大学物理课件：第十章

第页大学物理课件：第十章第十章变化电磁场的基本规律一、基本要求1．掌握法拉第电磁感应定律。2．理解动生电动势及感生电动势的概念，本质及计算方法。3．理解自感系数，互感系数的定义和物理意义，并能计算一些简单问题。4．了解磁能密度的概念5．了解涡旋电场、位移电流的概念，以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义，了解电磁场的物质性。二、基本内容1.电源的电动势在电源内部，把单位正电荷由负极移到正极时，非静电力所做的功为作用于单位正电荷上的非静电力，电动势方向为电源内部电势升高的方向。2．法拉第电磁感应定律当闭合回路面积中的磁通量随时间变化时，回路中即产生感应电动势：i方向由式中负号或楞次定律确定。该定律是电磁感应的基本规律，无论是闭合回路还是通过作辅助线形成闭合回路，只要能够求出该回路所围面积的磁通量，就可以应用定律得到该回路中的感应电动势。自感、互感电动势也是该定律的直接结果。3．.动生电动势动生电动势是导体在稳恒磁场中运动而产生的感应电动势，它的起源是非静电场力——洛伦兹力，其数学表达式为i或ab式中，动生电动势方向沿（）方向。如ab>0，则Va0，由楞次定律i>0，回路感应电流的方向为顺时针方向（俯视）。10-5如图所示，一个半径为，电阻为的刚性线圈在匀强磁场中绕轴以转动，若忽略自感，当线圈平题10-5图面转至与平行时，求：（1）AB、AC各等于多少？（注意）（2）确定两点哪点电势高？两点哪点电势高？解：（1）在圆弧CA某点上取一线元，方向如图，与的夹角为，线元因切割磁力线而产生的动生电动势i又所以I-间任一段由~的圆弧的动生电动势题10-5图i故BACA（2）由（1）知CA0，则i方向为ADCBA顺时针绕向。（2）回路沿轴正向运动，，时，时，矩形回路在时刻的磁通量==ii方向为ADCBA（3）回路绕轴以匀速转动。设回路平面与轴夹角为，在回路中取面积元，与轴相距为，通过面积元的磁通量题10-6（b）图矩形回路的磁通量感应电动势i=方向为ABCDA10-7如图所示，一长直导线通有电流，其附近有正方形线圈，线圈绕轴以匀角速旋转，转轴与导线平行，二者题10-7图相距为，且在线圈平面内与其一边平行并过中心，求任意时刻线圈中的感应电动势。解：设时，线圈与直导线在同一平面。时，线圈转过角度（如图）此时通过线圈的磁通量等于通过宽为高为与直导线共面的线圈的磁通量，设点点到直导线距离分别为=i=题10-7（a）图题10-7（b）图10-8如图所示，质量为、长度约为的金属棒由静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系，不计棒与题10-8图框架的摩擦。如果棒（金属）是沿光滑的金属斜框架下滑，结果有何不同？提示：（回路中将产生感应电流，并设回路电阻为常量考虑）。解：（1）金属棒所受重力加速度沿斜面方向的分量为棒的速度磁场沿垂直于棒运动方向（垂直于斜面）的分量为故棒的动生电动势i=（2）若框架为光滑金属，电阻恒为，当棒以速度沿斜面下滑时，回路感生电动势i感生电流I=i/R题10-8图金属棒受安培力沿斜面的分量由牛顿定律即分离变量由初始条件。两边积分题10-9图10-9如图所示，在长直导线中通以交变电流，其中为瞬时电流，为其最大值。在与此导线相距为远处有一边长为和的矩形线圈。求：（1）在任意时刻穿过线圈的磁通量；（2）在任意时刻线圈中的感应电动势。（线圈平面直导线共面。解：（1）导线通有交变电流，在周围空间产生交变磁场，在距导线为处磁感应强度为取顺时针方向为回路绕向，在距导线为处题10-9图的矩形线圈内取面积元，通过该面积元的磁通量为在时刻通过线圈的磁通量为（2）由i得，线圈中的感应电动势i10-10如图所示，边长为的正方形导体回路，置于虚线内的均匀磁场中为，且以的变化率减小，图中点为圆心，沿直径，求：（1）各点感应电场的方向；（2）和的电动势；题10-10图题10-10图解：（1）参考P335例10-5知：点的感应电场的方向都垂直于该点半径，沿顺时针方向。