B，由给定的观测值与临界值比对即可判断C，D作答.【详解】由题意，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为，A判断正确；未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为，B判断情误；由，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“日落云里走”是否出现与“当晚后半夜是否下雨”有关，C判断正确；“日落云里走’是否出现”与“当晚后半夜是否下雨”有关，有关只是说可能性，不代表一定要下雨，D判断错误．故选：AC11．（2021·江苏苏州·高二月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）第一行11第二行121第三行1331第四行14641第五行15101051第六行1615201561A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第行所有数之和为”猜想：D．由“”猜想：【答案】ABC【分析】结合杨辉三角、合情推理以及二项式有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：，A正确.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：，B正确.由“第行所有数之和为”猜想：，C正确.，所以D错误.故选：ABC12．（2021·山东烟台·高一期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，由此可得四位数的个数，能被3整除，只能是2个1和2个5，求出四位数的个数后可得概率，而被5整除，只要个位数字是5即可．由此计数后可计算出概率，判断各选项．【详解】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是，所以，能被5带除的四位数个数为，，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是，概率为，．故选：ACD．三、填空题13．（2021·山东菏泽·高二期末）费马大定理又称为“费马最后定理”，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他断言当时，关于，，的方程没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个问题很感兴趣，决定从1，2，3，4，5，6这6个自然数中随机选一个数字作为方程中的指数，方程存在正整数解的概率为______．【答案】【分析】根据费马大定理计算．【详解】从1，2，3，4，5，6这6个自然数中随机选一个数字共有6种选法，其中只有或2使得方程有整数解，故概率为．故答案为：．14．（2021·湖南长郡中学高三）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为___________【答案】【分析】先分析所有表示的数的种数，然后考虑所表示的数不大于的种数：①下珠在个、十位档上、②下珠在百位档上，根据种数相除即可求解出数字不大于的概率，则所表示的数字大于的概率可求.【详解】由题意，在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有种，①当在个､十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个､十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有种；②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个､十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有种；所以所拨数字大于300的概率为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解每个位档上一个算珠所表示的数字大小以及“正难则反”思想的运用，利用排列组合的思想先分析数字小于的种数，最后结合古典概型的概率计算方法完成求解.15．（2021·广东红岭中学）重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布，现任取10个奉节脐橙，设其果实横径在的个数为，则______．附：若，则；．【答案】【分析】首先利用正态分布得到，再利用二项分布求即可.【详解】由题知：，，所以，，所以.因为服从二项分布，，所以.故答案为：16．（2021·江苏）艾萨克·牛顿(1642—1727)被称为有史以来最有影响力的思想家之一，在数学方面，牛顿“明显地推进了当时数学的每一个分支”.牛顿在给莱布尼茨的信中描述了他的一个发现——广义二项式展开，即，其中广义二项式系数，，，.根据以上信息，若对任意都有，则___________.【答案】【分析】方法一：利用广义二项式展开可得展开，同时确定的展开，两式相除后，整理可得结果，由结果中的系数可得；方法二：利用，对比两侧的系数，依次可判断出对应的值.【详解】方法一：方法二：，显然，比较两边的系数；比较两边的系数；比较两边的系数.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理中的新定义运算的问题，解题关键是能够充分理解广义二项式展开的定义，将其变为熟知的二项式运算问题.四、解答题17．（2021·贵州高三月考（理））数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每-列､每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1~9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度（秒/题）与训练天数（天）有关，经统计得到如下数据：（天）1234567（秒/题）910800600440300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（，用分数表示）.（2）小明和小红在数独上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛局后结束，求随机变量的分布列及期望.参考数据（其中）：17500.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望.【分析】（1）由题意可得，由有表中数据计算，根据公式计算和的值即可求解.（2）随机变量X的可能取值为3，4，5，求出相应的概率即可得分布列和数学期望.【详解】（1）因为，，所以.因为，所以，所以，所以，所以所求回归方程为；（2）随机变量X的可能取值为3，4，5，，，.所以随机变量X的分布列为.18．（2021·静宁县第一中学（理））南锣鼓巷这条胡同位于北京中轴线东侧的交道口地区，至今已有700多年的历史．该胡同是北京最古老的街区之一，因其地势中间高、南北低，如一驼背人，故名罗锅巷．到了清朝，乾隆十五年（1750年）绘制的《京城全图》中将该胡同改称为南锣鼓巷．为了给游客更好的体验，南锣鼓巷商会会长、副会长和负责人经常带人到胡同清扫卫生，其中南锣鼓巷商会会长每天带人到胡同清扫卫生的概率为，副会长每天带人到胡同清扫卫生的概率为，负责人每天带人到胡同清扫卫生的概率为．（1）求南锣鼓巷负责人连续五天带人到胡同清扫卫生的概率；（2）设商会会长、副会长、负责人三人中某天到胡同清扫卫生的人数为，求的分布列；（3）居住在南锣鼓巷的小张对南锣鼓巷商会会长、副会长、负责人非常满意，他对别人说：“南锣鼓巷平均每天至少有1人（会长、副会长、负责人之一）带人清扫卫生．”请问，小张说的是真的吗？【答案】（1）；（2）分布列详见解析；（3）小张说的是真的.【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列.（3）计算出，由此作出判断.【详解】（1）负责人连续五天带人到胡同清扫卫生的概率为.（2）的所有可能取值为，，，，，所以的分布列为（3）由（2）得，所以小张说的是真的.19．（2020·山西运城·高三月考（理））年月日是我国建国周年纪念日，党中央、中央军委决定在首都举行庆祝建国周年的阅兵仪式，向国际社会展示我国近几十年取得的伟大成就，这是一件让全国人民高兴的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注新闻时间在小时以上的人称为“新闻迷”，否则称为“非新闻迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：非新闻迷新闻迷合计岁及以下岁及以上合计（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“非新闻迷”还是“新闻迷”与年龄有关？（2）①现从抽取的岁及以下的人中，按“非新闻迷”与“新闻迷”这两种类型进行分层抽样抽取人，然后，再从这人中随机选出人，求其中至少有人是“新闻迷”的概率；②将频率视为概率，从所有参与调查的人中随机抽取人参加周年国庆座谈会，记其中“新闻迷”的人数为，求的数学期望和方差．参考公式：，其中．参考数据：【答案】（1）能在犯错误的概率不超过的前提下认为“非新闻迷”还是“新闻迷”与年龄有关；（2）①，②.【分析】（1）计算，从而由独立性检验得方法即可得到答案；（2）①先求出“非新闻迷”与“新闻迷”抽取的人数，然后利用几何概型求解即可；②由已知可得人群中任意抽取人，恰好抽到“新闻迷”的概率为，“新闻迷”人数服从二项分布，再由二项分布的性质求解即可【详解】．，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“非新闻迷”还是“新闻迷”与年龄有关．（2）①依题意，抽取的名岁及以下的人中，是“非新闻迷”的有（人），是“新闻迷”的有（人）．则选出的人中至少有人是“新闻迷”的概率为．②由列联表知是“新闻迷”的频率为，将频率视为概率，即从人群中任意抽取人，恰好抽到“新闻迷”的概率为．“新闻迷”人数由题意得“新闻迷”人数服从二项分布，且，，．20．（2021·肥城市教学研究中心高三）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附：.【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【分析】（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.【详解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为.②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，