高二数学理科选修2-3

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

单元备

一、地位与作用

计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法

计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，

它们为解决很多实际提供了思想和工具.在本摸块中，学生将学习计数基本原

理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解

决简单的计数问题.使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使

用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.

二、章节重难点

1.本章的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列和组合的

意义，以及排列数、组合数计算公式，二项式定理.

2.本章的主要难点是如何正确运用有关公式解决应用问题.在解决问题

时，由于对问题本身和有关公式的理解不够准确，常常发生重复和遗漏计算、

用错公式的情况.为了突破这一难点，教学中应强调一些容易混淆的概念之间

的联系与区别，强调运用各个公式的前提条件，并对学生计算中出现的一些

典型错误进行认真剖析.

三、教学策略

计数是人与生俱来的一种能力，也是了解客观世界的一种最基本的方法.

计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数和分步乘法计数是处

理计数问题的两种基本思想方法.要求教学中要引导学生根据计数原理分析、

处理问题，而不是机械地套用公式，同时要避免繁琐的、技巧性过高的计数

问题.

由于计数原理的思想和方法是最基本的，所有的计数问题都不会超越分

类和分步这两大类，因此要求在推导排列数公式和组合数公式的过程中让学

生进一步理解计数原理的思想；在用排列组合公式和组合数公式解决实际问

题时，也不要只是片面地将问题归结为排列、组合两类，而是引导学生学会

用计数原理来分析问题.

二项式定理是中学数学的传统内容，定理揭示了二项式的正整数次幕的

展开法则.这个定理既是初中代数乘法公式的推广，也是进一步研究概率中二

项分步的准备知识.学习二项式定理还可以深化对组合数的认识.新课标强调

利用基本计数原理对二项式定理进行证明.

三、课时安排：

本章总共12课时，具体分配如下：

1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理2课时

1.2排列与组合6课时

1.3二项式定理2课时

1.4章末总结2课时

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

§1.1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

一、三维目标

1、知识与技能

理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解

决一些简单的应用问题；

2、过程与方法

培养学生的归纳概括能力；

3、情感态度与价值观

引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式；

二、教学重点、难点

重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）

难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.

三、学法与教学用具

1、学法：合作探究

2、教学用具：多媒体

四、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？

②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要

的数学计数方法.总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种

不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计

数原理.这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.

(二)研探新知

(1)提出问题

问题1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，

总共能够编出多少种不同的号码？

问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3

班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不

同的走法？

探究：你能说说以上两个问题的特征吗？

(2)发现新知

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加

种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有

N=血+〃种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

(1)提出问题

问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A，4，…，

用，与，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

用列举法可以列出所有可能的号码：

字母数字得到的号码

我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9

个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6X9=54

个不同的号码.

探究：你能说说这个问题的特征吗？

(2)发现新知

分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有

加种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共

有N=wx〃种不同的方法.

(三)例题讲解

例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的

文艺书，第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取

1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种

方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法

计数原理，不同取法的种数是％=町+“+/=4+3+2=9;

(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成:

第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本

文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法.根

据分步乘法计数原理，不同取法的种数是

N=町xmjxm,=4X3X2=24.

(3)N=4x3+4x2+3x2=26。

(四)课堂检测

1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路

线共有多少条？

解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类

又需两步完成，所以，

第一类，ml=1X2=2条

第二类，m2=1X2=2条

第三类，m3=1X2=2条

所以，根据加法原理，从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6

条

（五）课堂小结

1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原

理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基

本思想.

2.分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用

其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”

问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.

（六）课后作业

课本第6页练习1、2

四、教学设计

一、复习旧知二、课前预习三、创设情境

四、讲授新课五、课堂检测六、归纳总结

六、板书设计

一、学习目标三、典例分析五、归纳总结

二、知识讲解四、课堂检测六、布置作业

七、课后反思

1、值得肯定之处

2、有待改进之处

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

§1.1.2分类加法计数原理和分步乘法计数原理

一、三维目标

1、知识与技能

能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；

2、过程与方法

会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用；

3、情感态度与价值观

引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式；

二、教学重点、难点

重点：两个基本原理的进一步理解和体会.

