新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示学习目标素养要求1．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两平面向量的夹角数学运算2．能用坐标表示平面向量垂直的条件数学运算、逻辑推理|自学导引|两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．数量积两个向量的数量积等于________________________，即：a·b＝_____________向量垂直a⊥b⇔_________________它们对应坐标的乘积的和x1x2＋y1y2

x1x2＋y1y2＝0

【预习自测】已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，则a·b的值是__________．【答案】10【解析】a·b＝(－1)×2＋3×4＝10．(1)向量数量积的坐标表示公式适用于任何两个向量吗？(2)向量数量积的坐标表示公式的作用是什么？【提示】(1)适用．无论是零向量，还是非零向量，均可使用向量数量积的坐标表示公式．(2)向量数量积的坐标表示公式简化了数量积的计算．向量的模与两向量夹角的坐标表示【预习自测】(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝______．(2)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．【预习自测】(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝______．|课堂互动|题型1平面向量数量积的坐标运算方向1数量积的坐标运算

(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝ (

)A．12 B．0C．－3 D．－11(2)已知向量a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)·c＝0，则k的值为__________．【答案】(1)C

(2)6【解析】(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3．(2)由题意得a－2b＝(－2－2k，7)，(a－2b)·c＝(－2－2k，7)·(1，2)＝－2－2k＋14＝0，解得k＝6．【答案】5数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基底表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．1．(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(

)A．10 B．－10C．3 D．－3【答案】(1)B

(2)3【解析】(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．题型2与平面向量模有关的问题

(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于 (

)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°．又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，即两向量的夹角为120°－α．3．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定系数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．易错警示用坐标表示时忽视两向量夹角的范围致误已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)．若〈a，b〉为锐角，求x的取值范围．错解：若〈a，b〉为锐角，则a·b＞0且a，b不同向．a·b＝x＋2＞0，∴x＞－2．易错防范：利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向的情况．|素养达成|1．(题型1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则

k＝

(

)A．－12 B．－6C．6 D．12【答案】D【解析】2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．2．(题型2，3)已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 (

)A．0 B．1C．－2 D．2【答案】D【解析】2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2．3．(题型2)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝__________．【答案】－2【解析】(方法一)a＋b＝(m＋1，3)，∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．(方法二)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．4．(题型2，3)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2