山东省济南市历城区济南一中2025届数学高二上期末监测试题含解析

山东省济南市历城区济南一中2025届数学高二上期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是()A. B.C. D.2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A B.C. D.3．设等差数列，的前n项和分别是，若，则（）A. B.C. D.4．命题“若，则”的逆否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5．在等差数列中，为其前项和，若．则（）A. B.C. D.6．如图在中，，，在内作射线与边交于点，则使得的概率是（）A. B.C. D.7．是直线与直线互相平行的（）条件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要8．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（）A. B.C.14 D.169．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺10．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11．已知抛物线的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于A，B两点，交抛物浅C的准线于点P，若，则为（）A.2 B.3C.4 D.612．已知圆M的圆心在直线上，且点，在M上，则M的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某厂将从64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2011年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知8号、24号、56号在样本中，那么样本中最后一个员工的号码是__________14．已知双曲线，的左、右焦点分别为、，且的焦点到渐近线的距离为1，直线与交于，两点，为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，，则下列结论正确的是____________①；②的离心率为；③若，则的面积为2；④若的面积为，则为钝角三角形15．若函数的递增区间是，则实数______.16．定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，且的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）若B为椭圆C上顶点，过的直线与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线BP与x轴交于点M，直线BQ与x轴交于点N，判断是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由.18．（12分）如图，四边形为矩形，，，为的中点，与交于点，平面.（1）若，求与所成角的余弦值；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知椭圆C：的长轴长为4，过C的一个焦点且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为3（1）求C的方程；（2）若直线：与C交于A，B两点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，且，求m的值20．（12分）如图，已知椭圆的短轴端点为、，且，椭圆C的离心率，点，过点P的动直线l椭圆C交于不同的两点M、N与，均不重合），连接，，交于点T（1）求椭圆C的方程；（2）求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；（3）是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由21．（12分）已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆（1）求椭圆方程；（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值22．（10分）设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求不等式的解集.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用新定义：存在使得，则称是的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的判断即可【详解】对于A，，则，令，解得或，即有解，故选项A的函数有“巧值点”，不符合题意；对于B，，则，令，令，则g(x)在x＞0时为增函数，∵(1)，(e)，由零点的存在性定理可得，在上存在唯一零点，即方程有解，故选项B的函数有“巧值点”，不符合题意；对于C，，则，令，故方程无解，故选项C的函数没有“巧值点”，符合题意；对于D，，则，令，则.∴方程有解，故选项D的函数有“巧值点”，不符合题意故选：C2、C【解析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列故选：C.3、C【解析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.【详解】依题意等差数列，的前n项和分别是，由于，故可设，，当时，，，所以，所以.故选：C4、C【解析】根据逆否命题的定义写出逆否命题即得【详解】解：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为原命题的逆否命题，即“若，则”的逆否命题是“若，则”故选：C5、C【解析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.【详解】由等差数列的性质和求和公式可得.故选：C.6、C【解析】由题意可得，根据三角形中“大边对大角，小边对小角”的性质，将转化为求的概率，又因为，，从而可得的概率【详解】解：在中，，，所以，即，要使得，则，又因为，，则的概率是故选：C【点睛】本题考查几何概型及其计算方法的知识，属于基础题7、B【解析】求出直线与平行的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由解得或，当时，与平行，当时，与平行，则直线与直线平行等价于或，所以是直线与直线互相平行的充分而不必要条件.