2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题01（人教A版2019选择性必修第一册：空间向量与立体几何 直线与圆 圆锥曲线）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。5．难度系数：0.60。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.故选A.2．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】延长交于点，则点为的中点，因为，所以，所以，所以，所以，因为，，，所以，故选C.3．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，直线与平行；当直线与直线平行时，有且，解得，故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选A.4．直线与圆交于两点，则的面积为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为，过点作于，由到直线的距离为,则,故的面积为.故选B.5．双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】由双曲线方程易知C的渐近线为，所以，则.故选C.6．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设Ax1,y1,Bx2,y2，所以，两式相减可得，整理可得，根据题意可知直线的斜率为，由的中点坐标为可得；因此，可得，又焦点为可得，解得；所以椭圆的方程为.故选A.7．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.圆心到直线l距离为，因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.故选D.8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】点在抛物线上，把点代入中得，则，所以抛物线为，直线，与抛物线方程联立可得，，则，则，，则，所以用替换可得，则，则，故，直线，即，则点到直线的距离，，，，而，令，因为，所以，故，当且仅当，即时等号成立，故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（

）

A．当点为中点时，平面B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值D．点到直线距离的最小值为【答案】ACD【解析】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，对于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，B错误；对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积，因此三棱锥的体积23是定值，C正确；对于D，，则点到直线的距离，当且仅当时取等号，D正确.故选ACD10．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（

）A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为B．的面积最大值为1C．若原点始终在动弦上，则不是定值D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对于A，圆的圆心为1,0，半径为，圆的圆心为，半径为，当圆和圆存在公共点时，，所以，解得，所以实数的取值范围为，正确；对于B，的面积为，当时，的面积有最大值为1，正确；对于C，当弦垂直x轴时，，所以，当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为，与圆联立得，，设，则，，综上，恒为定值，错误；对于D，设Px0,y0，OP中点，该点也是AB中点，且，又，所以，化简得，所以点的轨迹为以1,0为圆心，半径为的圆，其周长为长度为，正确.故选ABD.11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（

）A．点在曲线上B．点在上，则C．点在椭圆上，若，则D．过作轴的垂线交于两点，则【答案】ACD【解析】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，化简得，所以，，B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以，C正确；对选项D，设，则，因为，则，又，所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为．

【答案】【解析】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，所以，，所以，则直线与所成角的余弦值为，故答案为：.13．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是【答案】或．【解析】圆，则圆心为，半径，设两切点为，则，因为，在中，，所以,因此只要直线上存在点，使得即可满足题意．圆心，所以圆心到直线的距离，解得或．故答案为：或．

14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为.【答案】【解析】不妨设点在第一象限，连接，则，故，，设，因为，所以为的中点，，故.，将代入中，故，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知的平分线所在的直线的方程为．(1)求AB的中垂线方程；(2)求AC的直线方程．【解析】（1）的中点坐标为，又，-----------------------------2分故AB的中垂线斜率为4，---------------------------------------------------------------------------------------------4分故AB的中垂线方程为，即；----------------------------------------------------6分（2）由对称性可知，关于的对称点在直线上，故，-----9分解得，故，-----------------------------------------------------------------------------------------------11分故直线的方程为，即.---------------------------------------------------------13分16．（15分）已知圆C的方程为：．(1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；(2)过点作圆C的切线，求切线方程．【解析】（1）圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2，--------------2分直线与圆相交于、两点，且，则，----------4分解得或；--------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，-------------------------------------------------------8分切线的斜率存在时，可设切线为，即，---------------------------------------9分由切线的定义可知，，解得，---------------------------------------------------------13分故切线方程为，综上所述，切线方程为或．-------------------------15分17．（15分）如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，.(1)证明：平面BOP；(2)若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值.【解析】（1）平面，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.设，故，，-----------------------------------------------------------2分，..-------------------------------5分故，平面，平面.---------7分（2）圆锥PO的侧面积，，由（1）可知，为平面的法向量，---------------------------------------------------------8分设平面的法向量为，而，，故，令得，-----------------------------------------------12分则，所以二面角的余弦值为.----------------------------------------------------------------------------15分18．（17分）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率．(1)求双曲线的方程；(2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值．【解析】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以双曲线的，又因为，所以，所以双曲线的方程为.---------------------------------------5分（2）当直线的斜率不存在时，设，则，，依题意，，即，由解得或（舍去），所以，此时到直线的距离为.------------------------------------------------------------------------------8分当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为.由消去并化简得：，①，，------------------------------------------------------------------------------10分依题意，所以，整理得，即，由于直线，，所以，函数的开口向上，判别式为，故①成立.所以直线的方程为，即，------------------------------------------------------------------------------13分所以到的距离，，当时，；当时，当且仅当时等号成立.所以.综上所述，点到直线的距离的最大值为.--------------------17分

19．（17分）已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点.（i）求点的轨迹方程；（ii）求周长的最小值.【解析】（1）由题意得，直线的方程为，即，当时，，故，由解得或（舍去），椭圆的方程.------------------------------------------------------------------------------3分（2）（i）设直线：，，Mx1,y1，与联立，所以，，------------------------------------------------------------------------------5分由可得；化简可得①--------------------7分设的方程为，即，与联立，令，结合，解得，所以切线方程为，即