数学教材梳理任意角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱丁巧解牛知识·巧学1。任意角的三角函数（1）任意角的三角函数由初中所学可知锐角的三角函数是通过直角三角形定义的.但角的概念推广以后，用直角三角形定义一个角的三角函数就有了一定的局限性。在上一节的学习中我们在直角坐标系中研究了任意角.同样,我们也可以在直角坐标系中定义任意角的三角函数。联想发散初中学习的锐角三角函数是用直角三角形边的比值来定义的，受直角三角形的约束,不能类似地定义任意角的三角函数。如果建立平面直角坐标系，就可用角的终边上点的坐标来定义任意角的三角函数，以进一步研究它的性质。对于一个任意角α，让其顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合，在α的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y）。记P到原点的距离为r，则P与原点的距离r=（如图1-2图1-2当α为锐角时，过P作PM⊥x轴于M，则三角形OMP为直角三角形，则由锐角三角函数的定义可得sinα=,cosα=，tanα=。此定义与初中所学的三角函数的定义实质相同.一般地，对任意α我们规定：①比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=；②比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=；③比值叫做α的正切,记作tanα，即tanα=.此外，比值叫做α的余切，记作cotα=；比值叫做α的正割,记作secα=；比值叫做α的余割，记作cscα=.由初中所学的三角形相似的知识可知对于确定的角α，比值和都是唯一确定的，因此正弦和余弦都是角α的函数。当α=+kπ，k∈Z时,角α的终边与和—的终边相同，都落在y轴上，此时P点的横坐标x为0，比值无意义,即此时tanα无意义，除此之外，对于确定的角α(α≠+kπ,k∈Z),比值也是唯一确定的，所以正切也是角α的函数。正弦函数、余弦函数和正切函数都称为三角函数.联想发散函数是由定义域、值域、对应法则三部分构成的，三角函数的自变量是角，比值是函数值，“求正弦”“求余弦”“求正切"等是对应法则.深化升华对于任意角的三角函数应注意以下几点：①角是“任意角”,当β=2kπ+α（k∈Z）时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等；②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.③三角函数是以“比值"为函数值的函数；三角函数的值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P点的位置无关，即对于确定的角α，这些比值都不会随点P在角α的终边上的位置的改变而改变.④r＞0，但x、y的正负却随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专门研究).误区警示sinα、cosα、tanα等三角函数的记法表示一个整体，离开自变量α的sin、cos、tan等都是没有意义的.例如sinα并不表示“sin”与“α”的乘积，就像函数“f(x)”不表示“f”与“x"的乘积一样，sinα是一个比值，如sin，它表示的正弦值，即sin=.同理，cosα、tanα的意义也是一样的。(2)三角函数值的符号由初中所学过的知识我们知道锐角的三角函数均为正值，现在我们把锐角扩充为任意角，并且用坐标定义了任意角的三角函数，则任意角的三角函数的符号又是怎样的呢？要回答这个问题，这就用到了三角函数的定义：sinα=；cosα=；tanα=.由于r为正值,则角α的正弦值的符号与y的符号相同；角α的余弦值的符号与x的符号相同;角α的正切值的符号取决于x、y的符号,当x、y相同时正切值为正值，当x、y符号相异时正切值为负值.所以,当角的终边在第一象限时,由于角α终边上点的坐标均为正值,故角α的三角函数为正值；当角的终边在第二象限时，由于角α终边上点的纵坐标为正值，横坐标为负值,则角的正弦值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第三象限时，由于角α终边上点的坐标均为负值，则角的正切值为正值,其他的三角函数值为负值;当角的终边在第四象限时，由于角α终边上点的横坐标为正值,纵坐标为负值,则角的余弦值为正值，其他的三角函数值为负值。