2024-2025学年高中数学选择性必修第二册苏教版（2019）教学设计合集

2024-2025学年高中数学选择性必修第二册苏教版（2019）教学设计合集目录一、第6章空间向量与立体几何 1.16.1空间向量及其运算 1.26.2空间向量的坐标表示 1.36.3空间向量的应用 1.4本章复习与测试二、第7章计数原理 2.17.1两个基本计数原理 2.27.2排列 2.37.3组合 2.47.4二项式定理 2.5本章复习与测试三、第8章概率 3.18.1条件概率 3.28.2离散型随机变量及其分布列 3.38.3正态分布 3.4本章复习与测试四、第9章统计 4.19.1线性回归分析 4.29.2独立性检验 4.3本章复习与测试第6章空间向量与立体几何6.1空间向量及其运算科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第6章空间向量与立体几何6.1空间向量及其运算设计意图本章内容旨在通过空间向量的引入，帮助学生建立空间几何的概念，掌握空间向量的基本运算及其在立体几何中的应用。通过本节课的学习，学生能够理解空间向量的定义、表示方法，掌握空间向量的加法、减法、数乘运算，以及向量共线、向量投影等基本概念和性质。本节课的教学设计将紧密围绕课本内容，结合学生实际，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习立体几何打下坚实的基础。核心素养目标1.空间观念：通过空间向量的学习，学生能够形成空间几何图形的直观感知，提升空间想象力和几何直观能力。

2.逻辑推理：学生能够运用空间向量的性质和运算规则进行逻辑推理，解决立体几何问题，发展数学推理能力。

3.数学运算：学生能够熟练进行空间向量的基本运算，提高运算准确性，培养数学运算素养。

4.数学应用：学生能够将空间向量知识应用于实际问题中，体会数学在解决实际问题中的作用，增强数学应用意识。学习者分析1.学生已经掌握了初中阶段关于平面向量的基本知识，如向量的概念、向量的表示、向量运算（加法、减法、数乘）以及向量的数量积。此外，学生在高中阶段已经学习了空间几何的基本元素，如点、线、面的基本性质。

2.学习兴趣：学生对空间几何有一定的兴趣，尤其是通过实际操作和图形演示来探究几何关系时。学习能力：学生在数学逻辑推理和空间想象力方面有不同程度的掌握。学习风格：学生偏好通过直观演示、小组讨论和问题解决来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：空间想象能力的不足，导致难以理解空间向量的概念和运算；对空间向量运算规则的理解和应用不够熟练，容易混淆；在解决实际问题时，难以将空间向量知识灵活运用到立体几何中，缺乏实际操作经验。教学方法与手段1.教学方法：

-讲授法：通过系统讲解空间向量的基本概念和运算规则，为学生提供清晰的理论框架。

-讨论法：引导学生针对具体例题进行小组讨论，促进学生之间的思维碰撞和问题解决能力的提升。

-实验法：利用空间向量模型和软件，进行实际操作和模拟，增强学生的直观感知和动手能力。

2.教学手段：

-多媒体设备：使用PPT展示空间向量的图像和动态演示，帮助学生理解空间向量关系。

-教学软件：利用几何画板或专业数学软件，进行空间向量的图形绘制和运算演示，提高教学互动性。

-网络资源：整合网络上的教学视频和模拟题库，为学生提供丰富的学习资源和自我检测工具。教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：以一道生活中的实际问题引入，例如，询问学生如何确定一个飞行器的飞行方向和速度。通过这个问题激发学生的兴趣，进而引出空间向量的概念，说明空间向量在解决实际问题中的重要性。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

-首先，介绍空间向量的定义、表示方法以及在立体几何中的基本应用。

-其次，讲解空间向量的加法、减法和数乘运算，通过具体例题演示这些运算的步骤和规则。

-最后，探讨空间向量共线定理及其应用，通过实例分析向量共线在几何证明中的作用。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

-让学生练习画空间向量图形，如在一个长方体中画出两个共线的向量。

-进行空间向量运算练习，如计算两个向量的和、差和数乘结果。

-利用空间向量解决实际问题，例如，给定一个长方体的边长，求其对角线的长度。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容举例回答：

-让学生讨论空间向量在几何证明中的应用，举例回答如何使用空间向量证明两个平面平行。

-讨论空间向量运算的注意事项，举例回答在计算向量积时如何避免错误。

-探讨空间向量在物理学科中的具体应用，举例回答如何使用空间向量分析物体的运动。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课的重点内容，包括空间向量的定义、运算规则和在实际问题中的应用。强调空间向量在立体几何中的重要性，并指出学生在学习过程中可能遇到的难点，如空间想象能力的培养和向量运算的准确性。同时，提醒学生课后复习和巩固所学知识。

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-空间向量的应用案例分析：收集实际生活中应用空间向量的案例，如物理学中的力的分解与合成、工程学中的结构分析、计算机图形学中的三维建模等。

-空间向量与其他数学分支的联系：介绍空间向量与解析几何、线性代数、微积分等数学分支的关联，以及它们在解决数学问题中的作用。

-空间向量的历史背景：探讨空间向量概念的发展历史，如向量概念的形成、空间向量在数学和物理学中的应用历程等。

2.拓展建议：

-深入研究空间向量的运算规则：鼓励学生通过查阅相关资料，深入研究空间向量的加法、减法、数乘和点乘等运算规则，以及这些运算在实际问题中的应用。

-开展小组研究项目：组织学生进行小组研究，选取一个与空间向量相关的课题，如空间向量在机器人导航中的应用，进行深入研究和讨论。

-制作空间向量模型：指导学生利用物理材料或计算机软件制作空间向量模型，如长方体模型、向量加法模型等，以增强学生的空间想象力和实际操作能力。

-阅读相关数学书籍：推荐学生阅读《高等数学》、《线性代数》等数学书籍中与空间向量相关的章节，以拓展知识面和加深理解。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛、数学奥林匹克竞赛等，这些竞赛往往涉及到空间向量的应用，能够提高学生的解决实际问题的能力。

-观看教学视频：推荐学生观看在线教学视频，如KhanAcademy、Coursera等平台上的空间向量相关课程，以获取更多视角和深层次的理解。

-利用数学软件进行探究：引导学生使用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）进行空间向量的图形绘制和运算模拟，以直观感受空间向量的变化和运算结果。

-开展数学讲座：邀请数学老师或专家进行关于空间向量应用的讲座，让学生了解空间向量在各个领域中的应用和发展趋势。典型例题讲解例题1：已知空间向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(4,5,6)\)，求\(\vec{a}+\vec{b}\)和\(\vec{a}-\vec{b}\)。

解答：\(\vec{a}+\vec{b}=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)\)，\(\vec{a}-\vec{b}=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3)\)。

例题2：已知空间向量\(\vec{OA}=(1,0,2)\)，\(\vec{OB}=(3,2,1)\)，求向量\(\vec{AB}\)。

解答：\(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(3-1,2-0,1-2)=(2,2,-1)\)。

例题3：已知空间向量\(\vec{a}=(2,-1,3)\)，求向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}=(1,2,-1)\)的点积。

解答：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-1)=2-2-3=-3\)。

例题4：已知空间向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角为\(\frac{\pi}{3}\)，且\(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=3\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的点积。

解答：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot3\cdot\frac{1}{2}=3\)。

例题5：在空间直角坐标系中，已知点\(A(1,2,3)\)，\(B(4,5,6)\)，\(C(7,8,9)\)，求证：\(\triangleABC\)是一个直角三角形。

解答：计算向量\(\vec{AB}=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)\)，向量\(\vec{AC}=(7-1,8-2,9-3)=(6,6,6)\)，向量\(\vec{BC}=(7-4,8-5,9-6)=(3,3,3)\)。

