专题06立体几何中的面积与体积问题(原卷版+解析)

专题06立体几何中的面积与体积问题考点一几何体的面积问题【方法总结】求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．【例题选讲】[例1](1)(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x，则x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π．故选B．(2)(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45，若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．答案40eq\r(2)π解析如图，∵SA与底面成45角，∴△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝eq\r(2)r．在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)r)2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，∴SA＝eq\r(2)r＝4eq\r(5)，即母线长l＝4eq\r(5)，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π．(3)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为()A．8eq\r(3)B．8＋8eq\r(3)C．6eq\r(2)＋2eq\r(3)D．8＋6eq\r(2)＋2eq\r(3)答案B解析如图所示，取BC的中点P，连接PF，则PF⊥BC，过F作FQ⊥AB，垂足为Q．因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，且EF∥AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，FP＝eq\r(3)，则BQ＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝1，FQ＝eq\r(BF2－BQ2)＝eq\r(3)，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，又S△ADE＝S△BCF＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以该几何体的表面积S＝3eq\r(3)×2＋eq\r(3)×2＋8＝8＋8eq\r(3)．故选B．(4)如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．答案(eq\r(2)＋3)π解析根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示．则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为eq\f(1,2)·2π·1·eq\r(12＋12)＋2π·12＋π·12＝(eq\r(2)＋3)π．(5)若圆锥的侧面展开图是半径为l的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积的比值是()A．eq\f(3,2)B．2C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3)答案A解析设该圆锥的底面半径为r，由题意可得其母线长为l，且2πr＝πl，所以l＝2r，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比值是(πrl＋πr2)∶πrl＝3πr2∶2πr2＝3∶2，故选A．(6)把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为()A．10B．10eq\r(3)C．10eq\r(2)D．5eq\r(3)答案B解析设圆锥的底面半径为r，高为h．因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3)．(7)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．答案2600π解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．(8)(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A．eq\f(\r(5)－1,4)B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4)D．eq\f(\r(5)＋1,2)答案C解析如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由题意，得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化简，得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(负值舍去)．故选C．(9)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3．蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为________．答案3eq\r(10)解析将三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开如图所示，则有A′A′1＝3，AA′1＝eq\r((AA′)2＋(A′A′1)2)＝3eq\r(10)．所以蚂蚁爬过的路程最短为AA′1．(10)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°．若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．答案40eq\r(2)π解析如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′．△SAB的面积为eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，所以SA2＝80，SA＝4eq\r(5)．因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10)．所以底面周长l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，所以圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π．考点二几何体的体积问题【方法总结】求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．【例题选讲】[例1](1)已知圆锥的底面半径为2，高为4．一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时，该圆柱的体积为()A．πB．2πC．3πD．4π答案B解析圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，其中0<r<2．由题意可知△AO1D∽△AO2C，则有eq\f(AO1,O1D)＝eq\f(AO2,O2C)＝2，所以AO1＝2r，则圆柱的高h＝4－2r，圆柱的侧面积S＝2πr(4－2r)＝4π(－r2＋2r)＝4π，整理得r2－2r＋1＝0，解得r＝1．当r＝1时，h＝2，所以该圆柱的体积V＝πr2h＝2π．故选B．(2)(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0．5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3．答案12eq\r(3)－eq\f(π,2)解析正六棱柱的体积为6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)cm3，挖去的圆柱的体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(π,2)cm3，故所求几何体的体积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．(3)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为________．答案eq\f(1,3)解析将平面AA1B1B沿着B1B旋转到与平面CC1B1B在同一平面上(点B在线段AC上)，连接AC1与B1B相交于点D，此时AD＋DC1最小，BD＝eq\f(1,3)CC1＝1．因为在直三棱柱中，BC⊥AB，BC⊥BB1，且BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面AA1B1B，又CC1∥平面AA1B1B，所以V三棱锥DABC1＝V三棱锥C1ABD＝V三棱锥CABD＝eq\f(1,3)S△ABD·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)．(4)如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N—PAC与三棱锥D—PAC的体积比为()A．1∶2B．1∶8C．1∶6D．1∶3答案D解析设点P，N在平面ABCD内的射影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′．连接BP′，则在△BPP′中，由BN＝2PN，得eq\f(NN′,PP′)＝eq\f(2,3)．