学法一得三角函数的符号是由角终边所在象限所确定的，要想掌握三角函数的符号,应掌握各象限中的点及坐标轴上点坐标的特点。记忆要诀综合三角函数值在各象限的符号，从取正号方面来看,可记忆为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦",即“一全正"是指在第一象限的各三角函数值均为正；“二正弦”指的是在第二象限只有正弦值为正值；“三正切”指的是在第三象限只有正切值为正值；“四余弦”指的是在第四象限只有余弦值为正值.2.有向线段与三角函数线(1）有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段。类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线,例如数轴就是有向直线.当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号所得的数叫做有向线段的数量，记为AB，为了区分有向线段和它的数量，一般在有向线段前加上“有向线段”。误区警示有向线段AB书写时不能写成BA，这种写法是错误的.这是因为在书写有向线段时,一定要将起点写在前而终点写在后。深化升华当有向线段的方向与有向直线的方向相同时，有向线段的数量为正数；当有向线段的方向与有向直线的方法相反时，有向线段的数量为负数.（2)三角函数线设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，由于角α的三角函数值与点P在角终边上的位置无关，所以为了简单起见，取r=1，即选取角α的终边与单位圆(圆心在原点O,半径等于单位长度的圆)的交点为P点，则sinα=y，cosα=x.如图1-图1又不难得出有向线段OM、OP的长度分别为｜x|、｜y|。若x＞0,则OM看作与x轴同向，OM具有正值x；若x＜0，OM看作与x轴反向，OM具有负值x，所以总有OM=x，同理，有MP=y，所以有sinα=MP,cosα=OM。则有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线和余弦线。过点A(1,0）作单位圆切线，与α角的终边（角的终边在第一或第四象限如图1-2-3中①④）或其反向延长线（角的终边在第二、三象限，如图1-2—3中①②)交于T（1，y′）,则当角的终边在y轴的右侧时，tanα==y′；当角的终边在y轴的左侧时，T（—1，-y′)在角的终边上，此时tanα==y′.又有向线段AT的长度为｜y′｜，当y′＞0时，有向线段AT与y轴方向相同,此时有y′=AT;当y′＜0时，有向线段AT与y轴方向相反，此时有y′=AT,所以tanα=有向线段MP、OM、AT统称为三角函数线.误区警示书写正弦线时，一定要注意不能写成PM，而应写成MP.这是因为三角函数线为有向线段，当线段中含有原点时,原点为起点；当线段中不含原点时，垂足为起点，对于正切线应注意其起点坐标始终是(1，0).当角α的终边在x轴上时，正弦线和正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变为一个点，而正切线不存在。辨析比较三角函数线都是有向线段,当它们的方向与坐标轴的方向相同时,对应的三角函数值为正值；当它们的方向与坐标轴的方向相反时，对应的三角函数值为负值.正弦线的起点在x轴上,且与y轴平行，余弦线的起点是原点，它在x轴上，正切线的起点为(1,0），它与y轴平行。学法一得学习三角函数线，应从它的方向和它与坐标轴的位置关系入手.由于角的集合和实数的集合之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，在弧度制下三角函数的定义域如下：y=sinαRy=cosαRy=tanα{α｜α≠kπ+(k∈Z）｝利用三角函数线，我们可以比较两个角同名三角函数值的大小、求已知三角函数值所对应的角、解简单的三角不等式、求三角函数的定义域等.同时它也是学习三角函数的图象和性质的基础。深化升华正弦线、余弦线、正切线解释了正弦函数、余弦函数、正切函数的几何意义，是从“形”的方面研究三角函数，直观、形象.3。同角三角函数关系（1)公式的推导方法一：设角α终边与单位圆交于点P，则P点的坐标为(cosα,sinα)，又由OP的长度为1不难得出sin2α+cos2α=1；由正切函数的定义,可知当α≠+kπ，k∈Z时，有tanα=。