第09讲比和比例（3大考点）

第09讲比和比例（3大考点）考点考点考向一、比的意义1.比和比值a、b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除，叫做a与b的比．记作a:b，或写成，其中；读作a比b，或a与b的比．a叫做比的前项，b叫做比的后项．前项a除以后项b所得的商叫做比值．2.比、分数和除法的关系比：前项：后项=比值；分数：=分数值；除法：被除数÷除数=商．比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；比值相当于分数的分数值和除式的商．3.比、分数和除法的区别 比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算．二、比的基本性质1.比的基本性质比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变．2.最简整数比比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比．注：题目中比的结果都必须化成最简整数比．3.三连比的性质1、如果，，那么；2、如果，那么．三、比例及其性质1.比例a、b、c、d四个量中，如果a:b=c:d，那么就说a、b、c、d成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例．比例a:b=c:d也可以表示为．其中a、b、c、d分别叫做第一、二、三、四比例项．2.比例外项和比例内项如果a:b=c:d，那么第一比例项a和第四比例项d叫做比例外项，第二比例项b和第三比例项c叫做比例内项．3.比例中项对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即a:b=b:c，那么把b叫做a和c的比例中项．4.比例的基本性质如果或，那么．反之，如果a、b、c、d都不为零，且，那么或．两个外项的积等于两个内项的积．考点考点精讲考点一：比的意义一、单选题1．（2022·上海普陀·期末）在一幅地图上，如果用9厘米表示甲地到乙地1080米的实际距离，那么这幅地图的比例尺是（

）A．1：120 B．1：1200 C．1：12000 D．1：120000【答案】C【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，代入数值即可．【详解】解：1080米=108000厘米，9:108000=1:12000，故这幅地图的比例尺是1:12000故选：C．【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，能够注意图上距离与实际距离的单位要统一是解决问题的关键．2．（2021·上海市复旦初级中学期中）磁悬浮列车是一种可及含量很高的新型交通工具，它有速度快，爬坡能力强，能耗低等优点，它的每个座位的平均能耗仅是飞机每个座位平均能耗的，是汽车每个座位平均能耗的，那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位能耗的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知：设磁悬浮列车每个座位的平均能耗为x，则飞机每个座位平均能耗为3x，汽车每个座位平均能耗为，然后即可求出汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的多少．【详解】解：设磁悬浮列车每个座位的平均能耗为x，则飞机每个座位平均能耗为3x，汽车每个座位平均能耗为，∴汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的为÷3x=．故选：C．【点睛】本题主要考查单项式的除法，理解题目的意思，找准它们之间的关系是解决本题的关键．二、填空题3．（2022·上海浦东新·期末）求比值：1小时20分钟∶40分钟=______．【答案】2:1【分析】先把1小时20分钟化为80分钟，再用比的前项除以后项即可．【详解】解：1小时20分钟∶40分钟=80分钟∶40分钟=2∶1故答案为：2∶1【点睛】此题主要考查了求比值的方法，另外还要注意求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数．4．（2022·上海徐汇·期末）求比值：36分钟：1.2小时=__________．【答案】【详解】解：36分钟：1.2小时分钟：72分钟．故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的除法，解题的关键是熟练掌握比例的性质．