（2）在段取线元与圆心距离为，管内磁场均匀分布，由于边界为圆，分布具有轴对称性，取半径为的同轴圆环作为积分回路，以顺时针方向作绕行方向。线元处的电场为由，得，即回路各点方向同绕行方向。沿方向的分量为ce==同理eg10-11如图所示，有一圆筒，半径为，其中有方向与轴平行的磁场，以的速率减少着。三点离轴线的距离均为。问电子在各点处可获得多大的加速度？其方向如何？题10-11图如果电子处于轴线上其加速度的大小又如何？题10-11图解：圆筒中变化的磁场产生涡旋电场。在筒内距轴线cm处取一闭合圆形回路，沿回路电场强度的积分由于对称性各点的方向沿顺时针的切线方向、、处电子获加速度点方向向左，点向右，点向上。若电子处于轴线上，由于轴线处涡旋电场强度为零，则该点电子受电场力为零，加速度为零。10-12如图所示，设有一金属丝绕成螺绕环，没有铁芯。其匝数密度为，截面积。金属丝的两端和电源及可变电阻器联成闭合回路。若在环上再绕一线圈，匝数为，电阻，两端与检流计G接成一闭合回路。当调节可变电阻使通过螺绕环的电流强度I每秒降低20A。求：（1）A线圈中产生的感应电动势和感应电流；（2）两秒内通过线圈的感应电量。解：（1）通过线圈的磁通量与大螺绕环内的磁通量相同。大螺绕环内磁感应强度线圈的磁通链数题10-12图线圈中的感应电动势i感应电流（2）经过两秒，。线圈的感应电量=10-13如图所示，一内外半径分别为、的带电平面圆环，电荷面密度为，其中心有一半径为的导体小环(、＞＞)，二者同心共面，设带电圆环以变角速度绕垂直于环面的中心轴旋转，导体小环中的感应电流等于多少？方向如何（已知小环的电阻为）？题10-13图解：在大圆环上距圆心为处取一环形面积元面积元带电量为当圆环以旋转时，面积元相当一圆电流在圆心处的磁感应强度大圆环在圆心的磁感应强度取逆时针方向为小环绕行正向，导体小环中的感应电动势i当＞0时，方向为顺时针。当＜0时，为逆时针。10-14如图所示，一电荷线密度为的长直带电线，以变速率沿着其长度方向运动，正方形线圈中总电阻为，求时刻线圈中感应电流大小（不计线圈题10-14自感）。解：变速率运动的直带电线相当于变化电流，在空间距直线为处的磁场在线圈中取面积元与直线相距为，取顺时针方向为回路绕行正向。通过面积元的磁通量整个线圈通过的磁通量题10-14线圈回路产生的感生电动势i感应电流10-15如图所示，均匀磁场与导体回路法线n的夹角为，磁感应强随时间线性增加，(＞0),以线速度向右滑动，求任意时刻感应电动势的大小和方向。解：由。在任一时刻由法拉第电磁感应定律i题10-15图=i的方向由指向。10-16如图所示，真空中一长直导线通以电流，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距，矩形线框的滑动边与长直导线垂直，其长度为b，以匀速滑动。忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感应电动势i并讨论i的方向。解：设任意时刻t，滑动边运动到如图所示位置且与对边的距离为x，仍选顺时针方向为回路绕行方向，仿照题10-2中的处理，可得回路中的磁通量为由题中所给初始条件，可得，，代入上式后回路中的感应电动势i可见，回路中感应电动势的方向由的符号来决定，开始时，t很小，，回路中感应电动势为逆时针方向。而当时，回路中感应电动势为零。t再增大时，回路中感应电动势为顺时针方向。题10-16图10-17一长直螺线管的导线中通有10.0A的电流，通过每匝线圈的磁通量是20µWB，当电流以4.0的速率变化时，产生的自感电动势为3.2mV。求此螺线管的自感系数与总匝数。解：由题意，螺线管内则通过每匝线圈的磁通量代入可得再由得但对长直螺线管，有所以故总匝数10-18有一个长，截面直径为，并绕有匝线圈的圆纸筒螺旋管导线线圈。