方法二：由于sinα=,cosα=，tanα=,cotα=，当α≠kπ+（k∈Z）时,有=·==tanα;又x2+y2=r2，所以sin2α+cos2α=（)2+(）2===1。由上我们可得以下公式：sin2α+cos2α=1,tanα=。(2）公式的变形如：sin2α+cos2α=1可变形为sin2α=1-cos2α、sinα=±（α为第一、二象限角取正号；α为第三、四象限角时取负号）等.=tanα可变形为sinα=tanα·cosα、cosα=等.深化升华对于同角三角函数关系应注意：①“同角"的概念与角的表达形式无关,它可以是正角、负角和零角,也可以是具体的角,还可以是字母或代数式。如:sin23α+cos23α=1，=tan等，均成立.②上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内才能成立.③据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根，会出现两个解的情况，因此应尽可能少用（实际上,至多只用一次）。误区警示对于同角三角函数基本关系式应以“同角”为大前提，比如sin2α+cos2β=1就不一定成立了，这是因为等式中的两个角不相同.此外等式tan=也不成立，这是因为tan不存在，因此,同角三角函数基本关系式必须在使三角函数有意义的范围内使用。（3）公式的应用利用同角三角函数关系：sin2α+cos2α=1，tanα=，我们可以求值——即已知一个三角函数值求该角的其他三角函数值；化简含有三角函数的式子和证明三角恒等式。①求值利用同角三角函数基本关系式求值常见的有三种类型：1）已知角α的某一三角函数值及角α所在的象限，求角α的其他三角函数值。事实上，如果已知角α的某一三角函数值及角α所在的象限,那么角α就是确定的,α的其他三角函数值也就随之确定了。解此类题的难点是如何根据角α终边所在的象限求出它的其他三角函数值，其突破点是正确运用平方根及象限角的概念.2）已知角α的某一三角函数值，但不知角α终边所在的象限,求角α的其他的三角函数值。事实上，如果已知角α的某一三角函数值，但不知角α终边所在的象限，那么角α的终边位置一般有两个.解此类题的难点是如何根据角的三角函数值确定角的终边位置,进而求出其他的三角函数值,其突破点还是正确运用平方根及象限角的概念.3)已知角α的某一三角函数值是用字母给出的，且没有指定角α所在的象限，求角α的其他三角函数值。解此类题的一般步骤是:首先对字母分类;其次在各类中按第（2）类中的解法解题.误区警示已知角α的某一三角函数值，求角α的其他三角函数值时，极易产生遗漏，比如已知sinα=，在求cosα的值时,极易得出cosα=这一错误结论。产生遗漏的原因：一是没有确定好或不去确定角α终边的位置；二是利用平方关系时，漏掉了负的平方根。②化简化简实际上是一种没有指定答案的恒等变形，但要尽量把结果化成最简形式.化简的思路是：尽可能地化为同类三角函数后再化简.对于三角函数式的化简结果应满足下述要求：函数的种类尽可能地少；次数尽可能地低；尽可能地化为积的形式；尽可能地不含三角函数;尽可能地将根号内的式子移到根号外.③利用同角三角函数的关系式证明三角恒等式证明恒等式的过程实质上就是通过分析、转化和消去等式两边的差异来促成两边统一的一个过程。常见的证明方法有：1)从等式的一边开始,证明它等于另一边；2)先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立;3）证明左、右两边都等于同一个式子；4）比较的方法证明三角恒等式,即证明两边差为零或商为1。4。三角函数的诱导公式（1)三角函数诱导公式由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，即有sin(2kπ+α)=sinα，k∈Z,cos(2kπ+α）=cosα，k∈Z,tan(2kπ+α）=tanα,k∈Z,我们称此组公式为公式一，此外这组公式也可以记为sin(360°k+α）=sinα,k∈Z,cos(360°k+α）=cosα,k∈Z,tan（360°k+α)=tanα,k∈Z。公式一的作用是可以将任意角的三角函数转化为0°—360°范围内的角的三角函数.若角α的终与角β的终边关于x轴对称(如图1-图1-2-4sinβ=—sinα，cosβ=cosα。又-α与α的终边关于x轴对称，故有sin（—α）=—sinα,cos(-α)=cosα,tan（-α)=—tanα,我们称此组公式为公式二.由此公式,我们可知正弦函数和正切函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。