2024-2025学年河北省郑口中学、鸡泽一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省郑口中学、鸡泽一中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设直线l：x−3y+8=0的倾斜角为α，则α=A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知平面α的一个法向量为n=(4,−2,m)，直线l的一个方向向量为u=(−1,−3,2)，若l//α，则m=(

)A.−2 B.−1 C.1 D.23.已知直线l1：x+2y+5=0与l2：3x+ay+b=0平行，且l2过点(−3,1)，则aA.−3 B.3 C.−2 D.24.如图，在正三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM=3MG，记PA=a,PB=bA.−34a+14b+15.已知从点(−1,5)发出的一束光线，经过直线2x−y+2=0反射，反射光线恰好过点(2,7)，则反射光线所在的直线方程为(

)A.2x+y−11=0 B.4x−y−1=0 C.4x+y−15=0 D.x+y−9=06.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1=2，A.63

B.233

C.7.已知实数x，y满足y=2x−1，且−1≤x≤2，则y−6x−3的取值范围为(

)A.(−∞,−94]∪[3,+∞) B.[−3,94]8.在正三棱锥P−ABC中，PA=AB=3，点M满足PM=xPA+yPB+(2−x−y)PCA.465 B.6 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量a=(1,2,3),a+2b=(−3,0,5),cA.|b|=6B.m=6C.10.已知直线l1：x+ay−a=0和直线l2：ax−(2a−3)y−1=0，下列说法正确的是(

)A.l2始终过定点(23,13) B.若l1//l2，则a=1或−3

C.若l11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，M是底面A1B1CA.点P的轨迹长度为π

B.点M到平面A1BD的距离是定值

C.直线CP与平面ABCD所成角的正切值的最大值为2+427三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知过点P(3,1)的直线l在x轴上的截距是其在y轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线l的方程为_____．13.已知向量a=(3,−2,3),b=(−1,3,−2),c=(7,0,λ)，若a,14.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=3，M为棱B1C1上的动点(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的顶点坐标为A(−1,6)，B(−3,−1)，C(4,2)．

(1)若点D是AC边上的中点，求直线BD的方程；

(2)求AB边上的高所在的直线方程．16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，点E，F分别为棱AB，A1B1的中点．

(1)求证：AF//17.(本小题15分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，AC⊥DB1,AA1=2AB=2，点P是棱DD118.(本小题17分)

已知直线l1：kx−y−3−4k=0(k∈R)过定点P．

(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2方程；

(2)若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△ABO的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD=3，PD=2，∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连接PO．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)求二面角A−PB−C的正弦值；

(3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为277，求PM参考答案1.A

2.B

3.D

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.ACD

11.BCD

12.x−3y=0或x+3y−6=0

13.5

14.[15.解：(1)因为点D是AC边上的中点，A(−1,6)，C(4,2)，

则D(32,4)，

又B(−3,−1)，

所以kBD=−1−4−3−32=109，

所以直线BD的方程为y+1=109(x+3)，即10x−9y+21=0；

(2)因为kAB16.(1)证明：因ABC−A1B1C1是直三棱柱，则AB/​/A1B1，AB=A1B1，

又因点E，F分别为棱AB，A1B1的中点，所以AE//B1F，AE=B1F，

则四边形AEB1F是平行四边形，所以AF//B1E，

又因AF⊄平面B1CE，B1E⊂平面B1CE，

故AF/​/平面B1CE；

(2)解：如图，

因直三棱柱ABC−A1B1C1中AB⊥AC，故可以A为原点，

以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

不妨设AA1=2，则C17.(1)证明：如图，连接DB，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，

BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，

又AC⊥DB1，BB1∩DB1=B1，BB1，DB1⊂平面BDB1，

所以AC⊥平面BDB1，又BD⊂平面BDB1，

所以AC⊥BD，又四边形ABCD是矩形，

所以四边形ABCD为正方形；

(2)解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),P(0,0,43)，

所以18.解：(1)直线l1：y+3=k(x−4)，则直线l1过定点P(4,−3)，

①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa+yb=1，

Q点(4,−3)在直线上，

所以4a+−3b=1，

若a=b，则a=b=1，

所以直线的方程为x+y=1，

若a=−b，则a=7，b=−7，

所以直线的方程为x−y=7；

②当a=b=0时，直线过原点，且过点(4,−3)，

所以直线的方程为3x+4y=0，

综上所述，所求直线l的方程为x+y−1=0或x−y−7=0或3x+4y=0；

(2)令y=0，则x=4k+3k，

令x=0，则y=−4k−3，

直线l1交x轴的正半轴于点A(4k+3k,0)，交y轴的负半轴于点B(0,−4k−3)，k>0，

O为坐标原点，设△AOB的面积为S，

则S=12⋅OA⋅OB=119.证明：(1)因为∠ADC=∠BCD=90°，BO⊥AD

所以，四边形BODC为矩形，

在△PDO中，PD=2，DO=BC=1，∠PDA=60°，

则PO=PD2+OD2−2PD⋅ODcos60°=3

∴PO2+DO2=PD2，

∴PO⊥AD，

且平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