2024-2025学年华师版初中数学九年级（下）教学课件 27.1.3 圆周角

第27章圆27.1圆的认识3.圆周角学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推

论解决简单的几何问题.（重点）3.理解圆内接四边形及其性质.（重点）4.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的

关系”.（难点）新课导入

问题：指出图中的圆心角，你知道∠BAC是什么角吗？ABCO1.圆周角知识讲解定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）ABCO顶点在圆内顶点在圆外圆周角圆心角·COABCOBCABABCOABCOBAA想一想：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）C（4）边AC没有与圆相交圆周角O思考

探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、Ｂ外）

那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？

因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.解：

例1如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角).

∴

∠ABC＝90°－∠A＝90°－80°＝10°.

2.圆周角定理及其推论想一想：1.图中圆心角∠BOC与圆周角∠BAC存在怎样的数量关系.2.是不是所有的圆心角和圆周角都符合这个数量关系呢？需要满足什么样的条件呢？ABCO（1）当圆心O在∠BAC的一边上时,（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠CABCOOABDOAC（2）圆心O在∠BAC的内部时,CODO（3）当圆心O在∠BAC的外部时,AB圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.相等的圆周角所对的弧相等.想一想：怎样证明等弧所对的圆周角相等呢？通过一道题目来探讨一下.A1A2A3ABCO例2

试分别求出图中∠x的度数.解：(1)∵同弧所对的圆周角相等，∴∠x＝60°.(2)连结BF.∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABF=∠Ｄ＝20°,∠FBC

=∠E＝30°,∴∠x＝∠ABF+∠FBC=50°.2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___.OABC1.求圆中∠x的度数.BAO.70°xAO.x120°练习130°(1)∠x=35°(2)∠x=120°如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.

若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？⌒

⌒⌒⌒解：∠1=∠2.探究推论1半圆（或直径）所对的圆周角都相等，都等于90°（直角），90°的圆周角所对的弦是直径.想一想：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线.若AC是⊙O的直径，∠ADC=

，∠ABC=

.90°90°

例3

如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于点B,

求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°.在Rt△

ADC中，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.

∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC

.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.

归纳3.圆内接四边形及其性质

如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做圆内接多边形.（1）圆内接多边形如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.

猜想：∠A与∠C,

∠B与∠D之间的关系为

.

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.（推论2）证明：连结OB，OD.∵∠A所对的弧为，∠C所对的弧为，又和所对的圆周角的和是周角，∴∠A+∠C=360°÷2=180°.同理∠

ABC+∠ADC=180°.即∠

B+∠D=180°.2.圆内接四边形的性质CODBA∵∠A＋∠DCB＝180°，E∠DCB＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.拓展如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？例4

如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于点E，交⊙O于点D，AF交⊙O于点G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.随堂训练1.判断：（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等.（）（3）90°的角所对的弦是直径.（）（4）同弦所对的圆周角相等.（）√×××2.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(

)A．120°B．100°C．80°D．60°A3.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB=（）A.70°

B.110°

C.90°

D.120°ACBODEB4.如图，AB是⊙O的直径，

C，D是圆上的两点，∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿.50°5.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°，则∠AOB=

．ABOCDBACO166°6.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB=

，∠ADB=

.DAOCB130°50°7.如图，△ABC的顶点A，B，C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是

.CABO解析：连结OA，OB.∵∠C=30°，∴∠AOB=60°.又∵OA=OB

，∴△AOB是等边三角形.∴OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2.28.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC

变式：已知∠OAB等于40°,求∠C

的度数.ABCOD9.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；解：AB＝AC.证明如下：连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解：当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连结BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．课堂小结圆心角类比