联想发散由诱导公式二的推导过程，可知正弦、余弦函数的图象分别关于原点和y轴对称。这个性质就是我们后面所讲的正弦函数和余弦函数的奇偶性.公式二的作用是将负角的三角函数转化为正角的三角函数。若角α的终边与角β的终边关于y轴对称（如图1—图1-2-5sinβ=sinα，cosβ=—cosα.又角π—α与α的终边关于y轴对称，故有sin(π—α）=sinα,cos(π-α)=—cosα,tan（π-α)=—tanα，我们称此组公式为公式三,此外这组公式也可以记为sin(180°—α)=sinα,cos（180°—α)=-cosα,tan(180°-α）=-tanα,公式三的作用是将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.若角α的终边与角β的终边关于原点对称（如图1-图1sinβ=—sinα，cosβ=—cosα。又角π+α与α的终边关于原点对称，故有sin(π+α)=—sinα,cos（π+α)=-cosα，tan（π+α）=tanα,我们称此组公式为公式四，此外这组公式也可以记为sin(180°+α）=-sinα，cos(180°+α）=-cosα，tan（180°+α）=tanα，公式四的作用是将第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.记忆要诀对上面四组诱导公式，可简记为“函数名不变，符号看象限”.具体方法如下：此四组诱导公式不改变函数的名称，在判断符号时，将α视为锐角，然后确定α＋k·360°（k∈Z)，—α，180°±α的终边位置,利用它们的终边位置来确定符号.比如sin(180°—α）与sinα的关系,若将α视为锐角,则180°-α是第二象限，正弦值为正值,则有sin(180°-α)=sinα.若角α的终边与角β的终边关于直线y=x对称（如图1—图1-2-7sinβ=cosα,cosβ=sinα。又角-α与α的终边关于y轴对称，故有sin(-α）=cosα，cos（—α）=sinα.我们称此组公式为公式五,此外这组公式也可以记为sin(90°—α)=cosα,cos（90°-α)=sinα.又sin（+α）=sin［-（—α)]=cos（—α)=cosα,cos（+α)=cos［—(—α)］=sin(—α）=—sinα.故有sin（+α）=cosα，cos（+α）=—sinα，我们称此组公式为公式六，此外这组公式也可以记为sin（90°+α）=cosα，cos（90°+α）=—sinα。以上六组公式我们称它们为三角函数的诱导公式。记忆要诀对上面两组诱导公式,可简记为“函数名称变互余，符号看象限”.具体方法如下:这两组诱导公式改变函数的名称，在判断符号时，将α视为锐角，然后确定90°±α的终边位置,利用它们的终边位置来确定符号.比如sin（90°-α）与cosα的关系,若将α视为锐角,则90°—α是第一象限,余弦值为正值,则有sin（90°—α)=cosα.深化升华上面六组诱导公式可归纳为k·90°±α（k∈Z)的三角函数值与α三角函数值之间的关系，当k为偶数时得角α的同名三角函数值,当k为奇数时得角α的异名三角函数值。然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号。可简记为“奇变偶不变，符号看象限”。辨析比较诱导公式所揭示的是终边具有对称关系的两个角的三角函数之间的关系。它实现了不同角的三角函数之间的转化，而同角三角函数关系式所揭示的是同角的三角函数之间的关系,实现的则是同角的三角函数名称之间的转化.对于诱导公式应注意：公式中的角α为任意角，它可以是正角、负角和零角,也可以是具体的角,还可以是字母或代数式。(2）诱导公式的作用与应用诱导公式的作用在于化任意角的三角函数为0°—90°范围内的角的三角函数.其步骤为：将任意角的三角函数化为相应正角的三角函数,再化为0°—360°范围内角的三角函数,进而化为锐角的三角函数。这一转化过程充分体现了将未知化为已知的化归思想.记忆要诀上述步骤可简记为“负化正,大化小,最后化锐角".利用诱导公式,我们可以处理三角函数的求值、化简和证明的有关问题。典题·热题知识点1任意角的三角函数例1（1)已知角α的终边经过点P(7m，-24m(2）已知角α的终边经过P(4a,-3a思路分析：本题主要利用三角函数的定义.(1)中点位置确定，则可先设出一点，求出点到原点的距离，然后利用定义求解即可；（2）中点的坐标中含参数，则需分类讨论.