高考数学（北师大版文）讲义第七章　不等式74

§7.4基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.(×)(2)函数f(x)＝cosx＋eq\f(4,cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.(×)(3)“x>0且y>0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要条件．(×)(4)若a>0，则a3＋eq\f(1,a2)的最小值为2eq\r(a).(×)(5)不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)有相同的成立条件．(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)题组二教材改编2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82答案C解析∵x>0，y>0，∴eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)，即xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案25解析设矩形的一边为xm，则另一边为eq\f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋10－x,2)))2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题组三易错自纠4．“x>0”是“x＋eq\f(1,x)≥2成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案C解析当x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2.因为x，eq\f(1,x)同号，所以若x＋eq\f(1,x)≥2，则x>0，eq\f(1,x)>0，所以“x>0”是“x＋eq\f(1,x)≥2成立”的充要条件，故选C.5．设x>0，则函数y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值为()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(3,2)答案A解析y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时等号成立．∴函数的最小值为0.故选A.6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5答案D解析由3x＋y＝5xy，得eq\f(3x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,y)＋\f(1,x)))＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋9＋\f(3y,x)＋\f(12x,y)))≥eq\f(1,5)(4＋9＋2eq\r(36))＝5，当且仅当eq\f(3y,x)＝eq\f(12x,y)，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.故选D.题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式典例(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．答案eq\f(2,3)解析x(4－3x)＝eq\f(1,3)·(3x)(4－3x)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq\f(4,3)，当且仅当3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)时，取等号．(2)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．答案2eq\r(3)＋2解析y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1时，等号成立．命题点2通过常数代换法利用基本不等式典例(2017·河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A．8 B．6C．4 D．2答案C解析由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练(1)若对任意x≥1，不等式x＋eq\f(1,x＋1)－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析因为函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)－1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g(x)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2在[0，＋∞)上是增加的，所以函数g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝eq\f(1,2)，因此对任意x≥1，不等式x＋eq\f(1,x＋1)－1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝eq\f(1,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).(2)已知正数x，y满足x＋2y＝3，则eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________．答案eq\f(2\r(3)＋2,3)解析eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(\f(x＋2y,3),y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(x,3y)＋eq\f(2,3)≥2eq\r(\f(y,x)×\f(x,3y))＋eq\f(2,3)＝eq\f(2\r(3)＋2,3)，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(x,3y)，即x＝eq\r(3)y时等号成立，所以eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)的最小值为eq\f(2\r(3)＋2,3).题型二基本不等式的实际应用典例(2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得当0<x<80时，L(x)＝1000x×0.05－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋10x))－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；当x≥80时，L(x)＝1000x×0.05－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(51x＋\f(10000,x)－1450))－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x))).∴L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－250，0<x<80，,1200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，x≥80.))(2)当0<x<80时，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950.对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元；当x≥80时，L(x)＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(10000)＝1000(万元)，当且仅当x＝100时，L(x)max＝1000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．答案30解析一年的总运费为6×eq\f(600,x)＝eq\f(3600,x)(万元)．一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3600,x)＋4x))万元．因为eq\f(3600,x)＋4x≥2eq\r(\f(3600,x)·4x)＝240，当且仅当eq\f(3600,x)＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例(1)(2018届山东、湖北重点中学调研)已知函数f(x)＝lgx，若a>b>0，有|f(a)|＝|f(b)|，则eq\f(a2＋bi2,a－b)(i是虚数单位)的取值范围为()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)答案C解析因为f(x)＝lgx，由|f(a)|＝|f(b)|，可得a>1>b>0，所以lga＝－lgb，得ab＝1，所以eq\f(a2＋bi2,a－b)＝eq\f(a2－b2,a－b)＝a＋b＝a＋eq\f(1,a)>2，故选C.(2)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为()A．2B．4C．8D．9答案D解析由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x＋2a)2＋y2＝4，x2＋(y－b)2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b)，半径分别为2和1，故有eq\r(4a2＋b2)＝1，∴4a2＋b2＝1，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))(4a2＋b2)＝5＋eq\f(b2,a2)＋eq\f(4a2,b2)≥5＋4＝9，当且仅当eq\f(b2,a2)＝eq\f(4a2,b2)时，等号成立，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为9.命题点2求参数值或取值范围典例(1)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为()A．9B．12C．18D．24答案B解析由eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)，得m≤(a＋3b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(9b,a)＋eq\f(a,b)＋6.又eq\f(9b,a)＋eq\f(a,b)＋6≥2eq\r(9)＋6＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(9b,a)＝\f(a,b)，即a＝3b时等号成立))，∴m≤12，∴m的最大值为12.(2)已知函数f(x)＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞))解析对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即知a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3.设g(x)＝x＋eq\f(8,x)，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝eq\f(17,3).∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq\f(17,3)，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq\f(8,3)，∴a≥－eq\f(8,3)，故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)).思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练(1)(2018届辽宁名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sinCcosB＝2sinA＋sinB，c＝3ab，则ab的最小值为________．