因为\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\cdot6+3\cdot6+3\cdot6=54\)，\(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=3\cdot3+3\cdot3+3\cdot3=27\)，\(\vec{AC}\cdot\vec{BC}=6\cdot3+6\cdot3+6\cdot3=54\)，且\(|\vec{AB}|^2=|\vec{AC}|^2+|\vec{BC}|^2\)。

所以，\(\triangleABC\)是一个直角三角形，直角在点\(B\)。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在教学过程中，我尝试将实际生活中的问题引入课堂，让学生能够直观地感受到空间向量在实际应用中的重要性，从而提高他们的学习兴趣。

2.通过小组合作探究的方式，鼓励学生积极参与讨论，提高他们的团队协作能力和问题解决能力，同时也培养了他们的空间想象力。

（二）存在主要问题

1.在教学组织方面，我发现部分学生在空间想象能力上存在一定的困难，导致他们在理解空间向量概念和进行空间向量运算时感到吃力。

2.在教学方法上，我意识到单一的讲授法可能无法满足所有学生的学习需求，部分学生可能更需要通过实践和动手操作来加深理解。

3.在教学评价方面，我注意到传统的笔试评价可能无法全面反映学生对空间向量知识的掌握情况，尤其是在实际应用方面的能力。

（三）改进措施

1.针对空间想象能力不足的问题，我计划在课堂上增加一些实物模型和动态演示，帮助学生建立空间几何直观感，同时也会布置一些空间想象练习题，让学生在课后进行自主练习。

2.为了丰富教学方法，我打算引入更多的互动环节，如小组讨论、角色扮演、案例分析等，以激发学生的学习兴趣和参与度。同时，我也会尝试利用多媒体工具，如3D建模软件，让学生在虚拟环境中操作和探索空间向量。

3.在教学评价方面，我将采取多元化的评价方式，结合学生的课堂表现、小组讨论参与度、实践操作能力以及课后作业完成情况，综合评估学生对空间向量知识的掌握。此外，我还会鼓励学生参与数学竞赛和项目式学习，以检验他们在实际情境中应用空间向量的能力。第6章空间向量与立体几何6.2空间向量的坐标表示一、课程基本信息

1.课程名称：高中数学选择性必修第二册苏教版（2019）第6章空间向量与立体几何6.2空间向量的坐标表示

2.教学年级和班级：高中二年级

3.授课时间：2023年10月25日，第3节课

4.教学时数：1课时二、核心素养目标三、重点难点及解决办法

1.重点：

-空间向量的概念及其表示方法

-空间向量坐标表示的推导过程

解决方法：通过具体示例，引导学生观察和发现空间向量的特点，以及坐标表示的直观意义，帮助学生建立空间向量的直观认识。

2.难点：

-空间向量坐标表示的运算规则

-空间向量坐标表示在实际问题中的应用

解决策略：

-对于空间向量坐标表示的运算规则，通过实际例题演示，逐步引导学生掌握运算步骤和方法，强调运算的严谨性和逻辑性。

-对于空间向量坐标表示的应用，设计具有实际背景的问题情境，让学生在实际问题中运用所学知识，提高解决问题的能力。同时，通过课堂讨论和小组合作，培养学生的合作意识和解决问题的策略。四、教学方法与策略

1.采用讲授与讨论相结合的方式，讲解空间向量坐标表示的基本概念和运算规则，并通过问题引导讨论，加深学生对知识点的理解。

2.设计互动活动，如小组合作解决具体问题，让学生在实际操作中运用空间向量的坐标表示，促进学生的参与和互动。

3.使用多媒体教学工具，如PPT和动画演示，来展示空间向量的直观形象，帮助学生更好地理解抽象概念。五、教学流程

1.导入新课（5分钟）

-通过回顾上一节课学习的空间向量的基本概念，提出问题：“如何用坐标来表示空间向量？”

-展示日常生活中与空间向量坐标表示相关的实际例子，如建筑物的定位，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲授（15分钟）

-讲解空间向量坐标表示的定义，通过实际图形演示，解释空间向量如何表示为坐标形式。

-介绍空间向量坐标表示的运算规则，如向量加法、向量减法、数乘向量等，并通过例题演示运算过程。

-分析空间向量坐标表示在解决几何问题中的应用，如求解空间中两点间的距离、向量夹角等。

3.实践活动（10分钟）

-让学生练习使用坐标表示空间向量，完成几个简单的练习题，巩固知识点。

-设计一个实际操作活动，如使用尺规作图，让学生在纸上标出空间向量的坐标，并计算向量的和。

-要求学生使用空间向量的坐标表示，解决一个立体几何问题，如计算长方体的对角线长度。

4.学生小组讨论（10分钟）

-让学生分组讨论以下三个问题：

1)如何判断两个空间向量是否平行或垂直？

2)空间向量坐标表示在物理学科中的应用有哪些？

3)在解决实际问题时，如何选择合适的坐标系统来简化问题？

-各小组需给出具体举例回答，如通过坐标运算证明两个向量平行或垂直，讨论在物理中力、速度等概念的坐标表示，以及在工程测量中选择合适的坐标系统。

5.总结回顾（5分钟）

-回顾本节课学习的空间向量坐标表示的概念、运算规则和应用，强调重难点。

-通过提问方式检查学生对知识点的掌握情况，确保学生对空间向量坐标表示有清晰的认识。

-布置课后作业，要求学生运用本节课的知识解决更复杂的立体几何问题，巩固所学内容。六、学生学习效果

学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解并掌握了空间向量坐标表示的基本概念，能够正确地在三维坐标系中表示空间向量，并理解向量的起点和终点对坐标表示的影响。

2.学生能够熟练运用空间向量的坐标表示进行基本的向量运算，包括向量的加法、减法和数乘运算，能够准确计算结果并向量化表达。

3.学生通过解决具体的几何问题，如计算空间中两点间的距离、向量间的夹角、以及求解立体图形的相关几何量，提高了空间想象能力和几何问题的解决能力。

4.在小组讨论和实践活动环节，学生能够积极参与，通过合作交流，加深了对空间向量坐标表示在实际问题中应用的理解，如物理中的力、速度和加速度的表示，以及在工程测量中的坐标选择。

5.学生能够将空间向量的坐标表示与之前学习的平面几何知识相结合，形成对立体几何的完整认识，为后续学习空间解析几何和物理学中的运动学打下坚实基础。

6.通过本节课的学习，学生能够独立完成相关的课后作业，运用空间向量的坐标表示解决更复杂的立体几何问题，体现出良好的知识迁移能力和问题解决能力。

7.学生在学习过程中逐渐培养了逻辑思维和数学推理能力，能够通过向量运算证明空间中的位置关系和几何性质，提高了数学核心素养。

8.学生对空间向量的兴趣和认识得到了提升，增强了学习数学的自信心，为继续深入学习数学和相关学科打下积极的态度基础。七、板书设计

1.空间向量坐标表示的基本概念

①空间向量的定义

②空间向量坐标表示的方法

③空间向量的起点和终点对坐标的影响

2.空间向量坐标表示的运算规则

①向量加法的坐标表示

②向量减法的坐标表示

③数乘向量的坐标表示

3.空间向量坐标表示的应用

①计算空间中两点间的距离

②计算向量间的夹角

③解决立体几何问题，如长方体对角线长度的计算八、反思改进措施

（一）教学特色创新

1.在本节课中，我尝试将抽象的空间向量概念与实际生活中的物体定位相结合，通过实际例子让学生更直观地理解空间向量坐标表示的意义。

2.在实践活动环节，我设计了一个小组合作制作立体模型并标注向量坐标的任务，这不仅增强了学生的动手能力，也促进了团队合作和交流。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对空间想象能力较弱，对于空间向量的概念理解不够深刻，导致在坐标表示和运算时出现困难。

