浙江省浙大附中2025届高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

浙江省浙大附中2025届高一上数学期末学业质量监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数在区间上的最小值为（）A. B.C. D.2．已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A. B.C. D.3．已知函数，方程在有两个解，记，则下列说法正确的是（）A.函数的值域是B.若，的增区间为和C.若，则D.函数的最大值为4．已知函数的零点在区间内，则（）A.4 B.3C.2 D.15．下列不等式中成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为（）A. B.C. D.7．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A.与 B.与C.与 D.与8．已知，则A. B.C. D.9．已知全集，，，则()=（）A.{} B.{}C.{} D.{}10．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知对于任意x,y均有,且时，，则是_____（填奇或偶）函数12．设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________13．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.14．不等式的解集为___________.15．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___16．已知函数定义域是________（结果用集合表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的集合；（2）把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间.18．为迎接党的“十九大”胜利召开与响应国家交给的“提速降费”任务，某市移动公司欲提供新的资费套餐（资费包含手机月租费、手机拨打电话费与家庭宽带上网费）．其中一组套餐变更如下：原方案资费手机月租费手机拨打电话家庭宽带上网费（50M）18元/月0.2元/分钟50元/月新方案资费手机月租费手机拨打电话家庭宽带上网费（50M）58元/月前100分钟免费，超过部分元/分钟（>0.2）免费（1）客户甲（只有一个手机号和一个家庭宽带上网号）欲从原方案改成新方案，设其每月手机通话时间为分钟（），费用原方案每月资费-新方案每月资费，写出关于函数关系式；（2）经过统计，移动公司发现，选这组套餐的客户平均月通话时间分钟，为能起到降费作用，求的取值范围19．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.（1）若，求面积的最大值；（2）已知，是否存在点C，使得，若存在，求点C的个数;若不存在，说明理由.20．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若，，设的面积为，正方形PQRS的面积为.（1）用a，表示和；（2）当a为定值，变化时，求的最小值，及此时的值.21．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，设点的坐标为，其纵坐标满足（1）求函数的解析式；（2）当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】求出函数的对称轴，判断函数在区间上的单调性，根据单调性即可求解.【详解】，对称轴，开口向上，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以.故选：C2、C【解析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解.【详解】∵函数是定义在R上的偶函数，∴，∴不等式可化为∵对于任意不等实数，，不等式恒成立，∴函数在上为减函数，又，∴，∴，∴不等式的解集为故选：C.3、B【解析】利用函数的单调性判断AB选项；解方程求出从而判断C选项；举反例判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，，为偶函数，当时，，任取，且，，若，则；若，则，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，图像如图示：结合偶函数的性质可知，的值域是，故A选项错误；对于B选项，，当时，，，则为偶函数，当时，，易知函数在区间上单调递减，当时，，易知函数在区间上单调递增，图像如图示：根据偶函数的性质可知，函数的增区间为和，故B选项正确；对于C选项，若，图像如图示：若，则，与方程在有两个解矛盾，故C选项错误；对于D选项，若时，，图像如图所示：当时，则与方程在有两个解矛盾，进而函数的最大值为4错误，故D选项错误；故选：B4、B【解析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间.【详解】因为，，所以函数在区间内有零点，所以.故选：B.5、B【解析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.【详解】A.若，则错误，如时，，所以该选项错误；B.若，则，所以该选项正确；C.若，则，所以该选项错误；D.若，则，所以该选项错误.故选：B6、A【解析】由为偶函数，排除选项B、D，又，排除选项C，从而即可得答案.【详解】解：令，因为，且定义域为，所以为偶函数，所以排除选项B、D；又，所以排除选项C；故选：A.7、C【解析】根据指数式与对数式的互化关系逐一判断即可.【详解】，故正确；，故正确；，，故不正确；，故正确故选：C【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.8、B【解析】，因为函数是增函数，且，所以，故选B考点：对数的运算及对数函数的性质9、D【解析】先求得，再求与集合的交集即可.【详解】因为全集，，，故可得，则().故选：.10、D【解析】先由函数是函数的反函数，所以，再求得，再求函数的定义域，再结合复合函数的单调性求解即可.【详解】解：由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数，所以，即，要使函数有意义，则，即，解得，设，则函数在上单调递增，在上单调递减．因为函数在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是，故选D【点睛】本题考查了函数的反函数的求法及复合函数的单调性，重点考查了函数的定义域，属中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、奇函数【解析】赋值，可求得，再赋值即可得到，利用奇偶性的定义可判断奇偶性；【详解】，令，得，，再令，得，是上的奇函数；【点睛】本题考查了赋值法及奇函数的定义12、【解析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.【详解】与对立，，与互斥，故答案为：.13、36【解析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：依题意、cm，所以，即cm，所以；故答案为：14、【解析】根据对数函数的单调性解不等式即可.【详解】由题设，可得：，则，∴不等式解集为.故答案：.15、【解析】方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.【详解】圆的标准方程为，则，若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.16、【解析】根据对数函数的真数大于0求解即可.【详解】函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的最大值，（2）【解析】（1）根据的范围可得的范围，可得的最大值及取得最大值时自变量的集合；（2）由图象平移规律可得，结合的范围和正弦曲线的单调性可得答案.【小问1详解】因为，所以，所以，当即时的最大值，所以取得最大值时自变量的集合是.【小问2详解】因为把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以.因为，所以.因为正弦曲线在上的单调递增区间是，所以，所以.所以在上的单调递增区间是.18、（1）；（2）.【解析】（1）关键是求出原资费和新资费，原资费为68＋0.2x，新资费是分段函数，x≤100时，为58，当x＞100时，为，相减可得结论；（2）只要（1）中的y＞0，则说明节省资费，列出不等式可得，注意当100＜x≤400时，函数y为减函数，因此在x=400时取最小值，由此最小值＞0，可解得范围试题解析：（1）i)当，ii)当，综上所述（未写扣一分）（2）由题意，恒成立，显然，当，，当，因为，为减函数所以当时，解得从而19、（1）（2）存在2个点C符合要求【解析】（1）由,利用两点间距离公式可得,整理得到,由,若面积最大,则到距离最大,即最大,求解即可；（2）由,利用两点间距离公式可得,整理得到,则点为圆与圆的交点,进而由两圆的位置关系即可得到符合条件的点的个数【详解】解：（1）由,得,化简,即,所以,当时,有最大值,此时点到距离最大为,因为,所以面积的最大值为（2）存在,由,得,化简得,即.故点C在以为圆心,半径为2的圆上,结合（1）中知,点C还在以为圆心,半径为的圆上,由于,,,且,所以圆M、圆N相交,有2个公共点,故存在2个点C符合要求.【点睛】本题考查两点间距离公式的应用,考查圆与圆的位置关系的应用,考查运算能力20、（1）；（2）当时，的值最小，最小值为【解析】（1）利用已知条件，根据锐角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；（2）根据题意，将表示为的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值.【详解】（1）在中，，所以；设正方形的边长为x，则，，由，得，解得；所以；（2），令，因为，所以，则，所以；设，根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，因此当时，有最小值，此时，解得；所以当时，的值最小，