5．（2021·上海普陀·期末）求比值：800毫升：2升＝__________．【答案】##0.4【分析】先统一单位，再根据除法的意义以及分数的基本性质解答即可．【详解】解：800毫升：2升=800毫升：2000毫升=2：5=．故答案为：．【点睛】本题考查求比值的方法，求比值的结果是一个数；还要注意：要把单位化统一后再求比值．6．（2021·上海市淞谊中学阶段练习）的比值是_____________．【答案】【分析】用比的前项除以后项，所得的商即为比值．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了比值的求法，用比的前项除以后项，所得的商即为比值．7．（2021·上海市第二初级中学阶段练习）已知，x＝0.4y，则x：y＝___．【答案】【分析】根据比的定义两个数相除，把小数化为分数再变为比式即可．【详解】解：x：y＝0.4y:y=0.4:1=．故答案为：．【点睛】本题考查比的理解，掌握比的定义就是两个数相除是解题关键．8．（2021·上海·九年级专题练习）0.15小时：15分钟的比值为___________；【答案】【分析】先把比的前项0.15小时化成9分钟，再根据求比值的方法，用比的前项除以后项，所得的商即为比值．【详解】解：0.15小时：15分钟=9分钟：15分钟=；故答案为：.【点睛】本题考查了求比值的方法，要注意：求比值的结果是一个数；还要注意：如果比的前后项是名数时，要把单位化统一后再求比值．考点二：比的基本性质一、单选题1．（2021·上海市彭浦初级中学期末）下列各组中的两个比，不能组成比例的是（

）A．10：12和0.5：0.6 B．20：10和60：20C．和12：8 D．6：2和【答案】B【详解】解：A.10：12=5:6，0.5：0.6=5:6，所以不能能组成连比；B.20：10=2:1=6:3，60：20=3:1，所以能能组成连比6:3:1；C.=3:2，12：8=3:2，所以不能能组成连比；D.6：2=3:1，=3:1，所以不能能组成连比；故选B．【点睛】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变．2．（2021·上海市彭浦初级中学期末）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径缩小为原来的，那么所得的扇形的面积与原来的扇形的面积的比值是（

）A．和原来一样大 B．扩大到原来的3倍C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍【答案】C【分析】根据扇形面积占圆的面积的几分之几分别求得原扇形面积和新扇形面积，依此即可求解．【详解】解：设原扇形圆心角n°，半径r，则新扇形圆心角3n°，半径r，则原扇形面积：，新扇形面积：，，故选C．【点睛】本题考查了比的应用，正确表示出扇形的面积是解答本题的关键．3．（2021·上海市淞谊中学阶段练习）有A、B、C三个数字，已知，，且A比C少2，则B是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】由题意易得，然后根据题意可列式求解．【详解】解：由，，可得：，；故选C．【点睛】本题主要考查比和比例，熟练掌握比和比例是解题的关键．4．（2021·上海·新中初级中学期中）三个大小相同的长方形拼在一起组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成2份，把第三个长方形平均分成3份，那么阴影部分的面积是大长方形面积的(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】试题解析：设大长方形面积为1，那么阴影部分的面积为，则阴影部分的面积是大长方形面积的.故本题应选D.点睛：本题所求为阴影面积占总面积的比重，那么设总面积为定值，即可直观表示阴影部分面积，从而求出比重.二、填空题5．（2022·上海普陀·期末）如果x：y=2：3，y：z=9：4，那么x：y：z=_____．【答案】6：9：4【分析】把x：y的值化成6：9即可解答．【详解】解：∵x：y＝2：3，∴x：y＝6：9，∵y：z＝9：4，∴x：y：z＝6：9：4，故答案为：6：9：4．【点睛】本题考查了比的性质，把x：y的值化成6：9是解题的关键．6．（2022·上海普陀·期末）a除以b的商是1.5，则a∶b的比值是_____．【答案】1.5【分析】根据有理数的除法即可得到答案．【详解】解：∵，∴．故答案为：1.5【点睛】本题考查了比与除法的关系，掌握比号相当于除号是解题关键．