2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第22章 相似形22.2相似三角形的判定（第5课时）

第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时直角三角形相似的判定教学目标1.掌握判定两个直角三角形相似的方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.2.培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个直角三角形相似的判定方法与直角三角形全等的判定方法(HL)的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.3.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力.教学重难点重点：掌握直角三角形相似的判定方法.难点：能熟练地运用直角三角形相似的判定定理.教学过程导入新课【回顾与思考】如图，观察两副三角尺，其中三个角角度相同的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的.一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形，类比判定直角三角形全等的HL定理，我们能不能通过两边来判定两个直角三角形相似呢？探究新知【活动】画一画：在图中边长为1的方格上任画一个直角三角形，再画出第二个直角三角形，使它的一直角边和斜边长都是原三角形的对应边长的两倍.画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角大小，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？【互动】（小组讨论作图，教师引导，总结结论）发现：这两个三角形相似.【活动】探究：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°∠C′＝90°.，求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.结论：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.几何语言：在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°.如果＝k，那么Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.【尝试】（学生自己解决）例1如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.求证：Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.证明：在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴.又∵＝，∴＝.又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，∴Rt△ABC∽△RtB′C′A′.【互动】（师生互动，老师引导方法）例2如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是（）ＡＢＣＤ解析：设网格图中小正方形的边长是1，则AB＝，BC＝，AC＝，∴AB∶AC∶BC＝1∶2∶.∵AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且AB∶AC＝1∶2.∵选项A、D不是直角三角形，∴排除A、D选项.∵B选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项B正确.答案：B【总结】以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图中的三角形的三边长，再求解三边之比，这是解题的关键.【探究】（小组讨论，老师引导）例3如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，CB＝a，AC＝b.求当BD与a，b之间满足怎样的关系时，以点A，B，C为顶点的三角形与以C，D，B为顶点的三角形相似？解：∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴当时，△ABC∽△CDB，即.当时，△ABC∽△BDC，即，CD＝，∴BD2＝a2-，BD＝.【探究】（尝试解决，并思考能得到什么结论）例4如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.【总结】由此得到一个判定两直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.课堂练习1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C＝∠C′＝90°.依据下列各组条件判断这两个三角形是不是相似，并说明理由.（1）∠A＝25°，∠B′＝65°；（2）AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8.2.如图，已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠B′A′C′＝∠B′A′C′＝90°，AD，A′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD∶C′D′＝AC∶A′C′.请证明：△ABC∽△A′B′C′.参考答案1.解：（1）∵∠A＝25°，∠C＝90°，∴∠B＝65°，∴∠B＝∠B′＝65°.∵∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.（2）∵AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8，∴，，∴，且∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.2.证明：∵∠ADC＝∠A′D′C′＝90°，，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠C＝∠C′.又∵∠BAC＝∠B′A′C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′.课堂小结相似三角形的判定方法：通过定义，平行于三角形一边的直线，两角分别相等，两边对应成比例且夹角相等，三边成比例，两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例.布置作业教材第84页练习T1，2，第86页习题T10.板书设计如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边