难点：正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性.

三、学法与教学用具

1、学法：合作探究

2、教学用具：多媒体

四、教学过程

(-)复习引入新课

什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？

它们在使用时的主要区别是什么？

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不

同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m+〃种不同的方法.

分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不

同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有

N=根义〃种不同的方法.

（二）研探新知

两个原理的应用

问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母4〜G或U〜

Z,后两个要求用数字1〜9.问最多可以给多少个程序命名？

解：由分类加法计数原理可知，首字符共有7+6=13种选法，由分步乘法计

数原理可知共有13X9X9=1053个不同的名称.

新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔

细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别

对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所

有步骤，恰好完成任务.

（三）例题讲解

例1核糖核酸（RNA）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA分子是一

个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱

基的化学成分所占据.总共有4中不同的碱基，分别是A,C,G,〃表示.在一个

RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其

他位置的碱基无关.假设有一类RNA分子有100个碱基组成，那么能有多少种

不同的RNA分子？（课本第7页）

解：100个碱基组成的长链共有100个位置，如图1.1—2所示.从

左到右依次在每一个位置中，从A,C,G,U中任选一个填人，每个位置

有4种填充方法.根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同

RNA分子数目有4・4・工二400（个）

100

例2计算机编程人员在编好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道

到底有多少条执行路径，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程

序模块由许多子模块组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：

这个程序模块有多少条执行路径？（课本P8）

解：由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3中的子路径共

有18+45+28=91（条）；

子模块4或子模块5中的子路径共有38+43=81（条）.

（四）课堂检测

1.从5名同学中选出正，副组长各一名，共有20种不同的选法.

2.某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不

变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有

10000个.

3.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合｛0,1,2,3,4,5）内

取值的不同点共有36个.

4、随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号

码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都

必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必

须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆

汽车上牌照？

解：将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右.字

母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：

第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；

第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；

第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；

第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；

第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；

第6步，从剩下的8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法.

根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26X25X24X10X9X

8=11232000（个）.

同理，字母组合在右的牌照也有11232000个.

所以，共能给11232000+11232000=22464000（个）辆汽车上牌照.

（五）课堂小结

1.正确选择是分类还是分步的方法

2.分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.

3.乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计

数原理也有类似关系.

（六）课后作业

课本第10页练习2、3、4

五、教学设计

一、复习旧知二、课前预习三、创设情境

四、讲授新课五、课堂检测六、归纳总结

六、板书设计

一、学习目标三、典例分析五、归纳总结

二、知识讲解四、课堂检测六、布置作业

七、课后反思

1、值得肯定之处

2、有待改进之处

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

§1.2.1排列

一、三维目标

1、知识与技能

利用捆绑法、插空法解决排列问题；

2、过程与方法

经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的

数学思想；

3、情感态度与价值观

能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅

力；

二、教学重点、难点

重点：排列数的概念与计算

难点：排列数的计算.

三、学法与教学用具

1、学法：合作探究

2、教学用具：多媒体

四、教学过程

（-）复习引入新课

提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，

请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系.

（二）研探新知

问题1：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动,

其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列

问题，排列数怎么求？

解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3

人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上

午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是

有2种方法.根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上

午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3x2=6种，如图

所示.

”

甲

乙

乙

甲

丙

丙

乙

甲

甲

丙

丙

乙

甲

甲

丙

乙

乙

丙

问题2：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可

得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？

显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十””个，位的顺序排成一列,

就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位

数.可以分三个步骤来解决这个问题：

第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种

方法；

第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只

能从余下的3个数字中去取，有3种方法；

第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数

字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.

根据分步乘法计数原理，从123,4这4个不同的数字中，每次取出3个

数字，按“百”“十”“个’位的顺序排成一列，共有4x3x2=24种不同的排法，

因而共可得到24个不同的三位数，如图所示.

1234

234134124123

/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\

342423341413241412231312

由此可写出所有的三位数:

123,124,132,134,142,143,

213,214,231,234,241,243,

312,314,321,324,341,342,

412,413,421,423,431,432.

