2024-2025学年山西省晋中市平遥县部分高中学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山西省晋中市平遥县部分高中学校高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,−2,3)，B(−3,0,1)，则线段AB的中点坐标是(

)A.(−1,−1,2) B.(1,1,−2) C.(2,2,−4) D.(−2,−2,4)2.已知a=(3,−2,−3)，b=(−1,x−1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(

)A.(−2,+∞) B.(−2,53)∪(53,+∞)3.若a=(x,2y−1,−14)是平面α的一个法向量，且b=(−1,2,1)，c=(3,1A.(−2752,−5326,−14)4.已知点A(1,4)，B(3,−2)，则经过线段AB的中点，且与直线x−2y+9=0平行的直线的方程为(

)A.x−2y−8=0 B.x−2y=0 C.2x+y−10=0 D.2x+y−5=05.若直线l：Ax+By+C=0的倾斜角为α，则“A⋅B<0”是“α不是钝角”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知点A(1,2)，B(a,b)，C(c,d)，若A是直线l1：ax+by+1=0和l2：cx+dy+1=0的公共点，则直线BC的方程为(

)A.x+2y−1=0 B.x+2y+1=0 C.2x+y−1=0 D.2x+y+1=07.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC=2π3，则折后平面OEF与平面ABC的夹角的余弦值为(

)A.31111

B.1111

8.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，PA.1−3−2 B.1+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间中三点A(0,1,0)，B(1,2,0)，C(−1,3,1)，则下列说法正确的有(

)A.|AB|=2 B.AB//AC

C.AC⋅10.直线l过点P(−1,2)，倾斜角为α，且tanα2=43，则直线A.(0,−107) B.(−512,0)11.直线l1：y=ax+b与l2：y=bx+a在同一平面直角坐标系内的位置可能是(

)A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)，若AM⊥MP，则MP与底面所成角的正弦值的取值范围是

．

13.如图，已知二面角A−EF−D的平面角大小为π3，四边形ABFE，EDCF均是边长为4的正方形，则|BD|=______．

14.某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF，其中AB⊥AF，AF//BC，AB//DE，∠BCD=∠AFE，且tan∠BCD=−34，CD=EF=50米，BC=DE=80米．若计划在该公园内建一个有一条边在AB上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积(单位：平方米)的最大值为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5).是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且AB//CD？若存在，求出点D16.(本小题12分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设17.(本小题12分)

已知直线l：(a+2)x+(2a−1)y+5=0．

(1)证明无论a为何值，直线l经过定点P，并求出点P的坐标；

(2)若斜率大于0，且经过(1)中点P的直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最小值．18.(本小题12分)

已知菱形ABCD中，A(−4,7)，C(2,−3)，BC边所在直线过点P(5,9).求：

(1)AD边所在直线的方程；

(2)对角线BD所在直线的方程．19.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2，PA=PD=5，E为

(1)证明：AD⊥PE．(2)若二面角P−AD−B的平面角为2π3，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．

参考答案1.A

2.B

3.D

4.B

5.A

6.B

7.D

8.C

9.ACD

10.ABC

11.BC

12.[13.414.33800315.解：已知A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)，得AC=(1,−3,2)，AB=(−2,−1,3)，则A，B，C三点不共线．

假设存在点D(x,y,z)满足条件，

则CD=(x−1,y+1,z−5)，BD=(x+2,y−1,z−6)．

因为四边形ABDC是等腰梯形，且AB//CD，所以|AC|=|BD|．

即|BD|2=|AC|2=14；

所以x−1−2=y+1−1=z−53(x+2)2+(y−1)2+(z−6)2=14，

解得：x=1y=−1z=5或x=−1y=−216.解：(1)由直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，可得VA1−ABC=13VA1B1C1−ABC=43，

设A到平面A1BC的距离为d，由VA1−ABC=VA−A1BC，

∴13S△A1BC⋅d=43，∴13×22⋅d=43，解得d=2．

(2)由直三棱柱ABC−A1B1C1知BB1⊥平面ABC，

所以平面ABC⊥平面ABB1A1，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，又平面ABC∩平面A1BC=BC，

所以BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，BC⊥AB，

以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

17.证明：(1)将直线l的方程转化为(x+2y)a+2x−y+5=0，

令x+2y=02x−y+5=0，解得x=−2y=1，

故无论a为何值，直线l经过定点P，且点P的坐标为(−2,1)．

(2)解：由(1)可设该直线的方程为y−1=k(x+2)，k>0，

令y=0，得A(−1k−2,0)；

令x=0，得B(0,2k+1)，

因为△OAB是直角三角形，

所以△OAB的面积S=12|OA||OB|=12⋅|−1k18.解：(1)因为BC边所在直线过点P(5,9)，

所以直线BC的方程为：y+3=9−(−3)5−2(x−2)，

即4x−y−11=0，在菱形ABCD中可知AD//BC，

所以设直线AD的方程为4x−y+m=0，将点A(−4,7)代入4⋅(−4)−7+m=0，

所以m=23，

所以直线AD的方程为：4x−y+23=0；

(2)由题意可得线段AC的中点M(−4+22,−3+72)，即M(−1,2)，

kAC=7−(−3)−4−2=−19.解：(1)如图，取AD的中点F，连接PF，EF．∵底面ABCD是正方形，PA=PD，∴AD⊥EF，AD⊥PF．∵EF∩PF=F，EF,PF⊂平面PEF，∴AD⊥平面PEF．又∵PE⊂平面PEF，∴AD⊥PE．(2)由(1)可知，二面角P−AD−B的平面角为∠PFE，且为2π3过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，∵AD⊥平面PEF，PO⊂平面PEF，∴PO⊥AD，∵AD∩EF=F,AD,EF⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得∠PFO=π3，PF=2，OF=1，则P0,0,3，A1,1,0，B1,3,0PA=1