微积分-经管类-上册1.8 函数的连续与间断

二、函数的间断点一、函数的连续性第8节函数的连续与间断

第1章三、连续函数的运算四、闭区间上连续函数的性质可见,函数在点一、函数的连续性定义1在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数

.例如,在上连续.又如,

有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:例1.

证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点

.在无定义

;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.定理2.

连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.在其定义域内连续三、连续函数的运算定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)

运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减)(证明略)在[

1,1]上也连续单调(递减)递增.定理3.

连续函数的复合函数是连续的.在上连续其反函数在上也连续单调递增.证:

设函数于是故复合函数又如,

且即单调递增,例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,例2.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例3.

求解:原式例4.

求解:

令则原式说明:

由此可见当时,有例5.求解:原式说明:

若则有例6.

设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1

不连续,注意:

若函数在开区间上连续,结论不一定成立.四、闭区间上连续函数的性质定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点

,例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,

由定理1可知有证:

设上有界.定理2.

(零点定理)至少有一点且使(证明略)推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理3.(介值定理)设且则对A

与B

之间的任一数C,一点证:

作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式

内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续

初等函数在定义区间内连续说