2.在小组讨论环节，部分学生参与度不高，讨论内容不够深入，影响了教学效果。

3.在教学评价方面，我主要依赖于课堂问答和作业评分，缺乏对学生在学习过程中思维能力的全面评估。

（三）改进措施

1.针对学生的空间想象能力不足，我计划在后续教学中增加一些实体模型和三维图形的教学工具，帮助学生建立空间观念。同时，引入更多的实例和练习，让学生在实际操作中逐步提高空间想象能力。

2.为了提高学生的参与度，我将在课堂讨论环节设置更多的问题引导，鼓励每个学生都能参与到讨论中来。此外，我还会考虑调整小组分配，确保每个小组都有积极的讨论氛围。

3.在教学评价方面，我将采用多元化的评价方式，如增加课堂小测验、学习日志、小组报告等，以全面评估学生的学习效果和思维过程。同时，我会提供更多的反馈，帮助学生了解自己的学习进度和不足之处。九、教学评价与反馈

1.课堂表现：学生在课堂上的表现整体积极，能够跟随教学进度理解空间向量坐标表示的概念。在提问环节，大部分学生能够积极思考并回答问题，表现出较好的学习态度。但也有部分学生在理解空间向量坐标表示时显得有些吃力，需要更多的个别辅导和练习。

2.小组讨论成果展示：小组讨论环节，各小组能够围绕给定的问题进行讨论，大部分学生能够参与到讨论中。成果展示时，各小组代表能够清晰地表达自己的观点，展示了解决问题的过程和方法。但也有小组讨论深度不够，需要教师在后续教学中提供更具体的引导。

3.随堂测试：随堂测试结果显示，学生对空间向量坐标表示的基本概念掌握较好，但在实际运算和应用方面存在一些问题。部分学生对于向量运算的规则理解不够深刻，导致计算错误。

4.课后作业：课后作业的完成情况较为理想，大部分学生能够按照要求完成作业，且正确率较高。但仍有少数学生未能完全掌握课堂内容，作业中反映出对于某些知识点的理解不够透彻。

5.教师评价与反馈：针对上述评价，教师将采取以下反馈措施：

-对于课堂表现积极的学生，教师将给予口头表扬，以鼓励其继续保持良好的学习态度。

-对于小组讨论，教师将提供更具体的问题引导，确保每个学生都能参与到讨论中，并提高讨论的深度。

-针对随堂测试中反映出的问题，教师将在后续教学中加强对向量运算规则的讲解和练习，确保学生能够熟练掌握。

-对于课后作业，教师将提供更详细的解答和反馈，帮助学生理解错误的原因，并提供改进的建议。

-教师还将通过定期的学习辅导和个别谈话，帮助学生解决学习中遇到的困难，促进每个学生的全面发展。第6章空间向量与立体几何6.3空间向量的应用一、设计意图

本节课旨在通过对空间向量的应用进行深入学习，帮助学生掌握空间向量的基本概念、运算方法及其在立体几何中的应用，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力。通过结合具体例题和练习，让学生在实际操作中深化对空间向量知识的理解，为后续学习立体几何打下坚实基础。二、核心素养目标分析

本节课核心素养目标在于发展学生的逻辑思维、空间想象以及数学建模能力。通过空间向量的应用学习，使学生能够运用向量语言描述几何对象及其关系，提升数学抽象水平；在解决立体几何问题时，培养学生运用空间向量分析问题、解决问题的能力，增强几何直观和数学运算素养；同时，通过实际问题情境的引入，激发学生的数学应用意识，提高学生的数学建模和数据分析能力。三、学习者分析

1.学生已经掌握了空间向量的基本概念、运算规则，以及向量的坐标表示和向量在平面几何中的应用，对立体几何的基本知识也有了一定的了解。

2.学生普遍对空间几何有较高的兴趣，具备一定的逻辑推理能力和空间想象力，但学习风格各异，有的学生擅长抽象思维，有的学生则更依赖直观感受。学生对实际问题的解决较为感兴趣，喜欢探索和发现问题的多种解决途径。

3.学生在学习空间向量的应用时，可能遇到的困难和挑战包括：对于空间向量与立体几何位置关系的理解不够深入，将向量方法应用于复杂立体几何问题时难以建立合适的向量模型，以及在向量运算过程中容易出错。此外，对于将实际问题转化为数学模型的能力也有待提高。四、教学方法与手段

教学方法：

1.讲授法，通过系统的讲解，明确空间向量在立体几何中的应用原理和方法。

2.讨论法，组织学生小组讨论，共同探讨空间向量问题的解决策略，促进学生间的思维碰撞。

3.练习法，布置针对性的练习题，让学生在实践中巩固空间向量的应用技能。

教学手段：

1.使用多媒体设备展示空间向量的动态模型，帮助学生直观理解空间向量的概念和性质。

2.利用教学软件进行交互式教学，让学生在计算机上模拟空间向量的运算，增强实践操作能力。

3.引入实际案例，通过案例分析引导学生将空间向量知识应用于解决实际问题。五、教学过程

1.导入新课

-首先，我会通过提问复习前一节课的内容，检查学生对空间向量基本概念和运算规则的掌握情况。

-接着，我会引入本节课的主题：“同学们，上一节课我们学习了空间向量的基本知识，那么大家思考一下，空间向量在立体几何中有什么作用呢？今天我们就来探讨空间向量的应用。”

