第四章 基本平面图形（压轴题专练）

第四章基本平面图形（压轴题专练）1．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A． B． C． D．2．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣43．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（）A．3 B．2 C．3或5 D．2或64．将一张纸按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．110°5．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，设∠BDF＝α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A． B．16π﹣32 C． D．8．如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案，它是一扇形图形，其中∠AOB为120°，OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（）A．64πcm2 B．112πcm2 C．144πcm2 D．152πcm29．如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm210．如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（）A．21 B．26 C．37 D．4211．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，则∠AOC等于（）A．40° B．60°或120° C．120° D．120°或40°12．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（）A． B． C． D．13．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有种不同的票价（来回票价一样），需准备种车票．16．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是．17．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽为20cm，则贴纸部分的面积为cm2．18．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．19．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段条．20．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．21．如图，∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．（1）如果∠AOC＝50°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出∠MON的度数吗？若能，请求出来，若不能，说明为什么？22．（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．23．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？24．已知A、B在数轴上分别表示a、b（1）对照数轴填写下表：a6﹣6﹣62﹣1.5b40﹣4﹣10﹣1.5A、B两点的距离20（2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（a＜b）有何数量关系；（3）写出数轴上到7和﹣7的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和；（4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x+1|+|x﹣2|取得的值最小．25．如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．（1）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．26．探究题：如图①，已知线段AB＝14cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．（1）若点C恰好是AB中点，则DE＝cm；（2）若AC＝4cm，求DE的长；（3）试利用“字母代替数”的方法，设AC＝acm请说明不论a取何值（a不超过14cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE＝60°与射线OC的位置无关．27．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在OM所在直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间t，若不存在，说明理由．28．如图，两个形状．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：∠DPC＝90°；（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则∠BPN＝，∠CPD＝（用含有t的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，正确的是（填写你认为正确结论的对应序号）．29．如图，已知线段AB＝4cm．（1）读句画图：延长线段AB到点C，使得AB＝2BC．（2）在（1）的条件下，若点P是线段AC的中点，求线段PB的长．（3）延长线段AB到点C，若点P是线段AC的中点，点Q是BC的中点，求线段PQ的长．30．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

第四章基本平面图形（压轴题专练）1．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选：D．2．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A【解答】解：S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝＝π﹣2故选：A．3．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（）A．3 B．2 C．3或5 D．2或6【答案】D【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB＝4．第一种情况：在线段AB外，AC＝4+2＝6；第二种情况：在线段AB内，AC＝4﹣2＝2．故选：D．4．将一张纸按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】B【解答】解：∵折叠前后两图形是全等形，∴∠CBD＝180°×＝90°．故选：B．5．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【解答】解：解法1：2点15分，分针指在数字3上，分针水平，当2点30分时，分针指在数字6上，分针垂直于水平时的分针，故分针转的角度是90°；解法2：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，从2点15分到2点30分分针转过了三份，转过的角度为3×30°＝90°．故选D．6．