第03讲 二次根式的加减 （知识解读+达标检测）（解析版）-A4

第页第03讲二次根式的加减【题型1同类二次根式的相关概念】【题型2二次根式的加减】【题型3二次根式的混合运算】【题型4二次根式的化简求值】【题型5二次根式的实际应用】【题型6分母有理化】考点1：同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如【题型1同类二次根式的相关概念】【典例1】（2023春•南宁期中）下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；B、＝2，故B不符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、＝2，故D符合题意．故选：D．【变式1-1】（2022秋•正定县期末）下列各式中，化简后能与合并的二次根式是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、＝与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；B、＝与是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意；C、＝3与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；D、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；故选：B．【变式1-2】（2023秋•南山区校级期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16 B．0 C．2 D．不确定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最简二次根式与是同类二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故选：B．【变式1-3】（2023秋•静安区校级期中）下列各式中，能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝2，＝2，＝2，＝3，＝4，∴能和合并的是．故选：C考点2：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。【题型2二次根式的加减运算】【典例2】（2023秋•九台区校级期中）计算：．【答案】．【解答】解：＝＝．【变式2-1】（2023秋•南安市期中）计算：．【答案】+4．【解答】解：原式＝3﹣2+4＝+4．【变式2-2】（2023秋•朝阳区期中）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝2﹣3＝．【变式2-3】（2023春•武平县期末）计算：．【答案】﹣72．【解答】解：原式＝＝＝考点3：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【题型3二次根式的混合运算】【典例3】（2022秋•玉门市期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝＝＝．（2）原式＝2+3+﹣5＝．【变式3-1】（2022秋•贺兰县校级期末）化简：（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）8．【解答】解：（1）＝9﹣7+2﹣2＝2；（2）＝6﹣+3＝8．【变式3-2】（2023春•宣化区期中）计算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）﹣2+2．【解答】解：（1）＝4+＝7；（2）＝18﹣12﹣（5﹣2+3）＝18﹣12﹣8+2＝﹣2+2．【变式3-3】（2023秋•南召县期中）计算：（1）；（2）．【答案】（1）4+；（2）10﹣6．【解答】解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝3﹣4+9﹣6+2＝10﹣6【题型4二次根式的化简求值】【典例4】（2022秋•新田县期末）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+3xy+y2．【答案】（1）；（2）24．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）＝＝＝；（2）原式＝（x+y）2+xy＝＝＝20+4＝24．【变式4-1】（2023春•惠阳区期末）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【答案】（1）；（2）15．【解答】解：（1）由题意得：∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2＝8；（2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝＝＝16﹣1＝15．【变式4-2】（2023秋•仁寿县期中）已知：，．求值：（1）x+y；（2）x2y+xy2．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）由（1）知，，，∴，∴．【变式4-3】（2022秋•祁阳县期末）已知，，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣2ab+b2．【答案】（1）24；（2）32．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4）2＝32．【题型5二次根式的实际应用】【典例5】（2023秋•兴文县期中）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板．（1）截出的两块正方形木板的边长分别为3dm，4dm；（2）求剩余木板的面积；（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出2个这样的木条．【答案】（1）3，4；（2）6dm2；（3）2．【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为＝3dm，＝4dm，故答案为：3，4；（2）根据题意得：矩形的长为3（dm），宽为4dm，∴剩余木料的面积＝（7）﹣18﹣32＝6（dm2）；（3）根据题意得：从剩余的木料的长为3dm，宽为4＝（dm），∵3，，∴能截出2×1＝2块这样的木条．故答案为：2．【变式5-1】（2023秋•陈仓区期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．（1）求△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．