活动成果：

1、排列的概念：

从〃个不同元素中，任取/n(小<〃)个元素(这里的被取元素各不相同)

按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出机个元素的一个排列.

2、排列数的定义：

从〃个不同元素中，任取加(〃?<〃)个元素的所有排列的个数叫做从“

个元素中取出加元素的排列数，用符号线,表示.

3、排列数公式及其推导：

由田的意义：假定有排好顺序的2个空位，从〃个元素q,%%中任取

2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过

来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种

数就是排列数记.由分步计数原理完成上述填空共有种填法，二

A^=n(n-Y).

由此，求4；可以按依次填3个空位来考虑，1)5-2),求4"

以按依次填加个空位来考虑A：=〃(〃T)(〃—2)(n-m+1),

排列数公式：第I位第2位第3位第"位

—〃(九一1)(〃-2)(n-m+1)ill~~

nn-1n-2n-m*-]

*图10-5

Qm,neN,m<n)

(三)例题讲解

例1.解方程：3AM2A\i+6A?.

思路分析：利用排列数公式求解即可.

解：由排列数公式得：3x(x—l)(x—2)=2(x+l)x+6x(x—1),

Vx>3,?.3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3f—17x+10=0,

2

解得x=5或x=],•.•应3,且xGN,.•.原方程的解为x=5.

(四)课堂检测

1.解不等式：A>6A-r2.

a।a।

解：原不等式即二:>6・川•、一

(9—%)！(11—X)!

也就是又~~\厂>7Tiwinwo\Vf化简得：21x+104>0,

(9—x)!(11—x)-(10—x)-(9—x)!

解得x<8或x>13,又且无GN,

所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}.

2、若AA2“,则〃?的值为()

A.5B.3C.6D.7

(五)课堂小结

1.知识收获：排列概念、排列数公式.

2.方法收获：化归.

3.思维收获：分类讨论、化归思想.

(六)课后作业

课本第20页练习1、4

六、教学设计

一、复习旧知二、课前预习三、创设情境

四、讲授新课五、课堂检测六、归纳总结

六、板书设计

一、学习目标三、典例分析五、归纳总结

二、知识讲解四、课堂检测六、布置作业

七、课后反思

1、值得肯定之处

2、有待改进之处

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

§1.2.2排列

一、三维目标

1、知识与技能

利用排列和排列数公式解决简单的计数问题；

2、过程与方法

经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的

数学思想；

3、情感态度与价值观

能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力；

二、教学重点、难点

重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题.

难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题

三、学法与教学用具

1、学法：合作探究

2、教学用具：多媒体

四、教学过程

(-)复习回顾

提出问题1：判断下列两个问题是不是排列问题，若是求出排列数，若

不是，说明理由.

(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少

种不同的送法？

(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种

不同的送法？

解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元

素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：解=5X4X3=60,

所以，共有60种不同的送法.

（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方

法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5X5X5=125,

所以，共有125种不同的送法.

本题中两个小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分

送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给

每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有

联系，要用分步计数原理进行计算.

（二）例题讲解

例1.某年全国足球甲级（力组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队

在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素

中任取2个元素的一个排列.因此，比赛的总场次是的=14X13=182.

点评：要学会把具体问题抽象为从n个不同的元素中任取加（加个不同元

素，按一定顺序排成一列的问题.

例2.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

百位十位个位

A：个A；个

解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0,因

此可以分两步完成排列.第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数

字中任选1个，有A；种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下

的9个数字中任选2个，有A；种选法（如图）.根据分步乘法计数原理，所求

的三位数的个数为A；XA；=9X9X8=648.

解法二：如图所示，符合条件的三位数可分成3类.每一位数字都不是

0的三位数有屈个，个位数字是0的三位数有A；个，十位数字是0的三位数

有及个.根据分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数为屈+代+国=

648.

百位十位个位百位十位个位百位十位个位

A3个A；个A；个

解法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为七,其中0

在百位上的排列数是欣，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的

三位数的个数，即所求的三位数的个数是A；。一A；=10X9X8—9X8=648.