2.知识讲解

-我会首先介绍空间向量在立体几何中的应用，包括向量的夹角、向量的投影等概念。

-通过板书和多媒体演示，详细讲解空间向量的数量积、向量积的定义和性质，以及它们在立体几何中的应用。

-示例1：讲解空间向量数量积的应用，如求线段长度、判断线线垂直等。

-示例2：讲解空间向量向量积的应用，如求线面垂直、判断面面平行等。

3.案例分析

-我会展示一些实际案例，让学生分析并解决，例如：

-案例一：给定一个长方体，求一条对角线与一个侧面的夹角。

-案例二：在空间中给定三个点，判断这三个点是否共面。

-在案例分析过程中，我会引导学生运用空间向量的知识，逐步解决问题，并鼓励学生分享自己的解题思路。

4.小组讨论

-接下来，我会将学生分成小组，让他们针对以下问题进行讨论：

-如何利用空间向量解决立体几何问题？

-空间向量在立体几何中有哪些优势？

-讨论过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问，并鼓励他们积极表达自己的观点。

5.练习巩固

-我会布置一些练习题，让学生独立完成，以巩固所学知识。练习题包括：

-基础题：求空间中两条线的夹角、线面角等。

-提高题：求空间几何体中的距离、面积等。

-在学生练习过程中，我会进行个别辅导，针对不同学生的掌握情况给予指导。

6.总结反馈

-练习结束后，我会邀请几位同学分享自己的解题过程和心得体会。

-然后，我会对本次课的内容进行总结，强调空间向量在立体几何中的应用要点。

-最后，我会针对学生的掌握情况，布置适量的课后作业，以帮助学生进一步巩固所学知识。

7.课后作业

-我会布置以下课后作业：

-完成教材上的练习题。

-收集有关空间向量在立体几何中应用的资料，下节课分享。

-作业要求学生在规定时间内完成，并按时上交，以便我及时了解学生的学习情况。

8.课堂小结

-在课堂结束前，我会简要回顾本节课的主要内容，并提醒学生要注意的知识点。

-我会鼓励学生在课后主动复习，并积极参与课堂讨论，以提高自己的空间想象能力和解决实际问题的能力。六、教学资源拓展

拓展资源：

1.拓展空间向量的应用领域，介绍空间向量在物理学、工程学、计算机科学等领域的应用实例，如力学中的力的合成与分解、计算机图形学中的三维建模等。

2.拓展空间向量的数学理论，包括空间向量的运算法则、向量空间的性质、线性方程组的向量解法等。

3.拓展空间向量与立体几何的关系，探讨向量方法在解决立体几何问题中的优势，如向量在证明几何定理、计算几何量等方面的应用。

4.介绍空间向量在数学竞赛中的常见题型和解题策略，如空间向量与几何体的位置关系、向量在空间几何中的最值问题等。

5.拓展空间向量的实际应用案例，包括在建筑设计、机械设计、航空航天等领域中的具体应用。

拓展建议：

1.鼓励学生在课后查阅与空间向量相关的数学资料，深入了解空间向量在不同领域的应用，增强学习的实用性和趣味性。

2.建议学生通过解决实际问题和参与数学竞赛，提高自己运用空间向量知识解决问题的能力，培养逻辑思维和数学建模素养。

3.鼓励学生使用数学软件，如几何画板、MATLAB等，进行空间向量的可视化操作，加深对空间向量概念的理解。

4.建议学生参与数学社团或研究小组，与同学一起探讨空间向量及其应用的相关问题，相互学习，共同进步。

5.指导学生阅读与空间向量相关的数学论文或书籍，了解空间向量研究的最新进展，拓宽知识视野。

6.鼓励学生将所学的空间向量知识应用到实际生活中，如分析物体的运动、设计简单的机械结构等，体验数学的应用价值。

7.建议学生在学习空间向量的同时，复习和巩固相关的数学知识，如线性代数、解析几何等，形成知识体系。

8.鼓励学生在面对复杂空间向量问题时，尝试多种解题方法，培养创新意识和解决问题的多样性思维。七、典型例题讲解

例题1：已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，且AB与CD所成的角为60°，求证：AC与BD所成的角为60°。

解答：

首先，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系。设AB=a，则B(a,0,0)，C(a,a√3/2,0)，D(0,0,a)。因此，向量AB=(a,0,0)，向量CD=(-a,a√3/2,0)。由于AB与CD所成的角为60°，故向量AB与向量CD的夹角也为60°，即它们的点积满足：

AB·CD=|AB|·|CD|·cos60°=a·a√3/2·1/2=a^2√3/4

AC=(a,a√3/2,0)，BD=(a,-a√3/2,a)

AC·BD=a·a+(a√3/2)·(-a√3/2)+0·a=a^2-3a^2/4=a^2/4

计算向量AC和向量BD的模长：

|AC|=√(a^2+(a√3/2)^2)=a√(1+3/4)=a√7/2

|BD|=√(a^2+(a√3/2)^2+a^2)=a√(1+3/4+1)=a√7/2

因此，向量AC与向量BD的夹角θ满足：

cosθ=(AC·BD)/(|AC|·|BD|)=(a^2/4)/(a√7/2·a√7/2)=1/2

所以，AC与BD所成的角为60°。

例题2：在空间直角坐标系中，点P(a,b,c)到原点O的距离是点P到平面xoy的距离的2倍，求a,b,c的关系。

解答：

点P到原点O的距离为|OP|=√(a^2+b^2+c^2)，点P到平面xoy的距离为|c|（因为平面xoy的方程为z=0，点到平面的距离就是点的z坐标的绝对值）。根据题意，有：

√(a^2+b^2+c^2)=2|c|

平方两边得：

a^2+b^2+c^2=4c^2

化简得：

a^2+b^2=3c^2

这就是a,b,c之间的关系。

例题3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线AB1与CD1所成的角。

解答：

在正方体中，异面直线AB1与CD1所成的角可以通过它们的方向向量来计算。由于AB1与CD1不在同一平面上，我们可以通过它们与同一平面的交线所成的角来求解。

设正方体的边长为a，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系。则A1(a,0,a)，C1(0,a,a)，B1(a,a,0)，D1(0,0,a)。因此，向量AB1=(0,a,a)，向量CD1=(-a,0,a)。

计算向量AB1与向量CD1的点积：

AB1·CD1=0·(-a)+a·0+a·a=a^2

计算向量AB1与向量CD1的模长：

|AB1|=√(0^2+a^2+a^2)=a√2

|CD1|=√((-a)^2+0^2+a^2)=a√2

因此，向量AB1与向量CD1的夹角θ满足：

cosθ=(AB1·CD1)/(|AB1|·|CD1|)=a^2/(a√2·a√2)=1/2

所以，异面直线AB1与CD1所成的角为60°。

例题4：已知空间中两点A(1,2,3)和B(4,5,6)，求线段AB的中点坐标。

解答：

线段AB的中点C的坐标可以通过A和B的坐标求得。中点的坐标是两个端点坐标的平均值。

C的x坐标=(A的x坐标+B的x坐标)/2=(1+4)/2=2.5

C的y坐标=(A的y坐标+B的y坐标)/2=(2+5)/2=3.5

C的z坐标=(A的z坐标+B的z坐标)/2=(3+6)/2=4.5

因此，线段AB的中点C的坐标为(2.5,3.5,4.5)。

例题5：在空间中，已知平面α的方程为x+2y-z=1，求平面α的法向量。

解答：

平面α的方程为x+2y-z=1，可以写成向量形式：

n·(x,y,z)=1

其中，n是平面α的法向量。由平面方程的系数可以直接得到法向量的坐标：

n=(1,2,-1)

因此，平面α的法向量为(1,2,-1)。八、教学反思与总结

在今天的课堂教学中，我们深入探讨了空间向量的应用，通过一系列例题和练习，学生们对空间向量在立体几何中的应用有了更加深刻的理解。以下是我对本次教学的一些反思与总结。

教学反思：

在教学方法上，我尝试了讲授法、讨论法和练习法等多种教学方式。通过讲授法，我能够系统地传授空间向量的知识，使学生掌握基本概念和运算方法；讨论法则激发了学生们的学习兴趣，让他们在合作中深入探究问题；练习法则帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。然而，我也发现了一些不足之处：

1.在讨论环节，部分学生参与度不高，可能是因为他们对空间向量的基础知识掌握不够扎实，导致在讨论中难以跟上其他同学的思路。

2.在练习环节，我发现一些学生在解题时仍然存在一定的困难，尤其是在建立空间向量模型和运算过程中容易出错。

针对这些问题，我意识到需要在今后的教学中加强对学生的个别辅导，尤其是对基础知识掌握不够扎实的同学，要给予更多的关注和指导。

教学总结：

总体来看，本节课的教学效果是积极的。学生们在空间向量的知识、技能和情感态度等方面都有了明显的收获和进步。

1.知识方面：学生们掌握了空间向量的基本概念、运算方法和在立体几何中的应用，能够运用空间向量解决一些实际问题。

2.技能方面：通过练习，学生们提高了自己的空间想象能力和解题技巧，能够更加熟练地运用数学工具解决几何问题。

3.情感态度方面：学生们对空间向量产生了浓厚的兴趣，对立体几何的学习态度更加积极。

当然，也存在一些不足之处：

1.部分学生对空间向量的理解仍然不够深入，需要通过更多的练习和讨论来加深理解。

2.在课堂管理方面，我需要更加有效地组织课堂活动，确保每位学生都能积极参与讨论和练习。

改进措施和建议：

1.针对基础知识掌握不够扎实的同学，我将安排额外的辅导时间，帮助他们巩固基础知识，提高他们的学习信心。

2.在课堂讨论环节，我将鼓励更多的学生参与进来，通过提问和小组合作，提高他们的参与度和积极性。

3.在练习环节，我将提供更多样化的练习题，让学生在实践中不断探索和发现，提高他们的解题能力。

4.我还将继续学习和探索新的教学方法，不断优化教学策略，以提高教学效果。九、课堂小结，当堂检测

课堂小结：

当堂检测：

为了检验大家的学习成果，我准备了一些当堂检测题，请大家认真完成。这些题目涵盖了今天所学的空间向量的基本概念、运算方法和在立体几何中的应用，希望大家能够灵活运用所学知识，解决问题。