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，设∠BDF＝α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小【答案】C【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，DM＝AD＝AB，DN＝BD＝AB，∴DM＝DN，∴四边形DMCN是正方形，∴∠MDN＝90°，∴∠MDG＝90°﹣∠GDN，∵∠EDF＝90°，∴∠NDH＝90°﹣∠GDN，∴∠MDG＝∠NDH，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH，∴四边形DGCH的面积＝正方形DMCN的面积，∵正方形DMCN的面积＝DM2＝AB2，∴四边形DGCH的面积＝，∵扇形FDE的面积＝＝，∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形DGCH的面积＝（定值），故选：C．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A． B．16π﹣32 C． D．【答案】D【解答】解：设半圆与底边的交点是D，连接AD．∵AB是直径，∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD＝6．根据勾股定理，得AD＝＝2．∵阴影部分的面积的一半＝以AB为直径的半圆的面积﹣三角形ABD的面积＝以AC为直径的半圆的面积﹣三角形ACD的面积，∴阴影部分的面积＝以AB为直径的圆的面积﹣三角形ABC的面积＝16π﹣×12×2＝16π﹣12．故选：D．8．如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案，它是一扇形图形，其中∠AOB为120°，OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（）A．64πcm2 B．112πcm2 C．144πcm2 D．152πcm2【答案】B【解答】解：∵OA＝OC+CA＝20cm，S阴影部分＝﹣＝112πcm2．故选：B．9．如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2【答案】D【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝m2；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，则面积＝＝（m2），则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝+＝（m2）．故选：D．10．如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（）A．21 B．26 C．37 D．42【答案】D【解答】解：多边形的周长＝16×2+5×2＝42．故选：D．11．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，则∠AOC等于（）A．40° B．60°或120° C．120° D．120°或40°【答案】D【解答】解：如果射线OC在∠AOB内部，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°，如果射线OC在∠AOB外部，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120度．故选：D．12．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵线段MN＝20，线段AM和AN的中点M1，N1，∴M1N1＝AM1﹣AN1＝AM﹣AN＝（AM﹣AN）＝MN＝×20＝10．∵线段AM1和AN1的中点M2，N2；∴M2N2＝AM2﹣AN2＝AM1﹣AN1＝（AM1﹣AN1）＝M1N1＝×20＝×20＝5．发现规律：MnNn＝×20∴M1N1+M2N2+…+M10N10＝+×20+×20+…+×20＝20（+++…+）＝20（）＝20（1﹣）＝20﹣故选：A．13．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间【答案】A【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．二．填空题（共6小题）14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．【答案】见试题解答内容【解答】解：第一个是1×3，第二个是2×4，第三个是3×5，…第n个是n•（n+2）＝n2+2n故答案为：n2+2n．15．往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有10种不同的票价（来回票价一样），需准备20种车票．【答案】见试题解答内容【解答】解：此题相当于一条线段上有3个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1＝10；有多少种车票是要考虑顺序的，则有10×2＝20．16．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是π．【答案】见试题解答内容【解答】解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A'重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A'对应的实数是π．故答案为：π．17．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽为20cm，则贴纸部分的面积为cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：S＝﹣＝cm2．18．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是9π．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，∴阴影面积＝﹣＝9π．19．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段231条．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21＝（1+21）×21＝231，故答案为：231．三．解答题（共11小题）20．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°．∵OP平分∠BOC，∴∠COP＝∠BOC＝75°．∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°．∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°．所以t＝15°÷3°＝5秒；②是，理由如下：∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，∴OQ平分∠AOC；（2）∵OC平分∠POQ，∴∠COQ＝∠POQ＝45°．根据旋转的速度，设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30°+6t﹣3t＝45°，解得t＝5秒；所以5秒时OC平分∠POQ；（3）设经过t秒后OC平分∠POB．∵OC平分∠POB，∴∠BOC＝∠BOP．∵∠AOQ+∠BOP＝90°，∴∠BOP＝90°﹣3t．又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，∴180°﹣30°﹣6t＝（90°﹣3t），解得t＝秒．21．如图，∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．（1）如果∠AOC＝50°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出∠MON的度数吗？若能，请求出来，若不能，说明为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为OM平分∠BOC，ON平分∠AOC所以∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC所以∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠BOC﹣∠AOC）＝（90°+50°﹣50°）＝45°．