7．（2022·上海奉贤·期末）化成最简整数比：＝_____．【答案】9：4【分析】计算除以即可得到答案．【详解】解：，故答案为：9：4．【点睛】此题考查了比例的化简，正确掌握分数除以分数的运算法则是解题的关键．8．（2022·上海浦东新·期末）在比例尺是1∶6000000的地图上测得甲地到乙地的距离是6厘米，甲地到乙地的实际距离大约是______千米．【答案】360【分析】设两地间的实际距离是xcm，由在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地间的距离为6厘米，即可得方程，解方程即可求得x的值，然后换算单位即可求得答案．【详解】解：设两地间的实际距离是xcm，∵比例尺为1：6000000，量得两地间的距离为6厘米，∴，解得：x=36000000，经检验符合题意，∵36000000cm=360km，∴两地间的实际距离是360千米，故答案为360．【点睛】本题考查了比例的性质——比例尺的性质．分式方程，解题的关键是根据题意列方程，要注意统一单位．9．（2021·上海松江·期末）化为最简整数比：1：＝________．【答案】63：10【分析】先将代分数化为假分数，然后即可计算．【详解】解：，故答案为：63：10．【点睛】本题考查比的性质，注意结果也是比，不能写成分数．属于基础题．10．（2021·上海市淞谊中学阶段练习）把浓度为20%和30%的两种盐水按1：4的比例混合在一起，得到的盐水浓度为_____________．【答案】28%【分析】设浓度为20%盐水质量为a，浓度为30%盐水质量为4a，然后利用浓度公式计算．【详解】解：∵浓度为20%和30%的两种盐水的比例为1：4，∴设浓度为20%盐水质量为a，浓度为30%盐水质量为4a，∴混合后的盐水浓度．故答案为：28%．【点睛】本题考查了比和比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．11．（2021·上海市淞谊中学阶段练习）化简比：_____________．【答案】1：6【分析】先把单位化统一，根据有理数的除法即可得出答案．【详解】解：1.6dm=16cm，，故答案为：1：6．【点睛】单位一定要统一．这是本题的易错点．有理数和有理数相乘和相除时遇到带分数一定要把它化成假分数；除以一个数就是乘以这个数的倒数．三、解答题12．（2022·上海·专题练习）尧旭教育女教师的人数是全体教师的，比男教师多144人，那么昂立智立方共有教师多少人？【答案】昂立智立方共有教师人【分析】根据题意计算出女教师比男老师多的人数占比，再结合题意计算即可．【详解】解：男教师占比：，女教师比男老师多的人数占比：，总人数：（人）．答：昂立智立方共有教师人．【点睛】本题考查分数的列式运算，解决本题的关键是计算过程中不出错．13．（2022·上海浦东新·期末）已知，，求．（结果写成最简整数比）【答案】【详解】解：因为，所以，所以【点睛】本题考查了比的性质，掌握比的性质是解题的关键．14．（2021·上海普陀·期末）已知，，求．【答案】x：y：z=16：9：12【分析】根据比的性质，把x：y的前项和后项同时乘24变成16：9，把y：z的前项和后项同时乘6变成9：12，两个比中的y都是9份的数，进而再写出x：y：z即可．【详解】解：因为x：y=：=16：9，y：z=：2=9：12，所以x：y：z=16：9：12．【点睛】本题考查了比的基本性质的灵活运用．解决此题关键是根据比的性质把两个比中y的份数转化成一样多，进而再写出x、y和z的比即可．考点三：比例一、单选题1．（2021·上海市第二初级中学阶段练习）已知三个数为3、4、8，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】通过计算比值的方法即可判断．【详解】解：A、添加3，四个数为3、3、4、8，而3×83×4，故本选项不符合题意；B、添加6，四个数为3、4、6、8，而3×8=4×6，故本选项符合题意；C、添加9，四个数为3、4、8、9，而3×94×8，故本选项不符合题意；D、添加12，四个数为3、4、8、12，而3×124×8，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了比例的意义或基本性质，判断四个数能否组成比例，一般运用比例的性质判断较为简便．2．（2022·上海·九年级专题练习）已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是（