1.已知空间中两点A(1,2,3)和B(4,5,6)，求线段AB的中点坐标。

2.在空间直角坐标系中，点P(a,b,c)到原点O的距离是点P到平面xoy的距离的2倍，求a,b,c的关系。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线AB1与CD1所成的角。

4.已知空间中两点A(1,2,3)和B(4,5,6)，求向量AB的模长。

5.在空间中，已知平面α的方程为x+2y-z=1，求平面α的法向量。

解答：

1.线段AB的中点C的坐标为(2.5,3.5,4.5)。

2.a^2+b^2=3c^2。

3.异面直线AB1与CD1所成的角为60°。

4.向量AB的模长为√(9+9+9)=3√3。

5.平面α的法向量为(1,2,-1)。

请大家认真核对答案，确保自己对空间向量的应用有了更加深入的理解。对于答案有疑问的同学，可以随时向我请教，我会尽力为大家解答。第6章空间向量与立体几何本章复习与测试一、课程基本信息

1.课程名称：高中数学选择性必修第二册苏教版（2019）第6章空间向量与立体几何本章复习与测试

2.教学年级和班级：高中二年级

3.授课时间：2023年11月10日上午第三节课

4.教学时数：1课时二、核心素养目标

1.让学生能够运用空间想象力和逻辑推理能力，理解和掌握空间向量的基本概念和运算方法。

2.培养学生运用空间向量解决实际问题的能力，提高几何直观和数学建模素养。

3.通过对立体几何图形的分析和推理，发展学生的数学抽象思维和数据分析能力。三、教学难点与重点

1.教学重点

①空间向量的概念、表示及运算规则。

②空间向量在几何中的应用，如夹角、距离的计算。

③立体几何图形的基本性质和判定定理。

④空间几何图形的画法和解题策略。

2.教学难点

①空间向量的坐标表示及其运算的直观理解。

②空间向量数量积、向量积的概念及其应用。

③立体几何中点、线、面的位置关系和空间关系的分析。

④空间几何问题的转化，将实际问题抽象为数学模型，以及模型的求解。四、教学资源准备

1.教材：确保每位学生都配备了《高中数学选择性必修第二册苏教版（2019）》教材。

2.辅助材料：收集与空间向量及立体几何相关的PPT演示文稿，包括图形、公式和例题。

3.教学工具：准备白板、投影仪和电脑，以便展示PPT和进行板书。

4.教室布置：将教室环境布置为便于学生分组讨论的格局，确保每个小组都有足够的空间进行交流和合作。五、教学过程

1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过提问“同学们，你们在生活中有没有遇到过需要计算物体空间位置的问题？”来激发学生的兴趣。

-回顾旧知：让学生回顾在平面几何中学过的向量知识，如向量的定义、表示方法以及基本的向量运算。

2.新课呈现（约25分钟）

-讲解新知：详细介绍空间向量的概念、表示方法以及在立体几何中的应用。

-举例说明：通过具体的例题，如计算空间两点间的距离、空间向量夹角的求解等，帮助学生理解空间向量的运算和几何意义。

-互动探究：将学生分成小组，让他们讨论如何利用空间向量解决立体几何问题，并鼓励学生分享自己的思路和发现。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：布置一些与空间向量相关的练习题，让学生独立完成，以加深对空间向量知识的理解和应用。

-教师指导：在学生练习过程中，教师巡回指导，针对学生的疑问和错误给予及时的解答和纠正。

4.应用拓展（约10分钟）

-应用讨论：引导学生思考空间向量在实际生活中的应用，如物理中的力的分解和合成、工程中的测量定位等。

-拓展探究：提出一些更复杂的立体几何问题，让学生尝试运用所学知识进行解决，培养学生的空间想象能力和问题解决能力。

5.总结反馈（约5分钟）

-总结知识：教师总结本节课所学的主要内容，强调空间向量在立体几何中的重要性。

-反馈评价：邀请学生分享本节课的学习收获，教师对学生的学习情况进行评价和反馈，指出需要改进的地方。

6.作业布置（约5分钟）

-布置作业：根据本节课的学习内容，布置相关的作业，包括复习题和思考题，以巩固所学知识。

-说明要求：向学生说明作业的完成要求，包括提交时间和作业格式，确保学生明确作业的具体要求。六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-推荐阅读《空间解析几何》相关章节，以帮助学生更深入地理解空间向量的性质和立体几何的原理。

-提供一些关于空间向量在物理学、工程学等领域的应用案例，让学生了解数学知识在实际生活中的应用价值。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-鼓励学生探索空间向量在不同坐标系下的表示方法，如柱坐标系和球坐标系，并尝试将空间向量问题转化为不同坐标系下的计算。

-让学生通过数学软件（如GeoGebra）或编程（如Python）来模拟空间向量的运算和立体几何图形的构建，增强直观感和实践能力。

-探究空间向量在解决实际问题中的作用，例如在建筑设计中如何利用空间向量来计算结构的稳定性和受力分析。

-鼓励学生阅读关于数学家如何发现和证明空间向量相关定理的故事，了解数学发展的历史背景。

-提议学生参与数学竞赛或数学模型挑战，将所学知识应用于解决实际问题，提升解决复杂问题的能力。

-建议学生组成学习小组，定期讨论空间向量与立体几何的难题，共同进步。

-让学生尝试编写关于空间向量的小论文或报告，加深对知识点的理解和记忆。

-推荐学生阅读《数学杂志》、《数学通讯》等数学期刊，了解空间向量领域的最新研究进展和学术动态。七、教学反思与改进

今天的课堂上，我发现学生们对于空间向量的基本概念掌握得还可以，但是在实际应用题目的解决上，明显感觉到他们的思路不够开阔，运算能力也有待提高。我设计了一些反思活动，希望能够评估教学效果并找出需要改进的地方。

首先，我在课后收集了学生的课堂练习和作业，仔细分析了他们的答题情况。我发现，一些学生在计算空间向量数量积和向量积时，对于坐标的运用还不够熟练，导致在解题过程中出现了错误。此外，学生在解决实际问题时，往往不能快速地将问题转化为数学模型，这说明他们对空间几何的理解还不够深入。

针对这些问题，我计划采取以下改进措施：

首先，我会调整课堂练习的难度，增加一些针对空间向量运算的练习题，让学生通过大量的练习来熟悉和掌握运算技巧。同时，我会设计一些与实际生活紧密相关的题目，让学生在解决问题的过程中，自然而然地运用空间向量知识。

其次，我会利用多媒体工具，如动画或3D建模，来展示空间向量的运算过程和立体几何图形的构建，帮助学生建立起空间想象能力。通过直观的演示，学生可能会更容易理解空间向量在立体几何中的应用。

另外，我打算在课堂上设置更多的小组讨论环节，让学生们有机会互相交流解题思路和方法。这样不仅可以提高他们的合作能力，还能通过集思广益，拓宽解题的思路。

我还计划在课后组织一些辅导课程，特别是对于那些在空间向量学习上遇到困难的学生，提供额外的帮助和支持。通过一对一的辅导，我可以更准确地找出他们的问题所在，并提供个性化的指导。

最后，我会定期进行教学反思，不断地调整和优化教学方法。我会持续关注学生的进步，并根据他们的反馈和表现来调整教学计划，确保每一位学生都能够跟上课程的进度，并真正理解和掌握空间向量的知识。八、板书设计