解：（1）由定义及已知可得r==-25m，所以sinα==，cosα==。所以sinα+cosα=。(2）由于r==5|a｜。若a＞0，r=5a,则sinα==-,cosα==，∴2sinα+cosα=。若a＜0，r=—5a，则sinα==,cosα==-,∴2sinα+cosα=.方法归纳如果角α的终边上一点的坐标已经确定，则可根据三角函数的定义求其三角函数值。若点坐标中含有参数时，可根据具体情况来决定是否进行分类讨论.例2已知点P（x,3）在角α的终边上，且sinα=,求tanα。思路分析:由三角函数的定义可以通过sinα=得到点P的横坐标,从而再用tanα=求出tanα的值.解：由于r=，则有sinα==，由此可得x=±4。所以tanα===±.方法归纳本题的关键是根据角α的正弦列出方程，从而根据三角函数的定义来求角的正切值。例3已知θ是第三象限角且cos＜0，问是第几象限角？思路分析：解题的关键是将角θ的范围表示出来，进而表示出的范围，再根据cos＜0来确定的终边位置。解：由于θ是第三象限角，则有（2k+1)π＜θ＜（2k+1）π+(k∈Z）,∴kπ+＜＜kπ+(k∈Z)，则是第二或第四象限角.又∵cos＜0，则是第二或第三象限角。∴必为第二象限角.方法归纳已知角的范围可知其三角函数的符号,反过来，已知一个角的三角函数的符号，我们也可以判断出其大致范围.深化升华当角的正弦值为正值,则角的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，当角的正弦值为负值,则角的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上;当角的余弦值为正值，则角的终边在第一、四象限或x轴的正半轴上，当角的余弦值为负值,则角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上；当角的正切值为正值，则角的终边在第一、三象限，当角的正切值为负值，则角的终边在第二、四象限。知识点2有向线段与三角函数线例4分别作出和-的正弦线、余弦线和正切线．思路分析：利用单位圆中三角函数线的作法作图．解：(1)在直角坐标系中作单位圆，如图1—2—8，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M,由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin=MP,cos=OM,tan=AT，即的正弦线为有向线段MP,余弦线为有向线段OM,正切线为有向线段AT．图1（2)同理可作出-的正弦线、余弦线和正切线,如图1—2sin(—)=M1P1，cos(-)=O1M1，tan(-）=A1T1，即-的正弦线为有向线段M1P1,余弦线为有向线段O1M1,正切线为有向线段A1T1．图1-2方法归纳三角函数线是单位圆中的有向线段，在作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆。正弦线的起点在x轴上且与y轴平行，余弦线在x轴上，以原点为起点，正切线的起点为(1,0）且与y轴平行,这就是画三角函数线的主要依据.例5已知sinα=，求出角α的终边,然后求出角α的取值集合。思路分析:可利用单位圆中的有向线段-—三角函数线求角的取值集合.解：如图1—2—10，已知角α的正弦值为，可知MP=，则P点的纵坐标为，所以在y轴上取点(0，），过点作x轴的平行线，交单位圆与M、N两点,则OM、ON为角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+，k∈Z}.图1方法归纳利用三角函数线求已知三角函数值所对的角的集合时，首先在［0，2π)内找出符合条件的角，再用终边相同的角的集合表示出来即可。例6利用三角函数线比较下列各组数的大小：（1）sin与sin;(2)tan与tan.思路分析：画出三角函数线，利用三角函数比较大小.解：如图1-2-11，作出和的正弦线和正切线，在图中，P1M1和AT1分别为的正弦线和正切线，P2M2和AT图1-2由图可知sin＞sin，tan＜tan.方法归纳三角函数线是三角函数值的体现，从三角函数线的方向可看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值。因此,比较两个三角函数值的大小,可以借助三角函数线。例7求下列函数的定义域:(1）y=;(2）y=+log2（2sinx-）。思路分析：(1）中要使根号有意义；(2）中要使根号和对数式都有意义.