）A．8 B．1 C．2 D．【答案】A【详解】解：设另外一个数为则所以解得：所以另外一个数是8.故选A【点睛】本题考查的是比例中项的含义，利用比例中项列比例式是解本题的关键.3．（2021·上海·期末）在中，如果前项增加33，要使比值不变，那么后项应A．增加33 B．增加35 C．增加37 D．增加39【答案】D【分析】设原数分别为，，后项增加，由计算求解即可．【详解】解：设原数分别为，，后项增加，由题意可得：解得：故选：．【点睛】本题考查了比例的应用．解题的关键在于熟练掌握比例的运算．二、填空题4．（2021·上海市淞谊中学阶段练习）如果（，都不为0），那么_____________．【答案】4：3##【分析】逆用比例的基本性质，把所给的等式（，都不为0），改写成一个外项是，一个内项是的比例，则和相乘的数就作为比例的另一个外项，和相乘的数就作为比例的另一个内项，据此写出比例即可．【详解】解：∵（a，都不为0），∴，∴．故答案为：4：3．【点睛】题目主要考查比例性质的逆用，理解内项积等于外项积是解题关键．5．（2021·上海·华东政法大学附属中学期末）如图，C、D是线段AB上两点，如果AC、CD、DB长之比为3：4：5，那么______AB．【答案】【分析】已知AC=3k，CD=4k，DB=5k，可求出AC：AB，据此即可完成解答.【详解】解：由题意，可设AC=3k，CD=4k，DB=5k，∴AB=AC+CD+DB=12k，∴，即AC=AB，故答案为：【点睛】本题主要考查比例的相关知识，解题关键在于表示出线段AB.6．（2022·上海普陀·期末）如果4是a和2的比例中项，那么a＝_____．【答案】8【分析】先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【详解】解：∵4是a与2的比例中项，∴a：4＝4：2，∴2a＝16，解得a＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查了比例中项的定义，比例中项是一种特殊的比例项，成比例的四个量（包括数或线段），如果内项相等，即比例式为，则内项b称为外项a和c的比例中项，这时a，b，c成为等比数列或集合数列，所以比例中项亦称为等比中项或几何中项．7．（2021·上海市复旦初级中学期中）A、B、C为三个正数，若，请从大到小将A、B、C排序：________．【答案】A＞B＞C【分析】根据比例的基本性质分别用B表示出A、C，然后比较大小即可．【详解】解：∵，∴，，∵A、B、C为三个正数，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟知比例的基本性质是解题的关键．三、解答题8．（2021·上海松江·期末）求x的值：0.5：x＝4：．【答案】x＝【分析】根据比例的性质即可求出答案．【详解】解：由题意可知：，∴x=．【点睛】本题考查了比例的性质，此题利用“内项之积等于外项之积”求解．9．（2022·上海奉贤·期末）已知：x：0.5＝：4，求x的值．【答案】【分析】根据比例的基本性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴x=．答：x的值为．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．10．（2022·上海普陀·期末）已知，求x的值．【答案】【分析】根据比例的基本性质进行计算即可解答．【详解】解：∵5，∴，∴，∴，∴x的值为：．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．11．（2021·上海松江·期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？【答案】11.52厘米【分析】根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解．【详解】解：设在这张地图上，上海与北京两地的距离为x厘米．根据题意得到：．解得x＝11.52，答：在这张地图上，上海与北京两地的距离为11.52厘米．【点睛】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值，关键是根据题意得出方程解答．12．（2021·上海市淞谊中学阶段练习）已知，．求：(1)求最简整数比；(2)的值．【答案】(1)6：20：15(2)11【分析】（1）把和都变成整数比，再把两个比中的y变成相同的数，再根据比的基本性质即可得答案；（2）根据（1）中所得关系，设x=6k，y=20k，z=15k，(k≠0)，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．