2024-2025学年高中数学第一章数列1.3.2第1课时等比数列的前n项和学案含解析北师大版必修5

PAGE3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和内容标准学科素养1.学会推导等比数列前n项和的方法.2.驾驭等比数列的前n项和公式，学会应用其解决问题.严格分类探讨提升数学运算抽象数学模型授课提示：对应学生用书第22页[基础相识]学问点一等比数列的前n项和预习教材P26－29，思索并完成以下问题1．对于数列1，2，22，23，…，2n，……(1)该数列的首项和公比分别是多少？提示：首项为1，公比为2.(2)把该数列的前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1①两边同乘以公比2得：2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n②这两个等式的右边有何相同点？若用②式减去①式，会有什么结果？提示：两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各项均相同，若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉，求得Sn＝2n－1.2．对和式Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1(q≠1)按1(2)的方法处理睬怎样呢？提示：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，③qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，④④－③得：(q－1)Sn＝a1(qn－1)，由q≠1得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q).学问梳理等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1）,\f(a1（1－qn）,1－q)（q≠1）))Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1）,\f(a1－qan,1－q)（q≠1）))学问点二等比数列前n项和的性质思索并完成以下问题1．在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列吗？提示：是的．2．若数列{an}为等比数列，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，成等比数列吗？提示：a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q2(a3＋a4)，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列．3．若数列{an}为等比数列，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列吗？提示：是的．4．仿照问题1，在等比数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是否成等比数列．提示：成等比数列．学问梳理类比等差数列前n项和的性质，等比数列前n项和的性质总结如下：(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则eq\f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝q.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)．(3)若一个特别数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N＋)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)数列{an}为等比数列．[自我检测]1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()A．63 B．64C．127 D．128解析：∵a5＝a1·q4，∴q＝±2.∵q＞0.∴q＝2，∴S7＝eq\f(a1（1－q7）,1－q)＝eq\f(27－1,2－1)＝127，故选C.答案：C2．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝()A．－3 B．－4C．3或－4 D．－3或4解析：∵S3＝eq\f(a1（1－q3）,1－q)＝eq\f(2（1－q3）,1－q)＝26.∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4，故选C.答案：C3．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，由题意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝2.答案：2授课提示：对应学生用书第23页探究一等比数列前n项和的计算[阅读教材P27例5及解答](1)已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，求S3.(2)求等比数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…的前10项的和．题型：等比数列前n项和的计算．方法步骤：(1)明确首项a1，公比q以及项数n；(2)干脆运用等比数列的前n项和公式求解．[例1]求下列等比数列前8项的和．(1)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…；(2)a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，q＜0.[解析](1)因为a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，所以S8＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8))),1－\f(1,2))＝eq\f(255,256).(2)由a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，可得eq\f(1,243)＝27·q8.又由q＜0.可得q＝－eq\f(1,3)，所以S8＝eq\f(a1－a8q,1－q)＝eq\f(a1－a9,1－q)＝eq\f(27－\f(1,243),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝eq\f(1640,81).方法技巧等比数列前n项和计算的留意事项(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行推断，若两种状况都有可能，则要分类探讨．(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)比较便利；当已知a1，q与an时，用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)比较便利．跟踪探究1.(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn.(2)在等比数列{an}中，S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2)，求an.解析：(1)设{an}的公比为q，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3,q＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2,q＝3)).当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)，当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.(2)设等比数列的公比为q，由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q3）,1－q)＝\f(7,2)①,\f(a1（1－q6）,1－q)＝\f(63,2)②))②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①解得a1＝eq\f(1,2)，因此an＝a1qn－1＝2n－2.探究二等比数列前n项和的性质[例2](1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝________．(2)已知等比数列{an}的前4项和为1，且公比q＝2，求前12项的和．[解题指南](1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列求S3n.(2)依据S1，S8－S4，S12－S8的关系求S12.[解析](1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列得(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63.(2)因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4S4＝24＝16，所以S8＝17.又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，即162＝S12－17，所以S12＝273.[答案](1)63(2)答案见解析延长探究1.例(2)条件不变，求等比数列{an}的通项公式．解析：由S4＝1，q＝2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q4）,1－q)＝1，,q＝2.))即(24－1)a1＝1，所以a1＝eq\f(1,15).所以an＝a1·qn－1＝eq\f(1,15)·2n－1.2．例(2)条件“前4项和为1，且公比q＝2”改为“前4项和为S4，公比为q”，探究S4与S12解析：由S12＝S4＋a5＋a6＋a7＋…＋a12＝S4＋q4(a1＋a2＋…＋a8)＝S4＋q4(S4＋a5＋a6＋a7＋a8)＝S4＋q4[S4＋q4(a1＋a2＋a3＋a4)]＝S4＋q4S4＋q8S4＝S4(1＋q4＋q8)．方法技巧等比数列前n项和性质应用的关注点(1)在解决等比数列前n项和问题时，若条件含有奇数项和与偶数项和的时候，假如项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解．(2)当已知条件含有片段和时，要考虑性质Sm，S2m－Sm，S3m－S2m跟踪探究2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，则eq\f(S9,S6)＝()A．2 B.eq\f(7,3)C.eq\f(8,3) D．3解析：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴eq\f(S9,S6)＝eq\f(7,3)，故选B.答案：B3．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式为________．解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq\o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1).答案：an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1)探究三等比数列前n项和的实际应用[阅读教材P28例7及解答]一个热气球在第一分上升了25m的高度，在以后的每一分里，它上升的高度都是它在前一分上上升度的80%，这个热气球上升的高度能超过125m吗？题型：等比数列前n项和的应用方法步骤：①抽象出等比数列模型．②确定首项a1＝25，公比q＝eq\f(4,5).③热气球在几分钟里上升的总高度利用公式求和．④推断作出结论．[例3]某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年削减eq\f(1,5)，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预料今后的旅游业收入每年会比上一年增长eq\f(1,4).求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入．[解析]第1年投入800万元，第2年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))万元，……第n年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\s\up12(n－1)万元．∴每年的投入构成首项为800，公比为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))的等比数列．故n年内的总投入为Sn＝800＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\s\up12(n－1)＝4000×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(n))).第1年旅游业的收入为400万元，第2年旅游业的收入为400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))万元，……第n年旅游业的收入为400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)万元，∴每年的旅游收入构成首项为400，公比为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))的等比数列．所以n年内旅游业的总收入为Tn＝400＋400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))＋…＋400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)＝1600×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))\s\up12(n)－1)).方法技巧解数列应用题的详细方法步骤(1)仔细审题，精确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an还是求Sn？特殊要留意精确弄清项数是多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想数学学问和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表示．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满意题意的数学关系式．跟踪探究4.某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位运用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年削减它价值的10%，当年折旧费用也为该年花费在轿车上的费用)．试问：大约运用多少年后，该单位花在轿车上的费用就达36万元？并说明理由．解析：用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用，则a1＝6＋36×0.1，a2＝6＋(36×0.9)×0.1，a3＝6＋(36×0.92)×0.1，…，类推可得an＝6＋(36×0.9n－1)×0.1，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝6n＋36×0.1×(1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n－1)＝6n＋3.6×eq\f(1－0.9n,1－0.9)＝6n＋36(1－0.9n)．令Sn＝36，得0.9n＝eq\f(n,6)，因为1＜n＜6，取值验证，当n＝4时，0.9n＝0.6561，eq\f(4,6)≈0.6667.所以n≈4.故大约运用4年后，该单位花在轿车上的费用就已经达到36万元.授课提示：对应学生用书第25页[课后小结](1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．(2)前n项和公式的应用中，留意前