答案eq\f(1,3)解析在△ABC中，由A＋B＋C＝π，可知sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，∴2sinCcosB＝2sinA＋sinB＝2sin(B＋C)＋sinB，化简得－2sinBcosC＝sinB，∵sinB>0，∴cosC＝－eq\f(1,2)，∵c＝3ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时等号成立．∴ab≥eq\f(1,3)，则ab的最小值为eq\f(1,3).(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为________．答案4解析∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，∴A(1,1)，∵点A在直线mx＋ny－1＝0上(m，n>0)，∴m＋n＝1(m，n>0)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥2＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝4，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时取等号，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为4.利用基本不等式求最值典例(1)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋y的最小值是________．(2)函数y＝1－2x－eq\f(3,x)(x<0)的值域为________．错解展示(1)∵x>0，y>0，∴1＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(2,xy))，∴eq\r(xy)≥2eq\r(2)，∴x＋y≥2eq\r(xy)＝4eq\r(2)，∴x＋y的最小值为4eq\r(2).(2)∵2x＋eq\f(3,x)≥2eq\r(6)，∴y＝1－2x－eq\f(3,x)≤1－2eq\r(6).∴函数y＝1－2x－eq\f(3,x)(x<0)的值域为(－∞，1－2eq\r(6)]．错误答案(1)4eq\r(2)(2)(－∞，1－2eq\r(6)]现场纠错解析(1)∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(2x,y)≥3＋2eq\r(2)(当且仅当y＝eq\r(2)x时取等号)，∴当x＝eq\r(2)＋1，y＝2＋eq\r(2)时，(x＋y)min＝3＋2eq\r(2).(2)∵x<0，∴y＝1－2x－eq\f(3,x)＝1＋(－2x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x)))≥1＋2eq\r(－2x·\f(3,－x))＝1＋2eq\r(6)，当且仅当x＝－eq\f(\r(6),2)时取等号，故函数y＝1－2x－eq\f(3,x)(x<0)的值域为[1＋2eq\r(6)，＋∞)．答案(1)3＋2eq\r(2)(2)[1＋2eq\r(6)，＋∞)纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．(2017·孝感调研)“a>b>0”是“ab<eq\f(a2＋b2,2)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案A解析由a>b>0，可知a2＋b2>2ab，充分性成立，由ab<eq\f(a2＋b2,2)，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不成立，故选A.2．下列不等式一定成立的是()A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)答案C解析当x>0时，x2＋eq\f(1,4)≥2·x·eq\f(1,2)＝x，所以lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))≥lgx(x>0)，当且仅当x＝eq\f(1,2)时，等号成立，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有eq\f(1,x2＋1)＝1，故选项D不正确．3．(2018·青岛质检)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B．4C.eq\f(9,2)D．5答案C解析依题意，得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a>0，b>0，))即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)时取等号，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2).4．(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．4B．2eq\r(2)C．8D．16答案B解析由a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，得ab＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq\r(2).当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即a＝eq\f(\r(2),2)，b＝eq\r(2)时等号成立．故选B.5．若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4答案C解析由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)知，a>0，b>0，所以eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，即ab≥2eq\r(2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)，))即a＝eq\r(4,2)，b＝2eq\r(4,2)时取“＝”，所以ab的最小值为2eq\r(2).6．(2018·平顶山一模)若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是()A．a≥eq\f(1,5) B．a>eq\f(1,5)C．a<eq\f(1,5) D．a≤eq\f(1,5)答案A解析因为对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，所以对任意x∈(0，＋∞)，a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋3x＋1)))max，而对任意x∈(0，＋∞)，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时等号成立，∴a≥eq\f(1,5).7．已知2a＋4b＝2(a，b∈R)，则a＋2b的最大值为_______________．答案0解析2a＋4b＝2a＋22b＝2≥2eq\r(2a＋2b)，2a＋2b≤1＝20，a＋2b≤0，当a＝2b时等号成立，所以a＋2b的最大值为0.8．(2017·襄阳一调)已知x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，则eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,y)的最小值为________．答案eq\f(9,2)解析∵x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，∴x＋1>0，且(x＋1)＋2y＝2，∴eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,2)[(x＋1)＋2y]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(2,y)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2y,x＋1)＋\f(2x＋1,y)))≥eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)×2eq\r(\f(2y,x＋1)·\f(2x＋1,y))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2y,x＋1)＝\f(2x＋1,y)，,x＋2y＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(2,3)))时取等号，故eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,y)的最小值为eq\f(9,2).9．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．答案[4,12]解析∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤eq\f(x2＋4y2,2)，∴6－(x2＋4y2)≤eq\f(x2＋4y2,2)，∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号)．综上可知，4≤x2＋4y2≤12.10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案220解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝eq\f(k2,x)(k2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋\f(20,x)))万元，∵5x＋eq\f(20,x)≥2eq\r(5x×\f(20,x))＝20，当且仅当5x＝eq\f(20,x)，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．解(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2eq\r(10xy).∵2x＋5y＝20，∴2eq\r(10xy)≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝20，,2x＝5y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2，))此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq\f(2x＋5y,20)＝eq\f(1,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))≥eq\f(1,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋2\r(\f(5y,x)·\f(2x,y))))＝eq\f(7＋2\r(10),20)，当且仅当eq\f(5y,x)＝eq\f(2x,y)时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝20，,\f(5y,x)＝\f(2x,y)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10\r(10)－20,3)，,y＝\f(20－4\r(10),3).))∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为eq\f(7＋2\r(10),20).12．某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2.(1)求f(x)的解析式，并写出其定义域；(2)当x等于多少时，f(x)取得最小值？解(1)因为t1＝eq\f(9000,x)，t2＝eq\f(3000,3100－x)＝eq\f(1000,100－x)，所以f(x)＝t1＋t2＝eq\f(9000,x)＋eq\f(1000,100－x)，定义域为{x|1≤x≤99，x∈N＋}．(2)f(x)＝eq\f(9000,x)＋eq\f(1000,100－x)＝10[x＋(100－x)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,x)＋\f(1,100－x)))＝10eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10＋\f(9100－x,x)＋\f(x,100－x)))，因为1≤x≤99，x∈N＋，所以eq\f(9100－x,x)>0，eq\f(x,100－x)>0，