【答案】（1）10；（2）．【解答】解：（1）∵a＝8，b＝5，c＝7，∴p＝＝10．∴△ABC的面积S＝＝10；（2）如图，∵△ABC的面积＝BC•AD，∴×8×AD＝10，∴AD＝．【变式5-2】（2023春•瑶海区期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2，）（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵小明家住20层，每层的高度近似为3米，∴h＝20×3＝60（米），∴t＝＝＝（秒），∴该物品落地的时间为秒；（2）该玩具最低的下落高度为h＝＝64（米），∴t＝＝＝≈＝3.5776（秒）．∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．【变式5-3】（2023春•巴彦县期中）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？【答案】（1）长方形ABCD的周长是；（2）张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝＝＝．答：长方形ABCD的周长是；（2）蔬菜地的面积＝＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）．39×8×15＝4680（元）．答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．考点5：分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【题型6分母有理化】【典例6】（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．【变式6-1】（2023春•张店区期中）观察下列等式：①＝＝﹣1；②＝＝﹣；③＝＝﹣；…回答下列问题：（1）仿照上列等式，写出第n个等式：＝﹣；（2）利用你观察到的规律，化简：；（3）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）第n个等式为＝﹣；（2）原式＝＝2﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1＝12﹣1．故答案为：（1）＝﹣【变式6-2】（2023春•浏阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：﹣．解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．请你解决下列问题：（1）2﹣3的有理化因式是2+3；（2）化简：++；（3）化简：﹣．【答案】（1）2+3；（2）+；（3）2．【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3，故答案为：2+3；（2）原式＝++＝++2+＝+；（3）原式＝﹣＝﹣＝+1﹣+1＝2．一．选择题（共10小题）1．下列各式，能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵与不是同类二次根式，∴不能与合并，故A项不符合题意；∵，∴与能合并，故B项符合题意；∵，∴不能与合并，故C项不符合题意；∵与不是同类二次根式，∴不能与合并，故D项不符合题意；故选：B．2．下列计算正确的是（）A．＝﹣2 B．3＝1 C． D．3＝【答案】D【解答】解：A.＝2，故不符合题意；B、3＝，故不符合题意；C、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；D、3＝，故符合题意；故选：D．3．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响），则从100m高空抛物到落地所需时间为（）A．2s B．s C．s D．2s【答案】A【解答】解：当h＝100时，t＝＝2（秒），答：从100m高空抛物到落地所需时间是2秒；故选：A．4．计算的结果为（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：原式＝＝＝＝．故选：A．5．与计算结果相同的是（）A． B．2÷ C． D．【答案】C【解答】解：＝＝2，2+≠2，故选项A不符合题意；2＝2，故选项B不符合题意；2×＝2，故选项C符合题意；3×＝3≠2，故选项D不符合题意；故选：C．6．已知﹣，则的解为（）A． B． C． D．．【答案】D【解答】解：∵﹣，∴（﹣）2＝3，∴x+﹣2＝3，∴x+＝5，∴（+）2＝x++2＝7，∴＝±，∵是非负数，∴＝．故选：D．7．已知a＝，b＝1﹣，则a2+ab+b2的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：把a＝，b＝1﹣代入a2+ab+b2中得：（+1）2+（+1）（1﹣）+（1﹣）2，＝3+2+1﹣2+3﹣2，＝5．故选：A．8．若，则代数式x2﹣4x+4的值为（）A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．2023【答案】D【解答】解：∵x＝2+，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝2023，∴x2﹣4x+4＝2023，故选：D．9．若，则的值为（）A． B．5 C． D．2【答案】A【解答】解：原式＝＝＝．故选：A．10．若a+b＝﹣4，ab＝1，则的值为（）A．4 B．﹣4 C．16 D．4或﹣4【答案】A【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，∴a＜0，b＜0，∴＝+＝﹣（+）＝﹣＝﹣＝4，故选：A．二．填空题（共5小题）11．将二次根式化为最简二次根式5．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝5，故答案为：512．已知最简二次根式和是同类二次根式，则m的值是1．【答案】1．【解答】解：＝2，∵最简二次根式和是同类二次根式，∴m+1＝2，解得：m＝1．故答案为：1．13．计算：＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝﹣＝4﹣＝3．故答案为：3．14．计算（﹣）×﹣3＝6﹣7．【答案】6﹣7．【解答】解：（﹣）×﹣3＝﹣﹣＝6﹣6﹣＝6﹣7，故答案为：6﹣7．15．已知x＝，y＝，+﹣4＝30．【答案】30．【解答】解：∵x＝＝3+2，y＝＝3﹣2，∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，∴+﹣4＝﹣4＝﹣4＝﹣4＝34﹣4＝30．故答案为：30．三．解答题（共