解：(1）由题意得即由图1—2-图1｛x|+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z｝.(2)如图1-2图1即所以函数y=+log2（2sinx—)的定义域为｛x｜-＜x＜—或＜x＜或＜x＜}.方法归纳函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，求函数的定义域一般是解不等式或不等式组.在求不等式或不等式组的解集时,要注意分清是求交集还是求并集。解简单的三角不等式一般是利用单位圆中的有向线段，此外解简单的三角不等式也可以利用三角函数的图象。在求解时,首先找出它在区间［0,2π］上的解集，再根据它的周期性求出其在实数范围或其他范围内的解集.知识点3同角三角函数关系例8(1)已知α是第三象限角，且sinα=-,求角α的余弦、正切.（2）已知cosα=—，求sinα，tanα的值.（3)已知tanα是非零实数，用tanα表示sinα，cosα.思路分析:利用基本关系式、公式变形和分类讨论的数学思想.解：(1）因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=1-sin2α=1-(-)2=.又因为α是第三象限角，所以cosα＜0.于是cosα=—=—。从而tanα==（—)×（—）=。（2)因为cosα＜0,且cosα≠-1,所以α是第二象限或第三象限的角。如果α是第二象限的角，则有sinα=,tanα==×（-）=—。如果α是第三象限的角，则有sinα=—，tanα=.(3)因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α=1—cos2α.又因为=tanα，所以tan2α===—1.于是=1+tan2α，cos2α=.由tanα是非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上。从而cosα=sinα=tanα·cosα=深化升华利用同角三角函数基本关系式，在已知一个三角函数值而求其他三角函数值时,应首先根据所给三角函数值和已知条件判断角的终边位置,如果没法判断的话应注意分类讨论.而在具体求解时应首先利用平方关系，再利用其他关系。例9已知sinα=，cosα=,α是第四象限角,求tanα的值。思路分析：利用同角三角函数关系式.解：∵sin2α+cos2α=1，∴()2+()2=1。化简，整理得m（m—8）=0,∴m1=0,m2=8。当m=0时,sinα=,cosα=—(与α是第四象限角不符);当m=8时,sinα=—,cosα=,∴tanα=-.方法归纳在平时解题时要注意题中的隐含条件,如本题中就隐含着（）2+(）2=1这一条件.例10已知sinα=3cosα,求下列各式的值.(1);（2)sinαcosα；(3)3sin2α+2.思路分析：若由sinα=3cosα可得tanα=3，求sinα、cosα的值，则要将α分为一、三象限讨论，那么sinα、cosα的正负号就不确定了，所以解本题要注意应用基本关系式.对于(2)（3）两题还应注意“1”的代换.解：由sinα=3cosα,根据基本关系式可得tanα=3。(1).(2)∵sinαcosα===，又tanα=3,代入得sinαcosα===.(3)3sin2α+2=3sin2α+2（sin2α+cos2α）=5sin2α+2cos2α==。方法归纳这类题的解法体现了化归思想的应用,即对只含有正弦、余弦的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化成只含有正切的式子.这种化弦为切的技巧，有着广泛的应用。深化升华凡是分子、分母是某个角的正弦、余弦函数的齐次多项式，都可以用这个角的正切函数来表示。在三角知识中“1"的变换很多，除了平方关系之外,还有为了凑出某个公式的条件，也可以乘以“1”。例11已知f（x)=。若α∈(，π)，则f(cosα)+f（-cosα）可化简为_________________。思路解析：本题化简的主要目的是去根号，可首先“凑”同角三角关系式，以达到去根号的目的.由已知可得f(cosα)+f（-cosα)===+。又α∈（，π），f（cosα)+f(—cosα）=+=。答案：方法归纳根式型三角函数式的化简目的应化为“最简根式”或不含根号的式子。在本题化简的过程中含有绝对值,在去绝对值时一般要分类讨论,由于本题中角的象限已给，故不必讨论。例12求证：=。