(1)∵，，∴x：y=6:20，y：z=20:15，∴x：y：z=6：20：15．(2)∵x：y：z=6：20：15，∴设x=6k，y=20k，z=15k，(k≠0)，∴==11．【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．巩固巩固提升一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分）1.（2019洋泾东12月考11）下列判断中正确的是（）A.如果B.4分米与32分米的比值是；C.D.【答案】B；【解析】解：A、如果，故A错误；B、4分米：32分米=，故B正确；C、16与3的比是，故C错误；D、两队得分的比值为，故D错误；故答案选B.2.（卢湾中学2020期末2）下列各组数不能组成比例的是()A.2，6，4，12B.，2，，3C.0.2，，2.5，1.2D.4.5，2.5，5，9.【答案】C；【解析】解：因为，故A、B、D组数能组成比例，故答案选C.3.（浦东四署2020期末2）下列各数中，不能和2、3、4组成比例的是（）A.1；B.；C.；D.6.【答案】A；【解析】解：设x与2、3、4能组成比例，则得或或，解得，故B、C、D与2、3、4能组成比例，因此答案选A.4.（哈尔滨道里2020期末8）把5：8的前项加上15，要使比值不变，后项应该加上（）A.20；B.24；C.32；D.40.【答案】B；【解析】解：，故后项应该加上24，故答案选B.5.（2019进才北12月考3）在一幅地图上，量得A、B两地距离是7厘米,已知两地实际距离为350千米,则该地图的比例尺是（）A.1:50B.1:5000C.1:500000D.1:5000000【答案】D；【解析】解：根据题意，该地图的比例尺为：7厘米：350千米=7厘米：35000000厘米=1：5000000，故答案选D.6.（2019北蔡12月考2）已知，那么（）A.B.C.D.【答案】B；【解析】解：因为，所以，故答案选B.7.（嘉定区2020期末18）已知甲、乙两数的和是150，如果甲、乙两数之比是2：3，那么甲数是（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】C；【解析】解：设甲、乙两数分别为x，y，依题有，整理得，解之得，故甲数为60.因此答案选C.8.（哈尔滨香坊2020期末1）把5g盐加入95g的水中，盐与水的比是（）A.；B.；C.；D..【答案】B；【解析】解：根据题意，盐与水的比是5g：95g=5g:95g=1:19，故答案选B.9.（2019大同初中12月考2）甲、乙、丙三人合作一批零件，到完工时，甲完成总数的，乙完成总数25％，丙完成总数的，则三人所做的零件数量之比是()A.3:4:12B.2:4:3C.4:3:5D.3:5:4【答案】C;【解析】解：甲乙丙三人所做零件数量之比为===，故答案选C.10.（2019建平南12月考15）甲乙两数的比是，若乙数是60，甲数是（）A.48B.90C.40D.24【答案】B;【解析】解：设甲数为x，根据题意，得，解得，故答案选B.二、填空题（本大题共11题，每题3分，满分33分）11.（浦东四署2020期末12）已知，那么=：.【答案】4：3；【解析】解：因为，所以.12.（闵行区2020期末13）求比值：2.4小时：12分钟=.【答案】12；【解析】解：2.4小时：12分钟=144分钟：12分钟=144：12=12：1=12.13.（嘉定区2020期末5）求比值：_________.【答案】；【解析】解：.14.（虹口区2019期末14）一幅地图比例尺是1︰6000000，上海到杭州地图上距离是3.5厘米，则上海到杭州的实际距离是千米．【答案】210；【解析】解：设上海到杭州的实际距离是x厘米，根据题意得，解得厘米，故千米.15.（川沙中学南校2019期末13）如果a:b=3:5,b:c=3:2，那么a:b:c=.【答案】9:15:10；【解析】解：因为a:b=3:5=9：15,b:c=3:2=15：10，所以a:b:c=9：15：10.16.（浦东四署2020期末11）化简最简整数比：1.5千克：600克=.【答案】5：2；【解析】解：1.5千克：600克=1500克：600克=1500：600=5：2.17.（2019浦东四署12月考13）化成最简整数比：=.【答案】3：2：1；【解析】解：=.18.（卢湾中学2020期末9）若正数3是m与12的比例中项，那么m=.【答案】；【解析】解：因为正数3是m与12的比例中项，则，解得.19.（2019上南东12月考9）一个比的前项是最小合数，后项是最小素数，这个比的比值是.【答案】