（1）求该线圈的自感；（2）如果在这线圈纸筒内充满的铁芯，这时线圈的的自感有何变化。解：（1）螺线管，由自感定义得=对于纸筒内的介质为空气，（2）纸筒内充满铁芯10-19一个圆形线圈由匝绝缘漆包导线绕成，其面积，将其放在另一个半径为的同样导线绕成的大线圈的中心，并让两者同轴，大线圈为匝。求：（1）两线圈的互感系数；（2）当大线圈中有的电流变化率减小着，求小线圈中的感应电动势？提示：，在的中心范围内可视为恒量处理。解：（1）由于，大线圈中的小线圈范围内近似为常量通过小线圈的磁通匝链数，由互感的定义（2）大线圈的电流变化率小线圈中的感应电动势i互感电动势的方向与线圈中电流方向相同10-20如图所示，已知两线圈的自感分别为和，它们之间的互感为。（1）将导线顺着串联，如图中所示，求1和4之间的自感。（2）将两导线圈反串联，如图中所示，求1和3之间的自感。题10-20图（a）（b）解：（1）将导线顺着串联，设通有电流，线圈内的磁通量为，总磁通链数为，其中由两线圈自感产生的磁通链数为由两线圈之间互感产生的磁通链数为故由，则（2）将两导线圈反串联，设通有电流，线圈总的磁通链数为。其中由两线圈自感和它们之间互感产生的磁通链数分别为，，，由，则10-21如图所示，截面为矩形的环形螺线管内外半径为和，高为，绕有匝线圈，电流为，在其轴上放置一长直导线，求此长直导线上感应电动势的大小？（提示：先求二者互感系数）解：设长直导线通有电流，距直导线为处的磁场题10-21（a）在螺线管截面内取一面积元，通过该面积元的磁通量通过整个螺线管截面的磁通量由，直导线与螺线管的互感系数当螺线管通有电流时，直导线中的感应电动势i题10-21（b）图10-22有一平绕于圆筒上的螺旋线圈，用号漆包线平绕，圆筒长为，直径为，共匝，漆包线的电阻是，求该线圈的自感系数和电阻。若将此线圈接于电动势的蓄电池上，问：（1）线圈在通电的暂态过程中的电流与时间的函数关系式是怎样的？开始时的电流增长率是多少？（2）线圈中电流达到稳定后的电流是多少？这时线圈中所储存的磁能是多少？磁能密度是多少？（3）这个回路的时间常数是多少？即：电流方程：中，的系数。在什么时刻电流正好为稳定时的一半？解：由自感电阻（1）通电的暂态过程分离变量题10-22（a）图由，两边积分电流增长率题10-22（b）图开始时（2）电流稳定时线圈储存的磁能磁能密度（3）电流达到所需的时间为时间常数电流为稳定值的一半时则10-23两根足够长的平行导线间的距离，在导线中保持而反向的恒定电流。（1）若导线半径为，求两导线间每单位长度的自感系数；（2）若将导线分开到距离，磁场对导线单位长度所作的功；（3）若将导线分开到距离时，单位长度的磁能改变了多少？是增加还是减少？说明能量的来源。解：（1）在两导线间距其中一导线为处取一长为的面积元，面积元处的磁感应强度题10-23图通过面积元的磁通量由两导线间单位长度的自感（2）两载流长直导线单位长度上所受的磁场力为两导线间距离，其中。当两导线距离由分开到，磁场对导线单位长度所做的功（3）单位长度磁场能量位移时，单位长度磁能改变量距离增加，自感增加，磁能增加，能量来源于维持电流不变的电源。10-24一个电感为，电阻为的线圈，将其与内阻可忽略的电动势的电源相连。求：（1）电流达到最大值时，电感中所储存的能量；（2）从接通时起算，经多少时间线圈中所储存的能量为前问的一半？解：（1）电流达到最大时，电感储存的能量（2）存储能量为最大值一半时，设电流为由闭合电路欧姆定律分离变量初始条件积分10-25实验室中一般可获得的强磁场为2.0T，强电场约为1×106。相应的磁场能量密度和电场能量密度是多大？解：在真空中计算能量密度可见，相应的磁能密度远大于电场能量密度，磁场更有利于储存能量。10-26一个半径为的两金属圆片做成的电容器，在充电时某个时刻的电场的时变率，若不计边缘效应。（1）求两极板间的位移电流；（2）求磁感应强度的极大值，和极大值的的位置。解：（1）因是空气电容器