1.空间向量的基本概念

①空间向量的定义

②向量的表示方法

③向量的长度（模）和方向

2.空间向量的运算

①向量的加法和减法

②向量的数量积（点积）

③向量的向量积（叉积）

3.空间向量在立体几何中的应用

①空间向量与点、线、面的关系

②空间几何图形的性质和判定定理

③空间几何图形的画法和解题策略

4.立体几何中的距离和夹角

①空间两点间的距离公式

②空间向量夹角的计算

③空间线线、线面、面面间的夹角和距离的计算第7章计数原理7.1两个基本计数原理主备人备课成员设计意图核心素养目标教学难点与重点1.教学重点

①理解并掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理；

②能够运用两个基本计数原理解决实际问题；

③培养学生运用数学语言表达和解决问题的能力。

2.教学难点

①区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用场景；

②在复杂问题中灵活运用两个基本计数原理进行求解；

③培养学生逻辑思维和抽象思维能力，提高解决实际问题的效率。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时步骤师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法

①采用讲授法，系统地介绍两个基本计数原理的概念和运用；

②运用讨论法，组织学生针对具体问题进行小组讨论，促进学生互动和思考；

③利用实验法，通过实际操作和模拟实验，帮助学生直观理解计数原理的应用。

2.教学手段

①使用多媒体设备展示计数原理的动画演示，增强直观性；

②利用教学软件设计互动题目，让学生即时练习并反馈；

③结合网络资源，提供额外的学习材料和案例，拓展学生的学习视野。教学过程1.导入（约5分钟）

激发兴趣：通过提出一个生活中的计数问题，如“一个班级有30名学生，其中15人参加数学竞赛，12人参加物理竞赛，5人同时参加了数学和物理竞赛，问至少有多少人没有参加任何一项竞赛？”以此问题引起学生对计数原理的兴趣。

回顾旧知：简要回顾学生在初中阶段学习的排列组合基本概念，为学习两个基本计数原理打下基础。

2.新课呈现（约25分钟）

讲解新知：详细介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义、适用条件和计算方法。

举例说明：通过具体例题，如“从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路，问从甲地到丙地共有多少种不同的路线？”来说明分步乘法计数原理的应用。

互动探究：让学生在小组内讨论，如何运用两个计数原理解决导入环节提出的问题，并邀请小组代表分享讨论结果。

3.巩固练习（约20分钟）

学生活动：学生在纸上完成几个与两个基本计数原理相关的练习题，如“一个班级有10名学生，其中4人喜欢打篮球，5人喜欢打足球，2人两者都喜欢，问至少有多少人不喜欢篮球也不喜欢足球？”

教师指导：在学生练习过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，确保每个学生都能正确理解和运用计数原理。

4.总结提升（约10分钟）

拓展延伸：提出一些更复杂的问题，鼓励学生在课后尝试解决，以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

5.作业布置（约5分钟）

布置作业：根据本节课的内容，布置一些相关的习题，要求学生在课后完成，巩固对两个基本计数原理的理解和应用。学生学习效果学生学习效果

1.理解并掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义、适用条件和计算方法，能够正确区分两个原理的使用场景。

2.通过课堂上的例题讲解和练习，学生能够运用两个基本计数原理解决实际问题，如计算不同事件组合的可能性数量。

3.学生在互动探究环节中，通过小组讨论和分享，提高了团队合作能力，同时加深了对计数原理的理解和应用。

4.在巩固练习环节，学生能够独立完成相关习题，表明他们能够将课堂上学到的知识应用到新的情境中，提高了问题解决能力。

5.学生通过课堂学习和课后作业，能够将两个基本计数原理与之前学过的排列组合知识相结合，形成更完整的数学知识体系。

6.学生在解决复杂计数问题时，能够展现出逻辑思维能力和抽象思维能力，这对于他们未来学习更高阶的数学知识具有重要意义。

7.学生在教师的指导下，能够及时得到反馈和帮助，这不仅提高了他们的学习效率，也增强了他们学习数学的自信心。

8.通过本节课的学习，学生对计数原理在实际生活中的应用有了更深刻的认识，能够将数学知识应用于日常生活和其他学科学习中。

9.学生在学习过程中，不仅掌握了数学知识，还培养了批判性思维和创造性思维，这对于他们综合素养的提升有着积极的影响。

10.作业的完成情况显示，学生能够将本节课的知识点内化为自己的能力，形成长期记忆，为后续相关课程的学习打下了坚实的基础。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在教学过程中，我尝试将实际生活中的问题引入课堂，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了他们的学习兴趣和积极性。

2.我运用多媒体教学手段，通过动画和图像展示计数原理的应用，使得抽象的概念更加直观易懂，增强了学生的学习体验。

（二）存在主要问题

1.在教学组织方面，我发现部分学生在小组讨论时参与度不高，可能是因为讨论题目难度不均或者学生性格原因，导致讨论效果不尽如人意。

2.在教学方法上，我意识到对于一些基础薄弱的学生来说，课堂上的进度可能过快，他们难以跟上教学节奏，影响了学习效果。

3.在教学评价方面，我发现作业批改后反馈不够及时，导致学生不能及时了解自己的错误和不足，影响了他们学习的积极性。

（三）改进措施

1.针对讨论参与度不高的问题，我将在下一次讨论中调整题目难度，确保每个学生都能参与到讨论中来，并且会鼓励内向的学生多表达自己的观点。

2.对于基础薄弱的学生，我计划在课后提供额外的辅导时间，帮助他们弥补知识漏洞，确保他们能够跟上教学进度。

3.为了提高教学评价的及时性，我会优化作业批改流程，确保能够在下一次课前将批改结果反馈给学生，并给出具体的改进建议，帮助他们更好地掌握知识。课堂1.课堂评价

在课堂教学中，我采用以下方式进行评价：

-提问：通过课堂提问，检查学生对两个基本计数原理的理解程度，以及他们能否将原理应用于具体问题中。

-观察：关注学生在小组讨论和互动探究环节的表现，观察他们是否能够积极参与，以及他们的合作和沟通能力。

-测试：在课堂结束时，进行简短的小测试，以评估学生对本节课知识点的掌握情况。

2.作业评价

在作业评价方面，我采取以下措施：

-认真批改：仔细检查学生的作业，不仅关注答案的正确性，还关注解题过程和逻辑推理。

-点评：针对每个学生的作业，给出具体而详细的点评，指出其优点和需要改进的地方。

-及时反馈：在作业批改后，尽快将作业和点评反馈给学生，让他们了解自己的学习效果，并鼓励他们针对不足之处进行改进。

此外，我还会根据作业评价的结果，调整教学策略，确保教学内容和进度与学生的学习需求相匹配。通过持续的课堂和作业评价，我旨在帮助学生建立扎实的数学基础，并提高他们解决问题的能力。第7章计数原理7.2排列课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、教材分析高中数学选择性必修第二册苏教版（2019）第7章计数原理7.2排列，主要介绍了排列的概念、排列数公式以及排列的应用。本章内容承前启后，既是对之前组合知识的拓展，也为后续概率统计的学习打下基础。通过具体例题和练习题，帮助学生掌握排列的基本概念和计算方法，培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。二、核心素养目标三、学习者分析1.学生已经掌握了组合的概念和计算方法，了解了计数原理的基本思想，对排列的概念有一定的初步认识。

2.学生在学习兴趣方面，对数学问题解决有较高的热情，喜欢通过具体案例来理解和掌握知识。在能力上，具备一定的逻辑思维和分析问题的能力，但可能在抽象思维方面有所欠缺。学习风格上，学生更倾向于通过实例和练习来加深理解。

