2025届云南省腾冲市第八中学高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届云南省腾冲市第八中学高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若圆的半径为，则实数（）A. B.-1C.1 D.2．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．在等差数列中，，则（）A.6 B.3C.2 D.14．如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（）A. B.C. D.5．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（）A. B.C. D.6．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，7．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺8．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.9．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是A.B.平面平面C.的最大值为D.的最小值为10．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4 B.5C.6 D.711．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）A. B.C. D.12．在空间直角坐标系中，若，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________.14．若椭圆：的长轴长为4，焦距为2，则椭圆的标准方程为______.15．圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.16．已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.18．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.19．（12分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样的方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.20．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）已知平面内两点.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求线段的垂直平分线方程.22．（10分）已知抛物线C的方程是.（1）求C的焦点坐标和准线方程；（2）直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，与抛物线C的交点为A，B，求的长度.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.【详解】由题意，圆的方程可化为，所以半径为，解得.故选：B.【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2、D【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.【详解】由题意，，所以在第四象限.故选：D.3、B【解析】根据等差数列下标性质进行求解即可.【详解】因为是等差数列，所以，故选：B4、B【解析】由题可得，然后结合条件可得，即求.【详解】设于点，准线交轴于点G，则，又，∴，又于点且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故选：B.5、C【解析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长.【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，因为，，则，又因为，，，故二面角的平面角为，因为四边形为平行四边形，则，，因为，故为等边三角形，则，，则，，，故平面，因为平面，则，故.故选：C.6、B【解析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析【详解】对于A：，因此A不满足题意；对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；对于C：，故C不满足题意；对于D：显然有，选项D不满足题意.故选：B7、C【解析】设等差数列，用基本量代换列方程组，即可求解.【详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列，公差为d，则有，即，解得：，即冬至的日影长为16.1尺.故选：C8、B【解析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答.【详解】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，所以.所以.故选：B.9、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正确；∵平面即为平面，平面即为平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正确；当时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正确，故选C考点：立体几何中的动态问题【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：

求空间角、距离，归到三角形中求解；2．对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离10、A【解析】根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选：A.11、B【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.【详解】解：由题得,,故选：B12、B【解析】直接利用空间向量的坐标运算求解.【详解】解：因为，，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，可知点H为中点，由平面，可得，又所以平面，则即为所求角，因为，，所以，故答案为：.14、【解析】由焦距可得c，长轴长得到a，再根据可得答案.【详解】因为椭圆的长轴长为4，则，焦距为2，由，得，则椭圆的标准方程为：.故答案为：.15、【解析】根据圆锥曲线焦点在轴上且离心率小于1，确定a,b求解即可.【详解】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，所以曲线为椭圆，且，所以，解得，故答案为：16、－【解析】由双曲线的方程可得，的坐标，设的坐标，代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的方程，令，分别求出，的纵坐标，求出的表达式，整理可得为定值【详解】由双曲线的方程可得，，设，则，可得，直线的方程为：，令，则，可得，直线的方程为，令，可得，即，∴，，，故答案为：－另解：双曲线方程化为，只是将的替换为－，故答案也是只需将中的替换为－即可.故答案为：－.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得数列的通项公式.（2）令，分和去掉绝对值，根据等差数列的求和公式求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，∵，，所以，所以，则.【小问2详解】令，解得，当时，，，当时，.18、（1）0.006；（2）；（3）.【解析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.【详解】（1）因为，所以（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为；受访职工评分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即为.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，故所求的概率为【点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.19、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，从86分以上(不含86分)的同学中随机抽出两名，用列举法写出基本事件总数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】根据茎叶图可知1班中位数为86，则，又∵，且故【小问2详解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人设甲班86分以上2人为，，乙班86分以上2人为，，从中任取两名同学共有，，，，,共有6组基本事件，且每组出现都是等可能的记：“从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，两人都来自甲班”为事件M，事件M包括：共1个基本事件，由古典概型的计算概率的公式知∴所以两人都来自甲班的概率为20、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21、（1）（2）【解析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出线段的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程.试题解析：（1）∵点∴∴由点斜式得直线的方程（2）∵点∴