数学教材基础第五章§数系的扩充与复数的引入

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第五章数系的扩充与复数的引入走进学科思想“数形结合思想”是本章最具代表性的数学思想，借助复平面使复数与复平面上的点建立起一一对应关系,从而使复数实现数形转化,为解决复数问题搭建起了一个极其重要的学习平台，比如复数可以用复平面内的点来表示，同时还可用平面向量来表示.其次,“化归思想”也是本章中极为重要的一个数学思想.在处理复数问题时,通常设复数z=x+yi（x,y∈R）,它在复数与实数之间架起桥梁,把复数问题实数化。本章导读知识要点重要指数链接考题学习策略复数概念及复数相等★★★★P311，例4（2007海南、宁夏高考，文15）；P311，例5(2006四川高考，理)在学习过程中,注意与实数有关概念、性质加以对比,加深对复数概念的理解,注意体会复数相等的条件在化复数问题为实数问题中所起到的作用复数的四则运算★★★★★P299,例1(2006浙江高考，理2）；P300，例5(2007广东高考，理2文2）；P300，例6（2007高考全国Ⅰ，理2）；P300,例7（2007高考全国Ⅱ，理3）学习本节应加强与实数有关内容的联系与对比:学习复数加减法的几何学意义时,注意联系向量的加法的平行四边形法则（三角形法则）;学习复数代数形式的乘法法则与复数的加减法一样,可按与两个多项式相乘类似的办法进行，而不必专门记忆公式；学习复数除法时，常采用将分母实数化的方法,另外要注意运用共轭复数及模的有关性质复数的应用★★★★P312，例7(2006上海高考，理5）；P312，例8(2006上海春季高考，18)；P313，例9（2005高考全国Ⅲ，理13）关键要抓住复数与复平面上的点、原点为起点的向量（复数0与原点、零向量对应）三者之间的一一对应关系，并充分利用好复数模的几何意义§1数系的扩充与复数的引入复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的.现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用。复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础，在初等数学范围内,它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便。高手支招1细品教材一、虚数单位i状元笔记i就是-1的一个平方根,-i是-1的另一个平方根.1.我们把平方等于-1的数用i表示，规定i2=-1，其中的i叫做虚数单位。虚数单位的引入是为了使方程x2+1=0,即x2=—1有解，使实数的开方运算总可以实施（即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始。2。i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算仍然成立。i可以与实数进行四则混合运算,是扩充数集的原则之一，这里只提加、乘运算，不提减、除运算，并不是对减、除运算不成立,这和后面在讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则作出规定，而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的，即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理，分清了主次。二、复数的概念1.复数与复数集我们把形如a+bi（a，b∈R)的数叫做复数。其中i做虚数单位。全体复数所构成的集合C={a+bi|a，b∈R｝叫做复数集。2。复数的实部与虚部（1)复数通常用字母z来表示，即z=a+bi(a，b∈R）,这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部,分别用Rez与Imz表示，即a=Rez,b=Imz。【示例】写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数,哪些是纯虚数。4,2—3i，0,+i，5+i，6i.思路分析:要指出这些复数的实部与虚部，我们首先要弄清楚这些复数的完整形式，如2-3i本身已是复数的完整形式，其实部与虚部一目了然，然而像4，6i等形式简化的复数，在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么，我们便马上得出4的实部是4，虚部为0；6i=0+6i,则我们马上可知其实部是0,虚部是6.解：4的实部为4，虚部为0；2—3i的实部为2,虚部为—3;0的实部为0,虚部为0；+i的实部为，虚部为;5+i的实部为5，虚部为;6i的实部为0,虚部为6。4,0是实数，2—3i,+i,5+i,6i是虚数，其中6i是纯虚数。状元笔记1.实数集R和虚数集都是复数集C的真子集，且R∪虚数集=C,R∩虚数集=.2.z=a+bi（a,b∈R）的虚部是b，而不是bi。3。实数也是复数，但是复数不一定是实数，它可能是虚数.