3.学生在排列的学习中可能遇到的困难和挑战包括：对排列定义的理解不够深入，容易与组合混淆；排列数公式的推导和应用不够熟练；在实际问题中难以区分排列和组合的应用场景。四、教学资源-教科书《高中数学选择性必修第二册苏教版（2019）》

-多媒体教学设备（投影仪、电脑）

-数学软件（如几何画板、数学实验室等）

-课堂练习题和测试卷

-实际生活中的排列问题案例

-教学PPT

-网络资源（数学教育平台提供的排列相关教学视频、文章等）五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过班级微信群发布预习资料，包括章节内容概要、重要公式推导过程和预习思考题。

-设计预习问题：设计如“排列与组合的区别是什么？”、“如何计算排列数？”等预习问题，引导学生思考。

-监控预习进度：通过在线平台查看学生预习情况的反馈，及时调整教学计划。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生根据预习任务，阅读相关章节，理解排列的基本概念。

-思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，尝试解答并记录疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和思考题答案提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生的自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台和微信群，提高信息传递效率。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过生活中的排列实例，如“班级座位安排”来导入新课，激发兴趣。

-讲解知识点：详细讲解排列的定义、排列数公式及其推导过程。

-组织课堂活动：组织小组讨论，如“给定n个不同元素，计算排列数的公式是什么？”

-解答疑问：对学生在学习中产生的疑问，如排列数公式中的“为什么是n!”进行解答。

学生活动：

-听讲并思考：学生听讲并思考排列的概念和公式的应用。

-参与课堂活动：学生参与小组讨论，通过实际操作理解排列数公式。

-提问与讨论：学生提出如“排列数公式如何应用于实际问题？”等问题，并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：清晰讲解排列数公式及其应用。

-实践活动法：通过小组活动，让学生在实践中运用排列数公式。

-合作学习法：培养学生的团队合作和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置与排列数公式相关的练习题，巩固学生对排列的理解。

-提供拓展资源：提供与排列相关的数学竞赛题目或实际案例，供学有余力的学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，针对学生的错误给出指导性建议。

学生活动：

-完成作业：学生完成练习题，巩固排列数公式的应用。

-拓展学习：学生利用拓展资源，探索排列数公式在更广泛领域的应用。

-反思总结：学生总结排列数公式的学习心得，提出如“如何更快速地计算排列数？”等改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索排列数公式的应用。

-反思总结法：引导学生通过总结反思，提高学习效率。

本节课的重难点在于排列数公式的理解和应用，通过课前预习、课中讨论和练习、课后拓展，帮助学生逐步掌握排列数公式的推导和应用，培养解决问题的能力。六、拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《数学之美》中关于排列组合的章节，深入浅出地介绍了排列组合在实际生活中的应用。

-《概率论与数理统计》中关于排列组合的基本概念和定理，为学生提供了更深入的数学理论背景。

-《离散数学及其应用》中关于排列组合的案例分析，帮助学生理解排列组合在计算机科学中的应用。

-《高中数学竞赛辅导》中涉及排列组合的竞赛题目，供学有余力的学生挑战。

2.课后自主学习和探究

-探索排列数公式的推导过程，尝试用不同的方法证明排列数公式。

-研究排列数公式在解决实际问题中的应用，如彩票中奖概率计算、运动员比赛顺序安排等。

-分析排列与组合在实际生活中的区别与联系，如密码设置、物品选择等问题。

-深入学习排列组合在概率统计中的应用，如事件独立性、随机变量的分布等。

-阅读数学杂志、数学博客中关于排列组合的趣味问题和研究文章，拓宽知识视野。

-参与数学竞赛或数学社团活动，与其他同学交流排列组合的学习心得和解题技巧。

-尝试将排列组合的知识应用于实际问题解决，如市场调查、数据统计分析等。

-观看在线教育平台上的排列组合教学视频，巩固和拓展课堂所学知识。

-定期回顾排列组合的知识点，通过练习题和案例分析，提高解题速度和准确性。

-探索排列组合在计算机科学、工程学、经济学等领域的应用，了解跨学科知识。七、教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题和参与讨论。

-学生对于排列的基本概念和排列数公式有了一定的理解，能够运用公式解决简单问题。

-部分学生在课堂讨论中能够提出自己的想法和疑问，表现出良好的探究精神。

2.小组讨论成果展示：

-各小组能够按照要求完成讨论任务，展示了对排列数公式的不同理解和应用案例。

-小组间的交流较为充分，部分小组能够将排列数公式与实际问题相结合，提出有创意的解决方案。

-展示过程中，学生能够清晰地表达自己的观点，同时也能够接受和吸收其他小组的反馈。

3.随堂测试：

-随堂测试结果显示，大部分学生能够正确计算排列数，但部分学生在复杂问题上的应用能力较弱。

-测试中发现的常见错误包括对排列数公式的误用和对问题条件的理解不准确。

-学生在测试后能够主动询问不理解的问题，显示出对知识掌握的渴望。

4.课后作业：

-课后作业的完成情况良好，大多数学生能够按时提交作业，且答案正确率较高。

-部分学生在作业中表现出对排列数公式的深入理解，能够灵活运用到不同的问题情境中。

-作业中反映出部分学生在排列数公式推导和应用方面仍存在困惑，需要进一步指导。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的课堂表现，教师应及时给予肯定和鼓励，特别是对于积极参与和提出创新想法的学生。

-对于小组讨论成果展示，教师应提供具体、建设性的反馈，帮助学生完善理解和应用能力。

-针对随堂测试的结果，教师应分析学生的错误类型，提供针对性的辅导和解释，帮助学生克服难点。

-对于课后作业，教师应及时批改并给出详细的反馈，指导学生如何改进解题方法和思路。

-教师还应定期总结学生的学习情况，通过班会或在线平台与学生交流，了解他们在学习中的需求和困难，不断调整教学策略，以提高教学质量。八、典型例题讲解例题1：

已知集合A中有5个不同的元素，从中任选3个元素组成一个排列，求排列的总数。

解答：

这是一个典型的排列问题，可以直接应用排列数公式。根据公式，排列数为P(n,k)=n!/(n-k)!，其中n是集合中元素的总数，k是要排列的元素个数。因此，排列的总数为P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=(5×4×3×2×1)/(2×1)=60。

例题2：

某班级有8名学生，其中甲必须坐在正中间，乙和丙两位同学必须坐在一起，则不同的坐法一共有多少种？

解答：

甲坐在正中间，有1种方法。乙和丙两位同学必须坐在一起，可以将他们看作一个整体，与其他5名学生一起排列，共有6个位置可以放置这个整体，因此有6!种方法。乙和丙两人内部的排列有2!种方法。所以，不同的坐法总数为1×6!×2!=720种。

例题3：

用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中0不在首位，1和2相邻的数有多少个？

解答：

0不在首位，因此首位可以是1-5中的任意一个数字，有5种选择。将1和2看作一个整体，与其他4个数字一起排列，共有5个位置可以放置这个整体，因此有5!种方法。1和2内部有2!种排列方法。由于首位不能是0，需要减去1和2作为整体放在首位的情况，即减去4!×2!种情况。所以，满足条件的数有5!×2!-4!×2!=240-48=192个。

例题4：

从5名男生和5名女生中选3名男生和3名女生排成一行拍毕业照，其中甲必须入选，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有多少种？

解答：

甲必须入选，从剩余的4名男生中选2名，有C(4,2)种方法。乙和丙两位同学必须站在一起，将他们看作一个整体，与其他4名女生一起排列，共有5!种方法。乙和丙内部有2!种排列方法。所以，不同的站法总数为C(4,2)×5!×2!=6×120×2=1440种。