点评：对于例2这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考

的角度不同，就可以有不同的解题方法.解法一根据百位数字不能是0的要

求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘

法计数原理；解法二以0是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事

情，依据的是分类加法计数原理；解法三是一种逆向思考方法：先求出从10

个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是0的排列数

（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题

的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更

加简便、快捷地求解“从〃个不同元素中取出〃（加个元素的所有排列的

个数”这类特殊的计数问题.

（三）课堂检测

1、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次

可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以

表示多少种不同的信号？

解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A；种；

第二类用2面旗表示的信号有用种；

第三类用3面旗表示的信号有A：种，

由分类加法计数原理，所求的信号种数是：A；+X+A：=3+3X2+3X2

Xl=15,

即一共可以表示15种不同的信号.

2、从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱

节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

解法一：（从特殊位置考虑）A氏=136080；

解法二：（从特殊元素考虑）若选：5•浦；若不选：解，则共有5・A；+A；

=136080种;

解法三：（间接法）A：°-A；=136080.

（四）课堂小结

对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，

一个是“反过来剔”.前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者

指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了

解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思

想，并能运用排列数公式进行计算.

（五）课后作业

课本第20页练习5、6

五、教学设计

一、复习旧知二、课前预习三、创设情境

四、讲授新课五、课堂检测六、归纳总结

六、板书设计

一、学习目标三、典例分析五、归纳总结

二、知识讲解四、课堂检测六、布置作业

七、课后反思

1、值得肯定之处

2、有待改进之处

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

§1.2.3排列

一、三维目标

1、知识与技能

利用捆绑法、插空法解决排列问题.

2、过程与方法

经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的

数学思想.

3、情感态度与价值观

能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅

力.

二、教学重点、难点

重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题.

难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题.

三、学法与教学用具

1、学法：合作探究

2、教学用具：多媒体

四、教学过程

(―)复习回顾

提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题.

(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

(2)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？

(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A；=5040.

⑵根据分步乘法计数原理：7X6X5X4X3X2X1=71=5040.

(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列点=720.

(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有房种；第二步余下

的5名同学进行全排列有A：；种，所以，共有虐・A，=240种排列方法.

(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾

有用种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A?种方

法，所以一共有A式=2400种排列方法.

(二)典例讲解

类型一：捆绑法

例1.7位同学站成一排，

(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少

种？

(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排

法有多少种？

解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素，与其余的5

个元素(同学)一起进行全排列有点种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进

行排列有A；种方法.所以这样的排法一共有就A；=l440种.

(2)方法同上，一共有A掳=720种.

(3)解法一：将甲、乙两同学''捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有

6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2

个元素放在排头和排尾，有抬种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A；种

方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A；种方法.所以这样的排

法一共有AM=960种.

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6

个元素，若丙站在排头或排尾有2虐种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的

排法有@一2相)・A；=960种.

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6

个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有

A：种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A：种方法，最后将甲、乙两

同学“松绑”，所以，这样的排法一共有A掳度=960种.

（4）将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆

绑”在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，.♦.一共有排法种数：A；A比

=288种.

类型二：插空法

例2.7位同学站成一排，

（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

解：（1）方法一：（排除法）A；—您・&=3600；

方法二：（插空法）先将其余五个同学排好有点种方法，此时他们留下六

个位置（称为“空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有虐种方法，

所以一共有A火=3600种方法.

（2）先将其余四个同学排好有A：种方法，此时他们留下五个''空"，再将

甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A；种方法，所以一共有A：摞=1

440种方法.

（三）课堂检测

1、某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，

乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，

则不同的陈列方式有多少种？

解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，乙厂3台

不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑”

在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，

乙、丙排在两端有的种排法，共有店A；A盘=2880种不同的排法.

2、5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生

按指定顺序排

列.

解：（1）先将男生排好，有相种排法；再将5名女生插在男生之间的6个

“空”（包括两端，但不能同时排在两端）中，有2慰种排法,

故本题的排法有川=2度・相=28800种.

（四）课堂小结

1.知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式.

2.方法收获：捆绑法、插空法.

3.思维收获：化归思想、分类讨论思想.