V三棱锥N—PAC＝V三棱锥P—ABC－V三棱锥N—ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′－eq\f(1,3)S△ABC·NN′＝eq\f(1,3)S△ABC·(PP′－NN′)＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(1,3)PP′＝eq\f(1,9)S△ABC·PP′，V三棱锥D—PAC＝V三棱锥P—ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·PP′＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′．∴V三棱锥N—PAC∶V三棱锥D—PAC＝eq\f(1,9)∶eq\f(1,3)＝1∶3．(5)已知三棱锥O—ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O—ABC的体积为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)答案B解析设球O的半径为R，因为S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以当∠AOC＝∠BOC＝90°时，S△AOC＋S△BOC取得最大值，此时OA⊥OC．OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB⊂平面AOB，所以OC⊥平面AOB，所以V三棱锥O—ABC＝V三棱锥C—OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,6)R3sin∠AOB＝eq\f(2\r(3),3)，故选B．(6)(2018·全国Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)答案C解析如图，连接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30．又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．(7)(2018·江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案eq\f(4,3)解析由题意知所给的几何体是棱长均为eq\r(2)的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3)．(8)(2018·天津)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．答案解析法一：直接法连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1－BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的长和宽分别为eq\r(2)，1，故VA1－BB1D1D＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)．法二：割补法连接BD1，则四棱锥A1－BB1D1D分成两个三棱锥B－A1DD1与BA1B1D1，所以VA1BB1D1D＝VBA1DD1＋VBA1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)．(9)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π答案C解析如图，过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)．(10)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(3,2)答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中点O，连接GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3)．故选A．【对点训练】1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōnɡ)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．问它的体积是多少？”(注：1丈＝10尺，取π＝3)()A．704立方尺B．2112立方尺C．2115立方尺D．2118立方尺2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A．54B．54πC．58D．58π3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为24，若圆锥的底面圆周经过A，A1，C1，C四个顶点，圆锥的顶点在棱BB1上，则该圆锥的体积为()A．3eq\r(2)πB．eq\f(\r(2)π,3)C．eq\r(2)πD．eq\f(\r(2)π,2)4．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A－BC1M的体积VA－BC1M＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,12)5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A．3B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(\r(3),2)6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为_______．7．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M－PBC的体积为()A．1B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,2)D．与M点的位置有关8．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A．eq\f(\r(3),12)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12)D．eq\f(\r(6),4)9．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为________．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则三棱锥O－AEF的体积()A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关11．如图，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________．12．在三棱锥P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P－ABC体积的最大值为()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\f(16\r(3),9)C．eq\f(16\r(3),27)D．eq\f(32\r(3),27)13．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P—BCD的体积的最大值是________．14．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B－ACC1D的体积为________．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．16．如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A．2B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(8,3)17．已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1—B1EDF的体积为________．18．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DE⊥BC，将△CDE沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥P－ABDE，则四棱锥P－ABDE的体积的最大值为________．19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，则四棱锥P－ABCD与三棱锥P－QBM的体积之比是________．20．如图，用平行于母线的竖直平面截一个圆柱，得到底面为弓形的圆柱体的一部分，其中M，N为弧，的中点，∠EMF＝120°，且eq\f(\r(3),3)EF＋EG＝6，当所得几何体的体积最大值时，该几何体的高为________．21．如图，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的表面积为________，体积为________．22．已知Rt△ABC，其三边长分别为a，b，c(a>b>c)．分别以三角形的边a，b，c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1，V2，V3．则它们的关系为()A．S1>S2>S3，V1>V2>V3B．S1<S2<S3，V1<V2<V3C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3D．S1<S2<S3，V1＝V2＝V3专题06立体几何中的面积与体积问题考点一几何体的面积问题【方法总结】求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．