例题5：

有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中任意取三个球，按从小到大的顺序排成一排，则不同的排法一共有多少种？

解答：

这是一个组合问题，因为球的编号不同，但排列的顺序是从小到大固定的。所以，我们只需要从5个球中选出3个球，这是一个组合问题，可以用组合数公式C(n,k)=n!/(k!×(n-k)!)。因此，不同的排法总数为C(5,3)=5!/(3!×(5-3)!)=10种。具体的排法可以是123，124，125，134，135，145，234，235，245，345。第7章计数原理7.3组合学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容高中数学选择性必修第二册苏教版（2019）第7章计数原理7.3组合，主要包括以下内容：

1.组合的定义与性质

2.组合数的计算公式

3.组合的应用：排列数与组合数的关系、组合在实际问题中的应用

4.组合问题的解题策略与方法

5.经典例题解析与练习

本节课重点讲解组合数的计算公式、组合的应用及解题策略，通过例题分析和练习题巩固学生对组合概念的理解和应用能力。核心素养目标1.理解组合概念，培养逻辑思维能力和数学抽象素养。

2.掌握组合数计算公式，提高数学运算能力。

3.能够运用组合知识解决实际问题，发展数学建模素养。

4.通过解题策略的学习，培养数学思考和分析问题的能力。重点难点及解决办法重点：

1.组合的定义及其与排列的区别。

2.组合数的计算公式和推导过程。

3.组合在实际问题中的应用。

难点：

1.排列数与组合数关系的理解。

2.复杂组合问题的解题策略。

解决办法：

1.对于组合的定义及区别，通过实例讲解和对比分析，使学生清晰理解组合的本质特征。

2.通过图形演示和公式推导，帮助学生直观掌握组合数的计算方法。

3.通过设计不同难度的练习题，让学生在实际问题中运用组合知识，培养解题能力。

4.对于排列数与组合数的关系，通过具体的例子进行讲解，帮助学生建立直观的数学模型。

5.对于复杂问题，采用问题分解、逐步引导的方法，训练学生逐步解决问题的能力。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解组合的概念、性质和计算方法。

2.讨论法：引导学生讨论组合在实际问题中的应用，激发思维。

3.练习法：通过大量练习，巩固学生对组合知识的掌握。

教学手段：

1.多媒体演示：使用PPT展示组合数的计算过程和实例。

2.教学软件：利用数学软件辅助学生进行组合问题探究。

3.网络资源：提供在线练习和互动平台，增强学习趣味性和互动性。教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过回顾上一节课学习的排列知识，提出问题：“排列与组合有何不同？”引导学生思考并引出本节课的主题——组合。接着简要介绍组合的概念，为学生讲解组合在实际生活中的应用，激发学生的兴趣。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

（1）讲解组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（2）讲解组合数的计算公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，通过具体实例演示公式的推导过程。

（3）讲解组合的应用：通过实例分析，展示组合在实际问题中的运用，如抽奖、分组等。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

（1）让学生独立完成教材上的练习题，巩固组合数的计算公式。

（2）设置一个实际问题，要求学生运用组合知识解决问题，培养学生的实际应用能力。

（3）进行一个小游戏，让学生在游戏中体验组合的概念，增强学习兴趣。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

（1）讨论组合数的计算公式在实际问题中的应用，举例回答如何运用公式解决具体问题。

（2）讨论组合与排列的关系，举例回答在实际问题中如何区分排列和组合。

（3）讨论解题策略，举例回答在解决复杂组合问题时如何采用合适的策略。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：对本节课学习的组合知识进行总结，回顾组合的定义、计算公式和应用。强调本节课的重点和难点，提醒学生在课后加强练习，巩固所学知识。知识点梳理一、组合的定义与性质

1.组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2.组合的性质：组合的顺序无关紧要，即两个组合相同当且仅当它们包含的元素相同，与元素的排列顺序无关。

二、组合数的计算公式

1.组合数的表示：C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

2.组合数的计算公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。

三、组合的应用

1.抽奖问题：从n个不同的奖品中抽取m个，计算中奖的概率。

2.分组问题：将n个不同的人分成m个组，计算不同的分组方式数量。

3.组合编码问题：使用数字或字母组合生成编码，计算可能的编码数量。

四、组合与排列的关系

1.区别：排列关注元素的顺序，组合关注元素的存在。

2.关系：排列数是组合数的m!倍，即P(n,m)=m!*C(n,m)。

五、组合问题的解题策略

1.画树状图：通过画树状图来直观展示所有可能的组合情况。

2.建立模型：将实际问题转化为组合数学模型，利用组合公式求解。

3.逐步求解：将复杂问题分解为多个简单问题，逐步求解。

六、经典例题解析

1.计算C(5,3)的值。

解答：C(5,3)=5!/[3!(5-3)!]=(5*4*3*2*1)/[(3*2*1)*(2*1)]=10。

2.一个班级有10名学生，其中3名学生是足球队员，5名学生是篮球队员，2名学生既不是足球队员也不是篮球队员。现要从这个班级中选出4名学生参加比赛，计算选出的4名学生中至少有1名足球队员的概率。

解答：先计算所有可能的组合数C(10,4)，再计算没有足球队员的组合数C(7,4)。最后，用1减去没有足球队员的概率得到至少有1名足球队员的概率。

七、课后练习建议

1.练习教材上的习题，加深对组合概念的理解。

2.自行设计一些实际问题，运用组合知识解决。

3.总结解题过程中的经验和技巧，提高解题效率。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《离散数学及其应用》中关于组合数学的章节，深入了解组合数学的基本理论及其在计算机科学、统计学等领域的应用。

-视频资源：观看网上公开课或教学视频，如“组合数学导论”系列视频，加深对组合概念的理解和计算方法的应用。

2.拓展要求：

-学生在课后自主选择阅读材料或观看视频，记录下自己的学习心得和疑问。

-鼓励学生尝试解决阅读材料或视频中的实际问题，将所学知识应用到具体情境中。

-学生可以在下一次课前分享自己的学习成果，与其他同学交流学习经验。

-教师在课后提供必要的指导，如推荐适合的阅读材料、解答学生在学习过程中遇到的疑问等。

-学生可以尝试编写自己的组合数学问题，与同学进行挑战，提高解题能力。

-学生可以探索组合数学在生活中的应用，如彩票组合、社交网络分析等，增强学习的实践意义。

-学生可以参加学校或社区组织的数学竞赛，将所学知识运用到竞赛中，检验自己的学习成果。

-教师可以定期组织小型研讨会，让学生展示自己的拓展学习成果，促进学生的思考和交流。内容逻辑关系①组合的定义与性质

-重点知识点：组合的定义、组合的性质。

-重点词：不同元素、任取、组合、顺序无关。

②组合数的计算公式

-重点知识点：组合数的计算公式、阶乘的概念。

-重点词：组合数、计算公式、阶乘、分母分子。

③组合的应用与解题策略

-重点知识点：组合在实际问题中的应用、解题策略。

-重点词：应用、实际问题、解题策略、画树状图、建立模型、逐步求解。课堂1.课堂评价

-提问：在课堂讲解过程中，教师通过提问的方式检验学生对组合概念的理解和计算公式的掌握。例如，教师可以提问：“如何区分排列和组合？”或“组合数的计算公式是什么？”

-观察：教师在课堂活动中观察学生的反应和参与度，了解学生对组合知识点的兴趣和掌握程度。观察学生在小组讨论中的表现，是否能够积极参与并正确运用组合知识。

-测试：在课堂结束前，教师可以安排一个小测验，测试学生对本节课内容的理解程度。测验可以包括选择题、填空题或解答题，以检验学生对组合定义、性质和计算方法的掌握。

2.作业评价