（五）课后作业

学习指导67页第9题

五、教学设计

一、复习旧知二、课前预习三、创设情境

四、讲授新课五、课堂检测六、归纳总结

六、板书设计

一、学习目标三、典例分析五、归纳总结

二、知识讲解四、课堂检测六、布置作业

七、课后反思

1、值得肯定之处

2、有待改进之处

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

§1.2.4组合

一、三维目标

1、知识与技能

理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合.明确组合与排列的

联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.

2、过程与方法

通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数A；与组合数C；；之间的

联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.

3、情感态度与价值观

能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力.

二、教学重点、难点

重点：组合的概念和组合数公式.

难点：组合的概念和组合数公式.

三、学法与教学用具

1、学法：合作探究

2、教学用具：多媒体

四、教学过程

（-）引入新课

提出问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多

少种不同的选法？

活动成果：问题中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排

列“，而问题只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列.我们把这样

的问题称为组合问题.

提出问题2：结合上述问题，试总结组合和组合数的概念.

活动设计：学生小组讨论，总结概念.

1.组合的概念：一般地，从〃个不同元素中取出加⑺9）个元素合成一

组，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2.组合数的概念：从〃个不同元素中取出风/%〃）个元素的所有不同组

合的个数，叫做从”个不同元素中取出机个元素的组合数.用符号C；；表示

由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数

司可以求得，故我们可以考察一下C杯口A：的关系，如下:

组合排列

abc—abc,bac.cab,acb,bca,cba

abd—^abd,bad,dab,adb,bda,dba

acd—>acd,cad,dac,adc,cda,dca

bed—bed,cbd,dbc,bdc,edb,deb

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同

元素中取出3个元素的排列数A|,可以分如下两步：①考虑从4个不同元素

中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个组合的3个不同元素进行全

排列，各有A揪方法.由分步乘法计数原理得：Ai=ClAL所以，密=£

提出问题3：你能想出求C：的方法吗？

活动成果:

一般地，求从〃个不同元素中取出机个元素的组合数C3可以分如下两

步:

①先求从〃个不同元素中取出m个元素的排列数A%

②求每一个组合中m个元素的全排列数A；；：,根据分步乘法计数原理得:

A；=C；・A*

A；；〃（〃一1）（〃一2）...（〃一1）

得到组合数的公式：C：=

A；；；~mI

n!

或C'=m!（〃一加）！（〃'm£N,且m<n）.

规定：d=i.

（二）例题讲解

类型一：组合数公式的应用

例1.计算：⑴a；(2)Clo.

47x6x5x4

解：(1)C7==35；

10x9x8x7x6x5x4

(2)解法1：

710!10x9x8

解法2：Cio=yj~~3!=~=120.

例2.一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过

比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：

(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？

(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有

多少种方式做这件事情？

解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数

为C；”12376.

(2)教练员可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C号种选法；

第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有Ch种选法.

所以教练员做这件事情的方式种数为

Ci7xC!i=136136.

(三)课堂检测

1.判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：

(1)从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

(2)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少

种不同的方法？

(1)是组合问题(2)是排列问题

2、(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同

的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为CTO=7^=45.

1人乙

（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内

10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2

个元素的排列数，即有向线段条数为Af0=10x9=90.

（四）课堂小结

1.知识收获：组合概念、组合数公式.

2.方法收获：化归.

3.思维收获：分类讨论、化归思想.

（五）课后作业

课本第25页练习1、6

五、教学设计

一、复习旧知二、课前预习三、创设情境

四、讲授新课五、课堂检测六、归纳总结

六、板书设计

一、学习目标三、典例分析五、归纳总结

二、知识讲解四、课堂检测六、布置作业

七、课后反思

1、值得肯定之处

2、有待改进之处

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

§1.2.5组合

一、三维目标

1、知识与技能

了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些

计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题.

2、过程与方法

通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解

的过程.

3、情感态度与价值观

能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力.

二、教学重点、难点

重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题

难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题.

三、学法与教学用具

1、学法：合作探究

2、教学用具：多媒体

四、教学过程

（-）新课讲授

提出问题1：利用上节课所学组合数公式，完成下列练习：

练习:计算:①0）和C-②—一戏与Cg；③Cti+C，

活动设计：学生板演.

