2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题（上海专用测试范围：沪教版2020必修第三册第十-十一章）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。5．难度系数：0.65。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．“点A在直线上”用符号语言可以表示为.【答案】【解析】A在直线上，即故答案为：2．在正方体中，，则直线到平面的距离为．【答案】2【解析】根据正方体的性质可知，.又平面，平面，所以，平面.所以，点A到平面的距离，即等于直线到平面的距离.又平面，所以点A到平面的距离即为.所以，直线到平面的距离为2.

故答案为：2.3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是．【答案】【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为.故答案为：4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为．【答案】【解析】在正方体中，连接，正方体的对角面是矩形，则，因此是异面直线与所成的角或其补角，而，即是正三角形，则，所以异面直线与所成的角为.故答案为：5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为．【答案】3【解析】由已知得该圆锥的高为.故答案为：3.6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为

.【答案】8【解析】在坐标系中作出直观图对应的原图形，它是直角梯形，如图.易得，，，故原梯形的面积为：，故答案为：8.7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为.【答案】/【解析】设斜线和平面所成角为，则，.故答案为：.8．已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为．【答案】【解析】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为，，球的半径为，因为，所以，又，所以，当两截面在球心的同侧时，，解得，球的表面积为；当两截面在球心的同侧时，，无解；综上，所求球的表面积为.故答案为：.9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是．

【答案】45°【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD，又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．故答案为：45°．10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.（1）直线与直线相交；（2）直线与直线平行；（3）直线与直线是异面直线；（4）直线与直线成角.【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体，可得与为异面直线，故（1）错误；与为异面直线，故（2）错误；直线与直线是异面直线，故（3）正确；连接，，由正方体的性质可得，所以为异面直线与直线所成的角，因为为等边三角形，所以，即直线与直线所成角为，故（4）正确；故答案为：（3）（4）．11．设和都是平面的垂线，其垂足分别为.已知，那么线段.【答案】或【解析】如图所示，因为和都是平面的垂线，其垂足分别为，可得，且，如图（1）所示，当点在平面的同侧时，过点作，垂足为，则，又因为，可得，在直角中，可得.如图（2）所示，当点在平面的两侧时，过点作的延长线的垂线，设，垂足为，则，又因为，可得，在直角中，可得.故答案为：或.12．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线OP与平面OAB所成角为，则的最大值是．【答案】【解析】如图，过点作，交的延长线于点，连接，，取的中点为，连接，过点作，垂足为，平面平面，且平面平面，平面，，，平面，在平面上的射影就是直线，故就是直线与平面所成的角，即，，，又，，，平面，平面，平面，，故点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆点除外，，且，，设，则，从而，，如图，当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值，取得最大值为：．故答案为：.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列说法错误的是（

）A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【解析】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.故选：B14．已知是直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】若，则有，故可判断A错误.若，则或，故B错误.若，则存在直线与平行，所以，故C正确.若，则或，故D错误.故选：C.15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体，其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长、、，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离（如图）．羡除的体积公式为，过线段，的中点，及直线作该羡除的一个截面，已知刚好将羡除分成体积比为的两部分．若、，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】因为、、，，为线段，的中点，所以且，所以，，即，，因为，即，解得.故选：B16．如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（

）

①直线平面②平面与平面的夹角大小为③三棱锥的体积为定值④异面直线与所成角的取值范围是A．①② B．①③ C．①③④ D．①④【答案】B【解析】如图，连接，正方形中，，正方体的棱平面，平面，，，平面，所以平面，又平面，所以，同理．，平面，所以平面，①正确；因为平面，平面，所以，又平面平面，，平面，平面，则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形，则该角大小为，②错；因为，，，所以，所以四边形为平行四边形，因此有，又平面，平面，所以平面，，因此到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，③正确；由于，因此异面直线与所成角就是与所夹的角，即图中或，设正方体棱长为1，易知，当点为中点时，此时，因为是等边三角形，在线段，因此或中较小的角的范围是，④错误．故选：B．

三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点．(1)求证：点Q在直线DC上；(2)求异面直线与所成角的大小．【解析】（1）平面平面，由于平面，平面，所以，也即点Q在直线DC上.（6分）（2）根据正方体的性质可知，所以异面直线与所成角为，（8分）由于分别是的中点，所以，所以异面直线与所成角的大小为.（14分）18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点．(1)证明：平面ACM(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小．【解析】（1）连接，在平行四边形中，因为为与的交点，所以为的中点，（2分）又为的中点,所以.因为平面平面，所以平面.（6分）（2）取中点,连接,，因为为的中点,所以,且,由平面，得平面，所以是直线与平面所成的角.（8分）因为底面为平行四边形，且，，所以，则，在Rt中,,所以,从而，因为平面,平面,，所以在Rt中，，，所以直线与平面所成角大小为.（14分）19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为.(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为，圆柱高为，则由题意有，得，圆锥高，所以“笼具”的体积.（6分）（2）圆柱的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的侧面积，所以“笼具”的侧面积.（12分）故造50个“笼具”的最低总造价为元.（14分）答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元.20．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．

(1)证明：与平面不垂直；(2)证明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．【解析】（1）若平面，则，由已知，得，（2分）这与矛盾，所以与平面不垂直．（4分）（2）取、的中点、，连接、、，由，，得，，为直角梯形的中位线，（6分），又，∴CD⊥平面PEF，（8分）由平面，得，又且梯形两腰、必交，平面,又平面，平面平面,（10分）（3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角,作于，连，由于平面,平面,故,,平面,故平面平面,所以故为二面角的平面角,（12分）即，由已知，得，又．，．，故二面角的大小为．（18分）

21．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．(1)求证：直线平面；(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．【解析】（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，（2分）因为平面，平面，所以平面；（4分）（2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB，因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC，所以CD⊥平面，故⊥平面，所以,又与互相垂直，,面故面,得.即为直角三角形，（6分）在中，为中点，，所以为的三等分点，设，由