（2）同理，∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠BOC﹣∠AOC）＝（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC）＝∠BOA＝45°．22．（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AC＝6cm，点M是AC的中点∴CM＝AC＝3cm∵BC＝4cm，点N是BC的中点∴CN＝BC＝2cm∴MN＝CM+CN＝5cm∴线段MN的长度为5cm．（2）．（3）线段MN的长度会变化．当点C在线段AB上时，由（2）知当点C在线段AB的延长线时，如图：则AC＝a＞BC＝b∵AC＝a点M是AC的中点∴CM＝AC＝a∵BC＝b点N是BC的中点∴CN＝BC＝b∴MN＝CM﹣CN＝当点C在线段BA的延长线时，如图：则AC＝a＜BC＝b同理可求：CM＝AC＝aCN＝BC＝b∴MN＝CN﹣CM＝∴综上所述，线段MN的长度变化，，，．23．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝a；（3）设运动t秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），综上所述：t＝4或或．24．已知A、B在数轴上分别表示a、b（1）对照数轴填写下表：a6﹣6﹣62﹣1.5b40﹣4﹣10﹣1.5A、B两点的距离20（2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（a＜b）有何数量关系；（3）写出数轴上到7和﹣7的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和；（4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x+1|+|x﹣2|取得的值最小．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对照数轴填写下表：a6﹣6﹣62﹣1.5b40﹣4﹣10﹣1.5A、B两点的距离262120（2）由（1）可得：d＝|a﹣b|或d＝b﹣a；（3）只要在﹣7和7之间的整数均满足到7和﹣7的距离之和为14，有：﹣7、﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6、7，所有满足条件的整数之和为：﹣7+（﹣6）+（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5+6+7＝0；（4）根据数轴的几何意义可得﹣1和2之间的任何一点均能使|x+1|+|x﹣2|取得的值最小．故可得：点C的范围在：﹣1≤x≤2时，能满足题意．25．如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．（1）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①当P在线段AB上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P运动时间为60秒．若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷60＝（cm/s）；若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝（cm/s）．②点P在线段AB延长线上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝120，OP＝140，故点P运动时间为140秒．若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷140＝（cm/s）；若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷140＝（cm/s）．（2）设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，t＝5或40，∵点Q运动到O点时停止运动，∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ＝OP＝30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）如图1，设OP＝xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP＝80﹣（x﹣20）＝100﹣x，EF＝OF﹣OE＝（OA+AB）﹣OE＝（20+30）﹣＝50﹣，∴＝＝2．26．探究题：如图①，已知线段AB＝14cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．（1）若点C恰好是AB中点，则DE＝7cm；（2）若AC＝4cm，求DE的长；（3）试利用“字母代替数”的方法，设AC＝acm请说明不论a取何值（a不超过14cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE＝60°与射线OC的位置无关．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝14cm，点D、E分别是AC和BC的中点，∴DE＝DC+EC＝AC+BC＝AB＝7cm故答案为：7；（2）∵AC＝4cm，AB＝14cm，∴BC＝AB﹣AC＝10cm，又∵D为AC中点，E为BC中点，∴CD＝2cm，CE＝5cm，∴DE＝CD+CE＝7cm；（3）∵AC＝acm，∴BC＝AB﹣AC＝（14﹣a）cm，又∵D为AC中点，E为BC中点，∴CD＝acm，CE＝（14﹣a）cm，∴DE＝CD+CE＝a+（14﹣a）＝7cm，∴无论a取何值（不超过14）DE的长不变；（4）设∠AOC＝α，∠BOC＝120°﹣α，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD＝，∠COE＝（120°﹣α），∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝+（120°﹣α）＝60°，∴∠DOE＝60°，与OC位置无关．27．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为90度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在OM所在直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间t，若不存在，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：旋转角为∠MON＝90°．故答案为90．（2）如图3：∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC：∠BOC＝1：2，∴∠AOC+2∠AOC＝180°，∴∠AOC＝60°，∴∠AON+CON＝60°，①∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠AON＝90°，②②﹣①，得∠AOM﹣∠CON＝30°．（3）如图4，当OM平分∠BOC时，ON所在直线平分∠AOC，∠BOM＝60°，∴三角板绕点O逆时针旋转60°，此时t＝60÷30＝2（秒）；如图5，当ON平分∠AOC时，OM所在直线平分∠BOC，∠CON＝30°，∴三角板绕点O逆时针旋转240°，此时t＝240÷30＝8（秒）．当OM旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．28．如图，两个形状．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：∠DPC＝90°；（2）如图，若三角板PAC的边P