2024-2025学年黑龙江省“龙东联盟”高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省“龙东联盟”高二上学期10月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过点2,−1，且一个方向向量为−1,2的直线方程为(

)A.x+2y=0 B.2x+y−3=0 C.x−2y−4=0 D.2x−y−5=02.若直线ax+y−a+1=0与x+2y−4=0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(

)A.−∞,−13∪(3,+∞) B.−13,33.已知点Px0,y0，直线l:Ax+By+C=0A2+A.Ax−x0+By−y0=0 4.在坐标平面内，与点A(0,1)的距离为3，且与点B(3,5)的距离为2的直线共有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条5.已知圆C1:x2+y2−23x+a=0与圆CA.−1或−9 B.−1 C.−9 D.−16.已知x∈Z，y∈Z，且x+y≤2，则x2+yA.23 B.913 C.137.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P−ABCD，PA⊥平面ABCD，PA=AB=4，AD=2，E，F，G分别为棱PA，AB，PD的中点，则点G到平面CEF的距离为(

)A.322 B.33 8.已知点O是坐标原点，点Q是圆(x−3)2+(y+4)2=1上的动点，点P(t,−t−4)，则当实数tA.8 B.7 C.6 D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则(

)A.A与C互斥 B.B与D对立 C.A与B独立 D.B与C独立10.已知P是直线l:y=x+4上的动点，O为坐标原点，过P作圆O:x2+y2=3的两条切线，切点分别为AA.PO的最小值为22

B.cos∠APB的最大值为58

C.当点P的坐标为(−2,2)时，直线AB经过点−12,1

D.当直线11.设直线系M:xcosmθ+ysinnθ=1(其中θ，m，n均为参数，0≤θ≤2π，mA.不存在m，n，使直线系M中所有直线恒过定点

B.当m=n=1时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切

C.当m=n=2时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为2，最小值为1

D.当m=1，n=2时，若存在点A(0,a)，使其到直线系M中所有直线的距离不大于1，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线mx+3y+1=0与直线x+(m+2)y+m=0平行，则实数m的值为

．13.若圆(x−3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且只有两个不同的点到直线4x−3y−2=014.已知过点P(1,2)且斜率为32的直线与圆(x+1)2+y2=1相交于A，B四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为1(1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)求乙获胜的概率；16.(本小题12分)瑞士数学家欧拉(Euler)在所著的《三角形的几何学》一书中证明了“任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上”这一结论，后人称这条直线为三角形的欧拉线．在▵ABC中，已知A(0,2)，B(−4,0)，且▵ABC欧拉线的方程为x+y+2=0．(1)求▵ABC外心F坐标；(2)求▵ABC重心G的坐标；(3)求▵ABC垂心H的坐标．17.(本小题12分)已知圆C:(x+2)2+y2=1，动圆D的圆心D在y轴上，且与圆C外切，圆D与y轴交于A，(1)当点D在y轴上运动时，求tan∠APB(2)是否存在x轴上的定点Q，使得点D在y轴上运动时，∠AQB是定值，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．18.(本小题12分)已知两个非零向量a，b在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作⟨a,b⟩.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，(1)求正四棱锥S−ABCD的体积V；(2)若P为侧棱SD上的点，且SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值；(3)若点E是侧棱SC(包含端点)上的一个动点，当直线DE与平面BCE所成角最大时，求SE:EC的值．19.(本小题12分)已知点M，N的坐标分别为(−2,0)和(−12,0)，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为S，T点．点P是直线y=2上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点(均与S，T(1)若▵PST是等腰三角形，求点P的坐标；(2)求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；(3)求四边形ASBT面积的最大值．

参考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.A

6.B

7.B

8.C

9.ACD

10.ACD

11.BCD

12.−3

13.3,7

14.7

15.(1)设Ai,B则PAi=12，所求的概率为PA(2)所求的概率为P=1(3)所求的概率为P=1

16.(1)因为kAB=2−00+4=又因为AB的中点坐标为(−2,1)，所以AB垂直平分线方程为y−1=−2(x+2)，即2x+y+3=0，因为外心F既在AB的垂直平分线上，又在欧拉线上，所以解方程组2x+y+3=0x+y+2=0，得x=−1y=−1，所以外心F的坐标为(2)设Cx0,因为重心G在欧拉线x+y+2=0上，所以x0−43因为FA=FC，所以所以解方程组x0+12+当x0=−4，y0=0时，点C与点B重合，不满足题意，所以点所以重心G的坐标为−4(3)垂心H在BC边上的高所在直线上，由(2)可知，C(0,−4)，又B(−4,0)，故BC边所在直线垂直于x轴，所以BC边上的高所在直线方程为y=0，解方程组y=0x+y+2=0，得所以垂心H的坐标为(−2,0)．

17.(1)设圆D的圆心D(0,m)，半径为r>0，因为圆D与圆C外切，所以22因为m2≥0，所以1+r≥2，即不妨设点A(0,m+r)，B(0,m−r)，若m−r>0，则∠APB=∠APO−∠BPO，此时tan∠BPO=若m−r<0，∠APB=∠APO+∠BPO，此时tan∠BPO=−所以tan∠APB=因为r≥1，所以当r=1时，tan∠APB取最小值8(2)设Q(n,0)，同理可得tan∠AQB=若存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值，所以n2−3=0，即所以存在定点Q(±3,0)，当圆D在y

18.(1)设AC和BD相交于点O，取AD的中点为K，连接KO，因为AD//BC，故BC,SD的夹角即为AD故BC×所以SK=7，所以所以正四棱锥S−ABCD的体积V=1(2)以O为原点，OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，因为P在SD上，且SD⊥平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为SD=(0,−又因为SO⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为SO=(0,0,−设平面PAC与平面ABCD夹角为θ，则cosθ=即平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为3(3)因为点E是侧棱SC(包含端点)上的一个动点，则SE=λ设E(x,y,z)，由(x,y,z−6)=λ(−所以DE因为点E在SC上，所以平面BCE的法向量就是平面SBC的法向量，设平面SBC的一个法向量为n=(x,y,z)，BC=(−因为n⋅BC=0，且n⋅BS设直线DE与平面BCE所成角为α，则sinα=因为0≤λ≤1，所以当λ=34时，此时直线DE与平面BCE所成角最大，所以SE=34SC，所以

19.(1)设点Q(x,y)，由QM=2QN，得整理得曲线E的轨迹方程为x2+y设点P(t,2)，若▵PST是等腰三角形，则t2+(2−1所以点P的坐标为(3,2)(2)由(1)知S(0,1),T(0,−1)，