思路分析：本题的证法较多，可从左推右,可证左右归一，也可由右推左。此题很好地体现了证明三角恒等式的一些常用方法。证明:（方法一)左边===。右边====.∴左边=右边，原等式成立。（方法二）左边====+=+==右边.(方法三）左边=====右边.（方法四)左边=(tanα+sinα)·=（tanα+sinα)·=（tanα+sinα）·=(tanα+sinα）·==右边.（方法五）∵tan2αsin2α=tan2α（1—cos2α),∴tan2αsin2α=tan2α-sin2α。∴=.方法归纳本题列举了五种证法，其中证法一是切化弦的思想，这是利用基本式化简三角式和证明三角恒等式常用的思想方法;证法二、证法三涉及到了添项的方法，有一定的技巧性；证法四强调了一个目标意识，即右边有tanα+sinα这一项，在左边运算时保留这一项；证法五利用了证明等价命题的方法，较为简洁.例13已知x=acosα,y=bsinα(a≠0，b≠0)，求证：=1。思路分析:利用同角三角函数关系式,即sin2α+cos2α=1。证明：由已知可得cosα=,sinα=,又sin2α+cos2α=1，所以有=1.方法归纳证明具有条件的三角恒等式，要树立目标意识,仔细分析所要证明的式子的结构特征，不断调整证明过程中式子的结构，向目标迈进.本题中sin2α+cos2α=1起到了架设桥梁的作用.例14已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1。思路分析：该题是条件恒等式的证明，关键是条件等式的应用。证法一:由已知得tan2β=，则sin2β======-1=2sin2α—1。证法二:由已知tan2α=2tan2β+1，得=+1,sin2α·cos2β=2sin2β·cos2α+cos2α·cos2β，即sin2α（1-sin2β）=2sin2β·cos2α+cos2α(1-sin2β），整理得sin2β（sin2α+cos2α）=sin2α-cos2α.∴sin2β=sin2α—（1—sin2α)=2sin2α—1.方法归纳条件等式的证明一般有两种思路，一是当从欲证等式的一边推向另一边的适当的时候将条件代入，二是直接将条件等式变形为欲证等式。例15已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），求tanθ及sin3θ—cos3θ的值.思路分析：本题主要应用sinα±cosα与sinα·cosα的关系。解：由sinθcosθ=—，0＜θ＜π，得cosθ＜0,∴θ∈（，π）。（sinθ—cosθ）2=,得sinθ-cosθ=。联立tanθ=—.又sin3θ-cos3θ=（）3—（—)3=，或sin3θ—cos3θ=（sinθ—cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）=×(1—)=.方法归纳当题目的已知条件中出现“sinx±cosx”或“sinxcosx”时,可考虑利用等式“（sinx±cosx)2=1—2sinxcosx"解题.巧妙变式在上面的题目中，直接给出了已知sinα±cosα的值，然后利用sinα±cosα与sinα·cosα的关系使题目得到解决。本题也可以变换条件,由于sinα、cosα和差与积有一定的关系，因此,也可以将它们与一元二次方程联系在一起。例如:关于x的方程2x2—（）x+m=0的两根为sinα和cosα，且α∈(0,2π)，(1)求+的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时的角α.思路解析:利用同角基本关系式和一元二次方程根与系数的关系解题.对于(1）先将其化简,再利用一元二次方程根与系数的关系找出sinα和cosα之间的关系代入求值即可;对于（2)则直接利用根与系数的关系求解;（3)则在(2)的基础上求出sinα和cosα的值，然后在(0,2π)内找角即可.知识点4诱导公式例16求sin315°-sin(-480°)+cos(-330°)的值。思路分析:利用诱导公式化为锐角的三角函数值后再求值。解：原式=sin(360°—45°）+sin（360°+120°）+cos(-360°+30°）=-sin45°+sin60°+cos30°=。方法归纳应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1°用“—α”公式化为正角的三角函数；2°用“2kπ+α"公式化为［0,2π]角的三角函数；3°用“π±α”或“2π-α"公式化为锐角的三角函数。