故选：B8、C【解析】根据等比数列的性质求得正确答案.【详解】是函数的两个不同零点，所以，由于数列是等比数列，所以.故选：C9、B【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故所以冬至当日日影长为.故选：B10、A【解析】因为“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”成立的充分不必要条件．选A考点：充分必要条件的判断【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题.对于命题“若,则”是真命题,我们说,并且说是的充分条件，是的必要条件，命题“若,则”是假命题,我们说,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“”是“”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键11、C【解析】由题意可知设,由可得，可求得,，根据模长公式计算即可得出结果.【详解】由题意可知，准线方程为，设,可知，，解得：，代入到抛物线方程可得：.,故选:C12、C【解析】由题设写出的中垂线，求其与的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得圆的方程.【详解】因为点，在M上，所以圆心在的中垂线上由，解得，即圆心为，则半径，所以M的方程为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、40【解析】结合系统抽样的抽样方法来确定最后抽取的号码.【详解】因为分段间隔为，故最后一个员工的号码为.故答案为：14、②④【解析】由已知可得，可求，，从而判断①②，求出△的面积可判断③，设，，利用面积求出点的坐标，再求边长，求出可判断④【详解】解：设，，，，可得，，两式相减可得，由题意可得，且，，，，，，故②正确；的焦点到渐近线的距离为1，设到渐近线的距离为，则，即，，故①错误，，若，不妨设在右支上，，又，，则的面积为，故③不正确；设，，，，将代入双曲线，得，，根据双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，，，，，为钝角，为钝角三角形．故④正确故答案为：②④15、【解析】求得二次函数的单调增区间，即可求得参数的值.【详解】因为二次函数开口向上，对称轴为，故其单调增区间为，又由题可知：其递增区间是，故.故答案为：.16、2【解析】设出曲线上任意一点，利用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.【详解】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值.故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用椭圆的定义可得，而离心率，解方程组，即可得解；（2）设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，由，，三点的坐标写出直线，的方程，进而知点，的坐标，再结合韦达定理，进行化简，即可得解【小问1详解】解：因为的周长为，所以，即，又离心率，所以，，所以，故椭圆的方程为【小问2详解】解：由题意知，直线的斜率一定不可能为0，设其方程为，，，，，联立，得，所以，，因为点为，所以直线的方程为，所以点，，直线的方程为，所以点，，所以，即为定值18、（1）（2）【解析】（1）以为原点，、所在的直线为、轴，以过点垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；（2）计算出平面的法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】解：如图，以为原点，、所在的直线为、轴，以过点垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，，则，则，故，因为平面，平面，则，若，则，故、、、，则，，.因此，若，则与所成角的余弦值为.【小问2详解】解：若，则、，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，，所以直线与平面所成角的正弦值为.19、（1）；（2）.【解析】（1）由题设可得且，求出，即可得椭圆方程.（2）联立直线l和椭圆C并整理为关于x的一元二次方程，由求出m的范围，再应用韦达定理、弦长公式求，进而可得线段AB的中垂线，同理联立曲线C求相交弦长，再由已知条件求m值，注意其范围.【小问1详解】由题意知，，则，令，可得，由题设有，则，所以C的方程为【小问2详解】联立方程得：，由，得设，，则，，所以，另一方面，，即线段AB的中点为，所以线段AB的中垂线方程为令，联立方程得：同理求法，可得：，即因此，解得，故20、（1）（2）证明见解析；（3）不存在直线l，使得成立，理由见解析.【解析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组求得，设，根据和在同一条直线上，列出方程求得的值，即可求解；（3）设直线的为，把转化为，联立方程组求得，代入列方程，求得，即可得到结论.【小问1详解】解：由题意可得，解得，所以所求椭圆的方程为.【小问2详解】解：由题意，因为直线过点，可设直线的方程为，，联立方程组，整理得，可得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得，设，因为在同一条直线上，则，①又由在同一条直线上，则，②由①+②3所以，整理得，解得，所以点在直线，即当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动.【小问3详解】解：由（2）知，点在直线上运动，即，设直线的方程为，且，又由且，可得，即，联立方程组，整理得，可得，代入可得，解得，即，此时直线的斜率不存在，不合题意，所以不存在直线l，使得成立.21、（1）；（2）【解析】(1)设点和，由题意可得点的轨迹方程，将点Q的坐标代入T的方程计算出即可；(2)设的方程，和，联立椭圆方程并消元得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理得到，进而求出和，根据平行线间的距离公式可得与的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可.【详解】