【例题选讲】[例1](1)(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x，则x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π．故选B．(2)(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45，若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．答案40eq\r(2)π解析如图，∵SA与底面成45角，∴△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝eq\r(2)r．在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)r)2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，∴SA＝eq\r(2)r＝4eq\r(5)，即母线长l＝4eq\r(5)，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π．(3)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为()A．8eq\r(3)B．8＋8eq\r(3)C．6eq\r(2)＋2eq\r(3)D．8＋6eq\r(2)＋2eq\r(3)答案B解析如图所示，取BC的中点P，连接PF，则PF⊥BC，过F作FQ⊥AB，垂足为Q．因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，且EF∥AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，FP＝eq\r(3)，则BQ＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝1，FQ＝eq\r(BF2－BQ2)＝eq\r(3)，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，又S△ADE＝S△BCF＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以该几何体的表面积S＝3eq\r(3)×2＋eq\r(3)×2＋8＝8＋8eq\r(3)．故选B．(4)如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．答案(eq\r(2)＋3)π解析根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示．则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为eq\f(1,2)·2π·1·eq\r(12＋12)＋2π·12＋π·12＝(eq\r(2)＋3)π．(5)若圆锥的侧面展开图是半径为l的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积的比值是()A．eq\f(3,2)B．2C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3)答案A解析设该圆锥的底面半径为r，由题意可得其母线长为l，且2πr＝πl，所以l＝2r，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比值是(πrl＋πr2)∶πrl＝3πr2∶2πr2＝3∶2，故选A．(6)把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为()A．10B．10eq\r(3)C．10eq\r(2)D．5eq\r(3)答案B解析设圆锥的底面半径为r，高为h．因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3)．(7)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．答案2600π解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．(8)(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A．eq\f(\r(5)－1,4)B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4)D．eq\f(\r(5)＋1,2)答案C解析如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由题意，得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化简，得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(负值舍去)．故选C．(9)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3．蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为________．答案3eq\r(10)解析将三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开如图所示，则有A′A′1＝3，AA′1＝eq\r((AA′)2＋(A′A′1)2)＝3eq\r(10)．所以蚂蚁爬过的路程最短为AA′1．(10)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°．若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．答案40eq\r(2)π解析如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′．△SAB的面积为eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，所以SA2＝80，SA＝4eq\r(5)．因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10)．所以底面周长l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，所以圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π．考点二几何体的体积问题【方法总结】求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．【例题选讲】[例1](1)已知圆锥的底面半径为2，高为4．一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时，该圆柱的体积为()A．πB．2πC．3πD．4π答案B解析圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，其中0<r<2．由题意可知△AO1D∽△AO2C，则有eq\f(AO1,O1D)＝eq\f(AO2,O2C)＝2，所以AO1＝2r，则圆柱的高h＝4－2r，圆柱的侧面积S＝2πr(4－2r)＝4π(－r2＋2r)＝4π，整理得r2－2r＋1＝0，解得r＝1．当r＝1时，h＝2，所以该圆柱的体积V＝πr2h＝2π．故选B．(2)(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0．5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3．答案12eq\r(3)－eq\f(π,2)解析正六棱柱的体积为6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)cm3，挖去的圆柱的体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(π,2)cm3，故所求几何体的体积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．(3)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为________．答案eq\f(1,3)解析将平面AA1B1B沿着B1B旋转到与平面CC1B1B在同一平面上(点B在线段AC上)，连接AC1与B1B相交于点D，此时AD＋DC1最小，BD＝eq\f(1,3)CC1＝1．因为在直三棱柱中，BC⊥AB，BC⊥BB1，且BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面AA1B1B，又CC1∥平面AA1B1B，所以V三棱锥DABC1＝V三棱锥C1ABD＝V三棱锥CABD＝eq\f(1,3)S△ABD·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)．(4)如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N—PAC与三棱锥D—PAC的体积比为()A．1∶2B．1∶8C．1∶6D．1∶3答案D解析设点P，N在平面ABCD内的射影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′．连接BP′，则在△BPP′中，由BN＝2PN，得eq\f(NN′,PP′)＝eq\f(2,3)．V三棱锥N—PAC＝V三棱锥P—ABC－V三棱锥N—ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′－eq\f(1,3)S△ABC·NN′＝eq\f(1,3)S△ABC·(PP′－NN′)＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(1,3)PP′＝eq\f(1,9)S△ABC·PP′，V三棱锥D—PAC＝V三棱锥P—ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·PP′＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′．