处理导数解答题的八种常用方法专题讲义 高三数学一轮复习

PAGE2PAGE2处理导数解答题的八种常用方法一、方法：列表根据导函数正负，推导原函数的单调性，列表求极值和最值。分类讨论导函数最常用的方法，对参数进行分段讨论。分离参数对于恒成立问题和能成立问题，避免复杂的分类讨论，将参数分离出来，构造新函数求最值。洛必达法则对于端点值取不到的情况，使用洛必达法则，大题可以直接使用。两边取对数指数型的不等式或者连乘的不等式，可以两边取对数，利用对数运算降低运算级别。变换主元若导数问题中含有双变量，根据简单原则确定主元。设而不求导数零点无法确定的隐零点问题，采用设而不求的方式设出零点，根据方程整体代换，再利用零点存在定理逐步逼近零点。二阶求导对于导函数无法判断正负的情况，可以尝试二次求导或者多次求导，再根据图像依次倒推出原函数的单调性。

二、例题：分离参数+列表1.已知函数. ⑴若，求的单调区间；⑵已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数b的取值范围。解：⑴，或1令，解得令，解得，的增区间为；减区间为，⑵，即由题意两根为，，又且△，.设，或2+00+极大值极小值又，，，.

二、分离参数+洛必达法则2.已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.(1)当时,求曲线在处的切线方程；(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.(3)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.解：（1）当时，,,,切线方程为．（2）[方法一] 设,则, 在上为增函数,≥, ,在上为增函数, ≥,≤．[方法二], , 设,, ≥0,≥0,在上为增函数, ≥.（如何判断其符号？由已知 恒成立有）又≥0恒成立,≥0,≤,≥,,在上为增函数,此时≥≥0恒成立,≤．（改x≥0时，≥0恒成立.≤1）解：先证明在上是增函数，再由洛比达法则，∴，∴≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上，分两种情况讨论可得≤1）三、两边取对数3.设函数且）（1）求的单调区间；（2）求的取值范围；（3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。解：（1）,当时，即.当时，即或.故函数的单调递增区间是.函数的单调递减区间是.（2）由时，即，由（1）可知在上递增，在递减，所以在区间（－1，0）上，当时，取得极大值，即最大值为.在区间上，.函数的取值范围为.分（3），两边取自然对数得

四、两边取对数的技巧、换元构造函数4.已知函数⑴求函数的单调区间;⑵若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.解:⑴函数的定义域是，设则令则当时，在（－1，0）上为增函数，当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，所以，当时，在（－1，0）上为增函数.当x＞0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为.⑵不等式等价于不等式由知，＞0，∴上式变形得设，则则由⑴结论知，（≤）即所以于是G(x)在上为减函数.故函数在上的最小值为所以a的最大值为五、变换主元5.设函数.⑴若函数在处与直线相切：①求实数的值；②求函数在上的最大值；⑵当时，若不等式≥对所有的都成立，求实数的取值范围.解：（1）①。∵函数在处与直线相切解得 .②当时，令得；令，得，上单调递增，在[1，e]上单调递减，.（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即对所有的都成立，令为一次函数，.上单调递增，，对所有的都成立...（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，，请根据过程酌情给分）

六、二阶求导6.设函数.⑴若，求的最小值；⑵若当时，求实数的取值范围.解：（1）时，，.当时，；当时，.所以在上单调减小，在上单调增加故的最小值为（2），当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，而，于是当时，.当时，由得当时，，所以在上递减，而，于是当时，，所以在上递减，而，所以当时，.综上得的取值范围为.

七、分类讨论7.已知函数（Ⅰ）求函数f(x)的定义域（Ⅱ）确定函数f(x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.（Ⅲ）若x>0时恒成立，求正整数k的最大值.解：（1）定义域（2）单调递减。当，令，故在（－1，0）上是减函数，即，故此时在（－1，0）和（0，+）上都是减函数（3）当x>0时，恒成立，令又k为正整数，∴k的最大值不大于3下面证明当k=3时，恒成立当x>0时恒成立令，则，，当∴当取得最小值当x>0时，恒成立，因此正整数k的最大值为3

八、分离参数+设而不求8.已知函数，.若存在实数，使对任意的，不等式恒成立．求正整数的最大值．解：不等式，即，即.转化为存在实数，使对任意，不等式恒成立,即不等式对任意上恒成立。即不等式在上恒成立。设，则。设，则，因为，有。故在区间上是减函数。又故存在，使得。当时，有，当时，有。从而在区间上递增，在区间上递减。又所以当时，恒有；当时，恒有；故使命题成立的正整数的最大值为5.

九、设而不求+两边取对9.已知函数（Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3.解：（I）上递减.（II）