新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.2空间点直线平面之间的位置关系课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系学习任务借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．(数学抽象、直观想象)必备知识·情境导学探新知01观察你所在的教室．问题：(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？

任何一个平面内

思考1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？[提示]

不一定．可能平行、相交或异面．思考2．如何画异面直线？[提示]

常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如图①②③．位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点______公共点_____公共点_____公共点符号表示a⊂

αa∩α＝Aa∥α知识点2空间中直线与平面的位置关系无数个一个没有位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行图形表示思考3．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？[提示]

直线l在平面α外包含两种情况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不一定没有公共点．知识点3空间中两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点___________有_____个公共点(在一条直线上)符号表示_______________图形表示没有公共点无数α∥βα∩β＝l思考4．已知两个平面有三个公共点，这两个平面的位置关系如何？[提示]

当三个公共点共线时，两个平面相交或重合；当三个公共点不共线时，两个平面重合．1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条(

)A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行√2．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是(

)A．平行 B．相交C．异面 D．平行、相交或异面D

[若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．]√3．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有____组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有____个．4

6

[六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．]46关键能力·合作探究释疑难02类型1异面直线的判定类型2空间中直线与平面的位置关系类型3平面与平面的位置关系[证明]

假设直线AB与a在同一个平面内，那么这个平面一定经过点B和直线a．因为B∉a，经过点B与直线a只有一个平面α．所以直线AB与a应在平面α内．所以A∈α，这与已知A∉α矛盾．所以直线AB与a是异面直线．类型1异面直线的判定【例1】

(源自湘教版教材)如图，已知a⊂α，A∉α，B∈α，B∉a．求证：直线AB与a是异面直线．反思领悟

判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．[跟进训练]1．(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(

)A．平行 B．异面C．相交 D．平行、相交或异面D

[如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′．故a和c可以平行、相交或异面．]√(2)如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直线中，找出与棱AA′所在直线异面的所有直线．[解]

先把长方体中和棱AA′相交或平行的棱去掉，剩下棱D′C′，B′C′，DC，BC．观察棱BC所在直线，因为AA′⊂平面AB′，B∈平面AB′，B∉AA′，C∉平面AB′，所以直线AA′与BC是异面直线．同理，直线B′C′，D′C′，DC都与直线AA′异面．类型2空间中直线与平面的位置关系【例2】

(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(

)A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内B

直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．√(2)下列说法中，正确的是______．①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．②

如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条，所以错误．②反思领悟

在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．[跟进训练]2．(多选)下列命题中的真命题是(

)A．若直线a不在平面α内，则a∥αB．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αC．若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D．平行于同一平面的两直线可以相交√√CD

[A中，直线a也可能与平面α相交，故A是假命题；B中，直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故B是假命题；C中，l∥α时，l与α没有公共点，所以l与α内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；D中，长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，且A1C1与B1D1相交，故D是真命题．]类型3平面与平面的位置关系【例3】

(多选)以下四个命题中，正确的有(

)A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交√√CD

[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以AB错误．]反思领悟

判定两个平面相交，只需找到两个平面的一个公共点，就可根据基本事实3知，两个不重合的平面是相交的．判定两个平面平行，可根据定义判定两个平面没有公共点，也可以排除两个平面相交和重合，从而判定两平面平行．[跟进训练]3．(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(

)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定C

逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．√(2)长方体各面所在平面将空间分成____部分．27

分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分．27学习效果·课堂评估夯基础0312341．不平行的两条直线的位置关系是(

)A．相交 B．异面C．平行 D．相交或异面√D

[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]2．在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是(

)A．SB

B．SC

C．BC

D．AB1234√C

[由题图知SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．]3．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是______．1234相交[∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．]相交4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有______条，正方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有______个．12344

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[与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个．]43回顾本节知识，自主完成以下问题：1．空间中两直线的位置关系有哪几种？如何判断它们的位置关系？[提示]

空间两条直线有相交、平行、异面三种位置关系．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．空间中直线与平