∴V三棱锥N—PAC∶V三棱锥D—PAC＝eq\f(1,9)∶eq\f(1,3)＝1∶3．(5)已知三棱锥O—ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O—ABC的体积为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)答案B解析设球O的半径为R，因为S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以当∠AOC＝∠BOC＝90°时，S△AOC＋S△BOC取得最大值，此时OA⊥OC．OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB⊂平面AOB，所以OC⊥平面AOB，所以V三棱锥O—ABC＝V三棱锥C—OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,6)R3sin∠AOB＝eq\f(2\r(3),3)，故选B．(6)(2018·全国Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)答案C解析如图，连接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30．又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．(7)(2018·江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案eq\f(4,3)解析由题意知所给的几何体是棱长均为eq\r(2)的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3)．(8)(2018·天津)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．答案解析法一：直接法连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1－BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的长和宽分别为eq\r(2)，1，故VA1－BB1D1D＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)．法二：割补法连接BD1，则四棱锥A1－BB1D1D分成两个三棱锥B－A1DD1与BA1B1D1，所以VA1BB1D1D＝VBA1DD1＋VBA1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)．(9)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π答案C解析如图，过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)．(10)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(3,2)答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中点O，连接GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3)．故选A．【对点训练】1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōnɡ)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．问它的体积是多少？”(注：1丈＝10尺，取π＝3)()A．704立方尺B．2112立方尺C．2115立方尺D．2118立方尺1．答案B解析设圆柱体底面半径为r，高为h，周长为C．因为C＝2πr，所以r＝eq\f(C,2π)，因此V＝πr2h＝πeq\f(C2,4π2)·h＝eq\f(C2h,4π)＝eq\f(482×11,12)＝2112(立方尺)．2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A．54B．54πC．58D．58π2．答案A解析设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12．令原圆锥的高为h，由相似知识得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圆锥＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54．3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为24，若圆锥的底面圆周经过A，A1，C1，C四个顶点，圆锥的顶点在棱BB1上，则该圆锥的体积为()A．3eq\r(2)πB．eq\f(\r(2)π,3)C．eq\r(2)πD．eq\f(\r(2)π,2)3．答案C解析∵正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为24，∴正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∵圆锥的底面圆周经过A，A1，C1，C四个顶点，∴圆锥的底面圆半径R＝eq\f(\r(22＋22＋22),2)＝eq\r(3)，∵圆锥的顶点在棱BB1上，∴圆锥的高h＝eq\f(\r(22＋22),2)＝eq\r(2)，∴该圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×eq\r(2)＝eq\r(2)π．故选C．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A－BC1M的体积VA－BC1M＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,12)4．答案C解析VA－BC1M＝VC1－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6)．故选C．5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A．3B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(\r(3),2)5．答案C解析∵D是等边三角形ABC的边BC的中点，∴AD⊥BC．又ABC－A1B1C1为正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C．∵四边形BB1C1C为矩形，∴＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)．又AD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1．故选C．6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为_______．6．答案eq\f(9\r(3),4)解析由题意，得V三棱锥PABA1＝V三棱锥CABA1＝V三棱锥A1ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4)．7．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M－PBC的体积为()A．1B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,2)D．与M点的位置有关7．答案B解析∵eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，∴点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的eq\f(1,3)，即为eq\f(D1C1,3)＝1．M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，∴VMPBC＝VPMBC＝eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(3,2)．8．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A．eq\f(\r(3),12)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12)D．eq\f(\r(6),4)8．答案A解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)．9．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为________．9．答案eq\f(2\r(3),3)解析如图，取BC的中点O，连接AO．∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∴AC＝2，OC＝1，则AO＝eq\r(3)．∵AA1∥平面BCC1B1，∴点D到平面BCC1B1的距离为eq\r(3)．又＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则三棱锥O－AEF的体积()A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关10．答案B解析由已知得V三棱锥O－AEF＝V三棱锥E－OAF＝eq\f(1,3)S△AOF·h(h为点E到平面AOF的距离)．连接OC，因为BB1∥平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值．