（2)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时,叫做虚数；当a=0且b≠0时，叫做纯虚数。即:【示例】实数m取什么值时，复数z=m(m-1）+（m-1）i是(1)实数，（2)虚数，（3)纯虚数。思路分析：由m∈R可知,m（m-1）和m—1都是实数，根据复数a+bi是实数,虚数和纯虚数的条件可以分别确定m的值。解：（1)当m—1=0，即m=1时，复数z是实数。(2)当m-1≠0,即m≠1时，复数z是虚数.(3)当m(m-1)=0，且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数。状元笔记学习复数概念时,要注意复数是“实数部分"与“虚数部分”的复合体，这是一种二元化的记数形式的数。三、复数相等的条件1.复数相等(1)两个复数a+bi与c+di相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等（a=c、b=d）.记作a+bi=c+di.即a+bi=c+di（2)根据两个复数相等的定义知，在a=c且b=d两式中，如果有一个不成立，那么a+bi≠c+di。（3)一个复数等于零的充要条件是这个复数的实部与虚部均为零.即a+bi=0【示例】已知（x+y）+(x—2y）i=(2x—5)+（3x+y)i,求实数x,y的值。思路分析：要求实数x,y的值,我们只要根据两个复数相等的充要条件,使等式两边的实部与虚部分别相等,列出方程组,从而解得实数x，y的值.解：根据两个复数相等的充要条件，可得状元笔记复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现。复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充。2。复数的大小两个实数可以比较大小,但是两个复数至少有一个为虚数时,不可以比较大小.如果两个复数可以比较大小,那么,这两个复数必定全是实数。四、复平面1.用点来表示复数根据复数相等的定义可知,任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而有序实数对（a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.因此,可以用直角坐标系中的点Z(a，b)来表示复数z=a+bi。如右图，原点O（0，0)表示实数0,x轴上的点A(—2,0)表示实数，y轴上的点B(0,1）表示纯虚数i，点C(1，2)表示复数1+2i等。状元笔记复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，这种对应关系架起了联系复数和解析几何的桥梁,使得复数问题可以用几何方法来解决,而几何问题可以用复数方法来解决(即数形结合法）.复平面内,一对共轭复数所对应的点关于实轴对称。2。复平面的定义当直角坐标平面用来表示复数时,就叫做复平面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。3。复数集C与复平面的对应每一个复数在复平面内都有唯一的点和它对应；反过来,在复平面内每一个点也都有唯一的复数和它对应。复数集C和复平面内的所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b)是对应的。状元笔记复数与复平面内的点及向量三者之间建立起了一一对应的关系,这种对应关系是给予复数几何解释的依据.这里要特别注意到向量是以原点为起点的，否则，就谈不上一一对应，因为平面上与相等的向量有无穷多个。五、复数的向量表示1。复数、复平面内的点与向量三者之间的一一对应关系因为复数与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的，而复平面内的点Z（a，b）与以原点为起点、以Z(a,b)为终点的向量一一对应,所以复数z=a+bi也与向量是一一对应的.复数z=a+bi、复平面内的点Z（a,b）和平面向量之间的关系可用下图来表示。这样,复数z=a+bi就可以用向量来表示.为方便起见，常把复数z=a+bi说成点Z或向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数。【示例】在复平面内，分别用点和向量表示下列复数:4，2+i,-i,-1+3i，3-2i。解:如下图，点A,B，C，D,E分别表示复数4,2+i,—i,-1+3i，3—2i。与之对应的向量可用,,来表示。2。复数的模设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z（a,b)，点Z到原点的距离叫做复数的模或绝对值，记作｜z｜.由向量长度的计算公式得｜z|=｜a+bi|=.两个不全为实数的复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小。【示例】已知复数z1=3+4i,z2=—1+5i,试比较它们模的大小.思路分析：要比较两复数模的大小，