福建省三明市四校2023-2024学年高一下学期联考数学试题 附答案

2023-2024年高一下学期四校联考数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，，向量与的夹角为120°，若与垂直，则的值为（

）A．1 B． C． D．3．的内角A，B，C的对边分别为，，，若的面积为，则（）A． B． C． D．4．在梯形中，已知，，点在线段上，且，则（）A． B．C． D．5．某运动会上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排B处和最后一排C处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)m(如图所示)，则旗杆的高度为（）A．10m B．30mC．10eq\r(3)m D．10eq\r(6)m6．在等腰三角形中，，若为边上的动点，则（

）A．2 B．4 C．8 D．07．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．8．某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的，，是边上一点，，，，要求分别把，的内切圆，裁去，则裁去的圆，的面积之和为（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（

）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．10．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是（）A．若是锐角三角形，则B．若是边长为1的正三角形，则C．若，，，则有一解D．若，则是等腰直角三角形11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（

）A．为定值B．当时，为定值C．当时，面积的最大值为D．的取值范围是第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，若与方向相反，则．13．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是．14．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数，，，i为虚数单位．（1）若是纯虚数，求实数m的值；（2）若，求的值．16．（15分）在中，内角所对的边分别是，已知．（1）求角；（2）设边的中点为，若，且的面积为，求的长．17.（15分）年福建省油菜花节，三明市某县通过层层遴选，最终在全省20个申办县中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图（如图）．已知：四点共圆，，，，，其中（不计宽度）是观赏路线，与是油菜花区域．（1）求观赏路线的长度；（2）因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值．18．（17分）在中，角所对的边分别为，，，，且．（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．19．（17分）定义非零向量的（相伴函数）为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）（1）求的相伴向量；（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点，其中为锐角中角的对边.若角为，且向量的“相伴向量”在处取得最大值．求的取值范围．2023-2024年高一下学期四校联考数学参考答案一、二、选择题1234567891011DBCDBCADADBCDABD8．【详解】在，设，则，，所以，在中，，由正弦定理得,即，即，化简得或，因为，所以（负值舍去），，故为等边三角形，为等腰三角形，,在中，设圆的半径为，根据等面积有，即，化简得，在中，设圆的半径为，根据等面积有，即，化简得，所以圆的面积之和为，故选：D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13．14．14．【详解】由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，所以，又因为函数在内单调递增，所以，可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，则，因为，所以，则，因为存在最大值，则，解得．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【答案】(1)(2)【详解】（1），，所以，因为是纯虚数，所以，得.（2）由（1）知，，因为，所以，得，所以，，所以.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得，，因为，所以，化简得，，在中，由余弦定理得，，又因为，所以（2）由，得，由，得，所以．又因为边的中点为，所以，所以17.【详解】（1）四点共圆，，，，；在中，由正弦定理得：，，，，；在中，由余弦定理知：，即，解得：或（舍），.（2）在中，，；在中，由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，即区域面积的最大值为.18．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，，且，所以利用正弦定理化简得：即，由余弦定理可得，又因为，所以；（2）由（1）得，即，又因为三角形为锐角三角形，所以解得：，因为，由正弦定理得：所以，，所以因为，所以，所以则的取值范围为19.【详解】