活动成果：练习：【答案】①120,120②20,20③792.

提出问题2：由问题1练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规

律，能不能总结并证明一下？

活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充.

活动成果：

1.性质:(1—⑵cMi=C；'+c；尸.

________n!n!

2.证明:n

d)vcr(〃一机)！[n—(〃—机)]!m!(n-m)!

n!

又c;=

m!!，••〜-J?・

几!

(2)C7+Cm—1

nm\(n—m)![m-1)!\n-[m-1)]!

几！(n—〃i+l)+〃！m_(〃一阳+]+1)〃!______(〃+1)!______m

m!(n—m+1)!ml(n—m+1)!m!(n-m+1)!C〃ii，

•「"J_I

(二)运用新知

类型一：组合数的性质

例i.(D计算：cHcl+ci+cS；

⑵求证:C>2=CM+2cA+C；2.

(1)解:原式=C[+d+C$=Cg+C$=C$o=C%=21O；

(2)证明：右边=©,+。7)+((2『+*y)=0|+。；*=02=左边

类型二：有约束条件的组合问题

例2.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任

意抽出3件.

(1)有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数,

所以共有

100x99x98

C；oo=

1x2x3=161700种.

(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C；种，从98件合格品中抽出2

件合格品的抽法有废8种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有

c3xC：8=95O6种.

(3)解法1：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件

次品和有2件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有

CSC嬴种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的

抽法有

CxC；8+C衣C%=9604种.

解法2：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从

100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即

CIOO-C18=161700-152096=9604种.

例3、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

(1)甲、乙、丙三人必须当选；

(2)甲、乙、丙三人不能当选；

(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；

(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；

(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；

(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；

解:(1)这戏=36；(2)一解=126；(3)C；C9=126；(4)C]C《=378；

(5)方法一：(直接法)C?c9+C；Cd+C：cS=756,

方法二：(间接法)C%—C1C；=756；

(6)方法一：(直接法)C；Cj+C，C$+RC；=666,

方法二：(间接法)C%—C?笳=666.

(三)课堂检测

1、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小

组，问组成方法共有多少种？

解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分

别有C：,C8。,C；xC看种方法，

所以，一共有C；+CacB+C]x或=100种方法.

解法二：(间接法)C；。-M=100.

(四)课堂小结

1.知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题.

2.方法收获：化归的思想方法.

3.思维收获：化归的思想方法.

（六）课后作业

课本第25页练习2、3、4

五、教学设计

一、复习旧知二、课前预习三、创设情境

四、讲授新课五、课堂检测六、归纳总结

六、板书设计

一、学习目标三、典例分析五、归纳总结

二、知识讲解四、课堂检测六、布置作业

七、课后反思

1、值得肯定之处

2、有待改进之处

河南省淮阳县实验高中课时教案

第一章计数原理第一课时总第教案

课型：新授课主备人：王庆云审核人：李俊涛二次备课

§1.2.6组合

一、三维目标

1、知识与技能

理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题.

2、过程与方法

通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合

数公式求解的过程.

3、情感态度与价值观

能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力

二、教学重点、难点

重点：综合运用排列组合解决计数问题

难点：综合运用排列组合解决计数问题.

三、学法与教学用具

1、学法：合作探究

2、教学用具：多媒体

四、教学过程

典型例题

类型一：排数字问题

例1.(1)用0,1,2,3,4能组成多少个无重复数字的四位数？

(2)这四位数中能被3整除的数有多少个？

解：(1)直接分类法：

①特殊元素分析法：分两类：选0,有A；A：=72个；不选0,有A：=24

个.根据分类加法计数原理可得共有72+24=96个.

②特殊位置分析法：先考虑首位，可以从L2,3,4四个数字中任取一个,

共A：种方法，再考虑其他三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个，即

A；种方法.根据分步乘法计数原理共有A：A：=96种方法，即96个无重复数字

的四位数.

③间接排除法：先从五个数字中任取四个排成四位数：At再排除不符

合要求的四位数，即0在首位的四位数：A；则共有A；—A：=96个.

(2)能被3整除的四位数应该是四位数