例17(1）已知sin(3π+α)=—，求的值.(2）已知cos（-α）=，求cos(+α）—sin2（α—)的值．（3）已知方程sin（α-3π)=2cos(α—4π),求的值.（4)已知tan（π-α）=a2,｜cos(π-α)|=-cosα,求的值.思路分析：(1)（3）先利用同角三角函数基本关系式和诱导公式将条件和所求化简后再求值;(2)应注意—α与+α的关系；(4)要注意题目中的隐含条件。解：（1）∵sin（3π+α）=sin(π+α）=—sinα,∴sinα=。∴原式==—sinα=-.（2）cos(+α）=cos［π-（—α)］=-cos(—α）=-,sin2（α-）=sin2［—（—α）］=1-cos2（-α）＝1—（)2=，∴cos(+α)-sin2(α—）=--=-.(3)∵sin(α-3π)=2cos（α-4π)，∴—sin（3π-α)=2cos（4π-α).∴-sin(π-α)=2cos(-α).∴sinα=-2cosα，且cosα≠0.∴原式==-.(4）由题设：tanα=—a2≤0,｜cosα|=—cosα,即cosα≤0。由此：当a≠0时，tanα＜0，cosα＜0，α为第二象限角，∴原式=—=-secα=。当a=0时，tanα=0,α=kπ，∴cosα=±1。∵cosα≤0,∴cosα=—1.∴原式=—=1=（a=0）。综上所述,=.方法归纳对于条件和结论比较复杂的求值问题，一般需要先将条件化简后再求值.深化升华利用诱导公式时要注意公式中的角是任意角，它可以是具体的数,也可以是代数式,且还应注意诱导公式是恒等式可以左右互推.例18求证：=-1,k∈Z。思路分析：利用诱导公式时，要注意对k分类讨论,即分为奇数和偶数.证明：若k是偶数，即k=2n（n∈Z），则左边===-1，若k是奇数,即k=2n+1（n∈Z),则左边===—1.∴原式成立。方法归纳本题根据诱导公式的转化功能，需对k进行分类讨论，即分为奇数、偶数两类分别讨论,这种分类方法是解题的需要,决不是人为随意的构想.例19设f（α）＝，求f（）.思路分析：化简f(α）后，再运用诱导公式求f（）的值.解：由于sin(360°-α）=sin[360°+(-α）］=sin（—α）=-sinα,sin（90°+α）=cosα，cos(180°+α)=—cosα，所以有f（α）===.又cos=，所以f(）=.方法归纳在求值问题中，当所求的是一个代数式的值时，一般先化简代数式,再求值.例20判断下列函数的奇偶性.（1)f(x）=x2+cosx；（2）f（x)=xcosx+sinx。思路分析：应用函数奇偶性的判断及正余弦函数的诱导公式。解：(1）因为函数的定义域为R，关于原点对称，又f（-x）=(—x）2+cos(—x)=x2+cosx=f（x）,所以函数f(x）=x2+cosx是偶函数.（2）因为函数的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=（-x）cos（—x）+sin（—x）=-xcosx-sinx=-f（x)，所以函数f（x)=xcosx+sinx是奇函数.方法归纳判断函数的奇偶性主要是利用函数奇偶性的定义，找出f（x)与f（—x)的关系，进行判断.深化升华函数的奇偶性是函数的一种性质,所以在研究函数的奇偶性时，应首先研究函数的定义域。只有定义域关于原点对称的函数才有可能具有奇偶性，否则它既不是奇函数也不是偶函数。巧妙变式本例中所给的函数的解析式不需要化简就可以直接找出f(x)与f(-x）的关系进行判断,但有些函数在判断其奇偶性时,需要将其解析式化简后才能判断。例如判断函数y=Asin(+x）(A≠0)的奇偶性．思路解析：先利用诱导公式将函数的解析式化为最简形式，再利用奇偶性的定义进行判断.问题·探究交流讨论探究问题1教材中同角基本关系式只给出“sin2α+cos2α=1”和“tanα=”两种，结合所学过的三角知识,你还能找出什么关系式？探究过程：学生甲：由于sinα=，cosα=，secα=，cscα=,则可得出sinαcscα=1,cosαsecα=1.学生乙：由于cotα=，tanα=，则可以得出tanαcotα=1，cotα==cosαcscα等一些结论.学生丙:由于x2+y2=r，则1+tan2α===sec2α.学生丁：除了上面的结论之外还有1+cot2α=csc2α,再根据上面的结论还可以得到许多不同的结论，如cos2α=、sin2α=等。探究结论：根据三角函数的定义可以得到如下一些常见的结论，如:sinαcscα=1，cosαsecα=1，tanαcotα=1,cotα=