又AO∥A1C1，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，所以△AOF的面积是定值，所以三棱锥O－AEF的体积与x，y都无关．11．如图，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________．11．答案eq\f(\r(2),6)解析因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF．又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB．又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D－AEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝eq\r(2)，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)×eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,2)＝eq\f(1,2)(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，所以(VDAEF)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6)．12．在三棱锥P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P－ABC体积的最大值为()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\f(16\r(3),9)C．eq\f(16\r(3),27)D．eq\f(32\r(3),27)12．答案D解析如图，取PB中点M，连接CM，∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，∵PC＝BC＝2，PB＝2x(0＜x＜2)，M为PB的中点，∴CM⊥PB，CM＝eq\r(4－x2)，解得S△PBC＝eq\f(1,2)×2x×eq\r(4－x2)＝xeq\r(4－x2)，VA－PBC＝eq\f(1,3)×(xeq\r(4－x2))×2x＝eq\f(2x2\r(4－x2),3)，设t＝eq\r(4－x2)(0＜t＜2)，则x2＝4－t2，∴VA－PBC＝eq\f(2t（4－t2）,3)＝eq\f(8t－2t3,3)(0＜t＜2)，关于t求导，得V′(t)＝eq\f(8－6t2,3)，令V′(t)＝0，解得t＝eq\f(2\r(3),3)或t＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)，当0<t<eq\f(2\r(3),3)时，V′(t)>0，V(t)单调递增，当eq\f(2\r(3),3)<t<2时，V′(t)<0，V(t)单调递减．所以当t＝eq\f(2\r(3),3)时，(VA－PBC)max＝eq\f(32\r(3),27)．故选D．13．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P—BCD的体积的最大值是________．13．答案eq\f(1,2)解析设PD＝DA＝x，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(4＋4－2×2×2×cos120°)＝2eq\r(3)，∴CD＝2eq\r(3)－x，且∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DC·sin∠ACB＝eq\f(1,2)×2×(2eq\r(3)－x)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)．要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x．则V四面体P—BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)x＝eq\f(1,6)[－(x－eq\r(3))2＋3]，由于0＜x＜2eq\r(3)，故当x＝eq\r(3)时，V四面体P—BCD取最大值为eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2)．14．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B－ACC1D的体积为________．14．答案2eq\r(3)解析取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D．因为AB＝2，所以BO＝eq\r(3)．因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱锥BACC1D的体积为eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3)．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．15．答案eq\f(1,12)解析连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝eq\f(1,2)AC，因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝eq\f(1,2)AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为eq\f(1,2)，所以四棱锥M－EFGH的体积为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)．16．如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A．2B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(8,3)16．答案D解析多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，故选D．17．已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1—B1EDF的体积为________．17．答案eq\f(1,6)a3解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1H⊥B1D于点H．因为EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，EF⊂平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF．所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．易知平面B1D1D⊥平面B1EDF，又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O1H⊥平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1—B1EDF的高．因为△B1O1H∽△B1DD1，所以O1H＝eq\f(B1O1·DD1,B1D)＝eq\f(\r(6),6)a．所以＝eq\f(1,3)·O1H＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·EF·B1D·O1H＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(3)a·eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,6)a3．方法二连接EF，B1D．设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a．由题意得，＝eq\f(1,3)··(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3．18．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DE⊥BC，将△CDE沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥P－ABDE，则四棱锥P－ABDE的体积的最大值为________．18．答案解析答案eq\f(\r(3),27)解析设CD＝DE＝x(0<x<1)，则四边形ABDE的面积S＝eq\f(1,2)(1＋x)(1－x)＝eq\f(1,2)(1－x2)，当平面PDE⊥平面ABDE时，四棱锥P－ABDE的体积最大，此时PD⊥平面ABDE，且PD＝CD＝x，故四棱锥P－ABDE的体积V＝eq\f(1,3)S·PD＝eq\f(1,6)(x－x3)，则V′＝eq\f(1,6)(1－3x2)．当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))时，V′>0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))时，V′<0．∴当x＝eq\f(\r(3),3)时，Vmax＝eq\f(\r(3),27)．19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，则四棱锥P－ABCD与三棱锥P－QBM的体积之比是________．19．答案3∶1解析过点M作MH∥BC交PB于点H．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．∵PA＝PD＝AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，∴PQ＝BQ＝eq\r(3